imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2025-09-28T12:35:25Z

Bot: http → https

Neue Seite

Das '''monogene Signal''' ist eine Verallgemeinerung des [[analytisches Signal|analytischen Signals]] auf mehr als eine [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] auf Basis der [[Marcel Riesz|Riesz]]-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der [[Bildverarbeitung]]. Mit ihm können Bilder in lokale [[Amplitude]] und lokale [[Phase (Schwingung)|Phase]] zerlegt werden.

== Definitionen ==
=== Monogenes Signal ===
Es sei d eine natürliche Zahl und <math>f \in L^2(\mathbb{R}^d)</math> eine Funktion. Dann ist das monogene Signal <math> f_M </math> definiert durch
:<math>
f_M := (f, R_1 f, \ldots, R_d f),
</math>
wobei <math> R_j, j = 1,\ldots, d </math> die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

=== Riesz-Transformation ===
Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, <math>j = 1,\ldots, d,</math> der Riesz-Transformation <math>R_j</math> ist definiert durch
:<math>
R_j f(x) := c_d \lim_{\epsilon \to 0} \int_{0 < \epsilon \leq \left| y \right| } \frac{y_j}{\left| y \right| ^{d+1}} f(x-y) \,\mathrm dy
</math>
mit
:<math>
c_d = \frac{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)}{\pi^{(d+1)/2}},
</math>
wobei <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]] bezeichnet.

Die ''Riesz-Transformation'' ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten <math>R_j</math>
:<math>
R f(x) := (R_1 f(x), \ldots, R_d f(x)).
</math>

== Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation ==

Für <math>d = 1</math> ist die Riesz-Transformation die [[Hilbert-Transformation]] <math>\mathcal H</math> und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.
:<math>\left(f(x), R_1 f(x)\right) = f(x) + i R_1 f(x) = f(x) + i \mathcal{H} f(x)</math>

== Zerlegung in Phase und Amplitude ==

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale [[Amplitude]] und lokale [[Phase (Schwingung)|Phase]]. Die lokale Amplitude <math>A</math> ist in diesem Falle definiert durch
:<math>A(x) = \sqrt{f^2(x) + (R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2},</math>
der lokale [[Phasenwinkel]] <math> \alpha </math> durch
:<math>\alpha(x) = \left| \operatorname{atan2}(\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}, f) \right|, </math>
die lokale [[Ausbreitungsrichtung|Phasenrichtung]] <math>u</math> durch
:<math>u(x) = \frac{(R_1 f(x), \ldots,R_d f(x))}{\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}} </math>
und die lokale Phase <math>\phi</math> durch
:<math>\phi(x) = \alpha(x)u(x) = \left| \operatorname{atan2}(\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}, f) \right|\frac{(R_1 f(x), \ldots,R_d f(x))}{\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}}.</math>

{| class="centered"
|+ Beispiel
|- style="vertical-align:top"
| [[Bild:demo signal.png|mini|none|Testbild [[Fresnel-Zonenplatte|Zonenlinse]]]]
| [[Datei:Zoneplate, Amplitude.jpg|mini|none|Lokale Amplitude]]
| [[Bild:PhaseOrientation.jpg|mini|none|Lokale Orientierung (lokale Phasenrichtung als Winkel dargestellt, weiß = <math>\pi</math>, schwarz = 0)]]
| [[Bild:PhaseAngle.jpg|mini|none|Lokaler Phasenwinkel]]
|}

== Anwendung in der Bildanalyse ==

Fasst man die Funktion <math>f</math> als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:
* Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
* Unter Verwendung einer [[Multiskalenanalyse]] kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=M. Felsberg, G. Sommer|Titel=The monogenic signal|Sammelwerk=IEEE Transactions on Signal Processing|Band=49|Nummer=12|Jahr=2001|Seiten=3136-3144}}
* {{Literatur|Autor=S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster |Titel=Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform|Sammelwerk=IEEE Transactions on Image Processing|Band=19|Nummer=3|Jahr=2010|Seiten=653-667}}

== Software ==
Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis
* [http://www-m6.ma.tum.de/Mamebia/MonogenicWaveletToolbox| Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ,] Technische Universität München
* [https://bigwww.epfl.ch/demo/monogenic/ MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images] EPF Lausanne

[[Kategorie:Bildverarbeitung]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]

Monogenes Signal - Versionsgeschichte

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https