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2023-04-27T19:02:49Z

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'''Monodromie''' bezeichnet in der Mathematik, wie sich Objekte aus der [[Analysis]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] oder in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen]] und [[Differentialgeometrie]] verhalten, sobald sie sich um eine [[Algebraische_Varietät#Singularitäten|Singularität]] bewegen.

Monodromie ist eng verbunden mit der Theorie der [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerungen]] und ihren Degenerierungen in [[Verzweigungspunkt]]en. Monodromietheorie ist motiviert durch das Phänomen, dass bestimmte [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die man definieren möchte, in der Nähe von Singularitäten mehrwertig werden. Diese Monodromieeigenschaft lässt sich am besten durch die sogenannte '''Monodromiegruppe''' messen, eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] von Abbildungen, die auf den Werten der Funktion operiert. Diese [[Gruppenoperation]] kodiert das Verhalten der Werte beim Umlaufen der Singularität.

== Definition ==
Sei <math>X</math> ein [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängender]] und [[Lokal zusammenhängender Raum|lokal zusammenhängender]] [[Punktierter topologischer Raum|punktierter]] [[topologischer Raum]] mit Basispunkt <math>x</math>. Sei weiterhin <math>p:\tilde{X}\to X</math> eine [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] mit [[Faser (Mathematik)|Faser]] <math>F = p^{-1}(x)</math>. Für eine Schleife <math>\gamma :[0,1]\longrightarrow X</math> mit Startpunkt <math>x</math> sei <math>\tilde{\gamma}</math> die [[Liftung]] von <math>\gamma</math> mit Startpunkt <math>\tilde{x} \in F</math>. Weiterhin bezeichne <math>\tilde{x}\cdot\gamma</math> den Endpunkt <math>\tilde{\gamma}(1)</math>, der sich im Allgemeinen von <math>\tilde{x}</math> unterscheiden kann.

Es lässt sich beweisen, dass diese Konstruktion zu einer wohldefinierten [[Gruppenoperation]] der [[Fundamentalgruppe]] <math>\pi_1(X,x)</math> auf der Faser <math>F</math> führt. Hierbei ist der Stabilisator von <math>\tilde{x}</math> genau <math>p_{*}(\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}))</math>. Das bedeutet, dass ein Element <math>[\gamma]</math> einen Punkt in der Faser <math>F</math> genau dann invariant lässt, wenn es durch das Bild einer Schleife in <math>\tilde{X}</math> mit Basispunkt <math>\tilde{x}</math> repräsentiert wird.

Diese Gruppenwirkung wird als '''Monodromiewirkung''' beschrieben. Der [[Gruppenhomomorphismus]] <math>\pi_1(X,x)\longrightarrow \text{Aut}(F)</math> in die [[Automorphismengruppe]] von <math>F</math> ist die '''Monodromie'''. Das Bild des Homomorphismus wird als die '''Monodromiegruppe''' bezeichnet.

== Literatur ==
* V.I. Danilov: ''Monodromy''. Springer-Verlag, ISBN 978-1-55608-010-4

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Monodromie - Versionsgeschichte

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