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2025-06-18T08:45:28Z

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Die '''momenterzeugende Funktion''' ist eine Funktion, die in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] einer [[Zufallsvariable]]n zugeordnet wird. In vielen Fällen ist diese Funktion in einer Umgebung des Nullpunktes in den reellen bzw. komplexen Zahlen definiert und kann dann mittels [[Differentialrechnung|Ableitung]] zur Berechnung der [[Moment (Stochastik)|Momente]] der Zufallsvariablen verwendet werden, woraus sich ihr Name erklärt.

== Definition ==

Die '''momenterzeugende Funktion''' einer Zufallsvariablen <math>X</math> ist definiert durch<ref>Robert G. Gallager: ''Stochastic Processes.'' Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Kapitel 1.5.5: ''Moment generating functions and other transforms''</ref>
:<math>M_X(t):=E\left(e^{tX}\right)</math>,
wobei für <math>t</math> reelle Zahlen eingesetzt werden können, sofern der [[Erwartungswert]] auf der rechten Seite existiert. Dieser Ausdruck ist mindestens für <math>t=0</math> definiert. In vielen Fällen, siehe unten, ist diese Funktion in einer Umgebung von 0 definiert, und kann dann wie folgt in eine [[Potenzreihe]] entwickelt werden:
:<math>M_X(t)=E\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(tX)^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}E(X^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}m_X^n</math>.
Dabei gilt <math>0^0 := 1 </math> und die <math>m_X^n=E(X^n)</math> sind die Momente von <math>X</math>.

Die momenterzeugende Funktion hängt nur von der [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] von <math>X</math> ab. Wenn die momenterzeugende Funktion einer Verteilung in einer Umgebung von 0 existiert, so sagt man, etwas unpräzise aber allgemein gebräuchlich, die Verteilung habe eine momenterzeugende Funktion. Existiert <math>M_X(t)</math> nur für <math>t=0</math>, so sagt man entsprechend, dass die Verteilung keine momenterzeugende Funktion habe.

== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ==

Falls <math>X</math> eine stetige [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] <math>f</math> hat, kann man obigen Erwartungswert mittels dieser Dichte schreiben und erhält für die momenterzeugende Funktion
:<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x</math>
:::<math> = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2}{2!}x^2 + \dotsb\right) f(x)\,\mathrm{d}x</math>
:::<math> = 1 + t m_X^1 + \frac{t^2}{2!}m_X^2 +\dotsb</math>

Dabei ist <math>m_X^k</math> das <math>k</math>-te Moment von <math>X</math>. Der Ausdruck <math>M_X\left(-t\right)</math> ist also gerade die [[zweiseitige Laplacetransformation]] des durch <math>X</math> festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

== Bemerkungen ==
=== Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion ===

Die Bezeichnung ''momenterzeugend'' bezieht sich darauf, dass die <math>k</math>-te Ableitung von <math>M_X</math> im Punkt 0 (Null) gleich dem <math>k</math>-ten Moment der Zufallsvariablen <math>X</math> ist:

: <math>\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d} t^k} M_X(t)\biggr\vert_{t=0} = E(X^k) = m_X^k</math>.

Das liest man direkt an der oben angegebenen Potenzreihe ab. Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt, falls die momenterzeugende Funktion auf einem offenen Intervall <math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math> existiert <math>(\varepsilon > 0)</math>.

Die erste Erwähnung des Begriffs ''momenterzeugende Funktion'' scheint französischsprachig (''la fonction génératrice des moments'') im Jahr 1925 durch V. Romanovsky erfolgt zu sein.<ref>{{Literatur |Autor=V. Romanovsky |Titel=Sur Certaines éspérances Mathématiques es sur l'Erreur Moyenne du Coefficient de Corrélation |Sammelwerk=Comptes Rendus |Band=180 |Jahr=1295 |Seiten=1897–1899 |Fundstelle=S. 1898}}</ref><ref name="MacTutor">{{Internetquelle |titel=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M) |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/m/ |abruf=2023-11-07}}</ref> Im englischen Sprachraum wird die erste Verwendung des Begriffs ''moment generating function'' [[Ronald A. Fisher]] im Jahr 1929 zugeschrieben.<ref>{{Literatur |Autor=[[Ronald A. Fisher]] |Titel=Moments and Product Moments of Sampling Distributions |Sammelwerk=Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2 |Band=30 |Jahr=1929 |Fundstelle=S. 238}}</ref><ref name="MacTutor"/>

=== Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion ===

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristischen Funktion]] <math>\varphi_X(t) = E\left(e^{\mathrm{i}t X}\right)</math>. Es gilt <math>\varphi_X(t) = M_{iX}(t)=M_X(\mathrm{i}t)</math>, falls die momenterzeugende Funktion existiert. Im Gegensatz zur momenterzeugenden Funktion existiert die charakteristische Funktion für beliebige Zufallsvariablen.

=== Zusammenhang mit der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion ===

Des Weiteren besteht noch ein Zusammenhang zur [[Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion]]. Diese ist jedoch nur für <math> \mathbb{N}_0 </math>-wertige Zufallsvariablen definiert und zwar als <math> m_X(t)=\operatorname{E}(t^X) </math>. Damit gilt <math> m_X(e^t)=M_X(t)</math> für diskrete Zufallsvariablen.

=== Zusammenhang mit der kumulantenerzeugenden Funktion ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] wird als natürlicher [[Logarithmus]] der momenterzeugenden Funktion definiert. Aus ihr wird der Begriff der [[Kumulante]] abgeleitet.

=== Summen unabhängiger Zufallsvariablen ===

Die momenterzeugende Funktion einer Summe [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängiger]] Zufallsvariablen ist das Produkt ihrer momenterzeugenden Funktionen: Sind <math>X_1, \dotsc, X_n</math> unabhängig, dann gilt für <math>Y = X_1 + \dotsb + X_n</math>

: <math>M_Y(t) = E(e^{tY}) = E(e^{tX_1+ \ldots + tX_n}) = E(e^{tX_1}\cdots e^{tX_n}) = E(e^{tX_1})\cdots E(e^{tX_n}) = M_{X_1}(t) \cdots M_{X_n}(t)</math>,

wobei beim vorletzten Gleichheitszeichen verwendet wurde, dass der Erwartungswert eines Produktes unabhängiger Zufallsvariablen gleich dem Produkt ihrer Erwartungswerte ist.

=== Linear-affine Transformationen ===

Ist <math>X</math> eine Zufallsvariable mit momenterzeugender Funktion <math>M_X</math>, so hat die transformierte Zufallsvariable <math>a+b X</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> die momenterzeugende Funktion <math>M_{a+bX}</math> mit

:<math>M_{a+bX}(t)=e^{at}M_X(bt).</math>

=== Eindeutigkeitseigenschaft ===

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen <math>X</math> in einer Umgebung von <math>0</math> endlich, so bestimmt sie die Verteilung von <math>X</math> eindeutig.<ref>{{Literatur |Autor=J. H. Curtiss |Titel=A Note on the Theory of Moment Generating Functions |Sammelwerk=The Annals of Mathematical Statistics |Band=13 |Nummer=4 |Datum=1942 |Seiten=430–155 |Online=https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177731541 |Abruf=2023-11-07}}</ref>

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Zufallsvariablen mit momenterzeugenden Funktionen <math>M_X</math> und <math>M_Y</math> derart, dass es ein <math>\varepsilon > 0</math> gibt mit <math>M_X (s), M_Y (s) < \infty</math> für alle <math>s \in (-\varepsilon,\varepsilon)</math>. Dann gilt <math>P_X = P_Y</math> genau dann, wenn <math>M_X(s) = M_Y(s)</math> für alle <math>s \in (-\varepsilon,\varepsilon)</math> gilt.

=== Konvexität ===
Jede momenterzeugende Funktion ist [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex]]. Sie ist sogar strikt konvex, wenn <math>X\neq 0</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=9783540897309 |Seiten=380}}</ref>

== Beispiele ==
Für viele Verteilungen kann man die momenterzeugende Funktion direkt angeben:

{| class="wikitable"
|-
! Verteilung
! Momenterzeugende Funktion M<sub>X</sub>(t)
|-
| [[Bernoulli-Verteilung]] <math>\mathrm{B}(p)</math> || <math>M_X(t) = 1-p+pe^t</math>
|-
| [[Betaverteilung]] <math>\mathrm{B}(a,b,p,q)</math><ref>Otto J.W.F. Kardaun: ''Classical Methods of Statistics.'' Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21115-2, S. 44.</ref>|| <math>M_X(t) = 1+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \prod_{k=0}^{n-1} \frac{a+k}{a+b+k} \right) \frac{t^n}{n!}</math>
|-
| [[Binomialverteilung]] <math>\mathrm{B}(p,n)</math> || <math>M_X(t) = (1-p+pe^t)^n</math>
|-
| [[Cauchy-Verteilung]] || Die Cauchy-Verteilung hat keine momenterzeugende Funktion.<ref>Allan Gut: ''Probability: A Graduate Course.'' Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Kapitel 8, Beispiel 8.2.</ref>
|-
| [[Chi-Quadrat-Verteilung]] <math>\chi_n^2</math> <ref>A. C. Davison: ''Statistical Models.'' Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-1-4672-0331-9, Kapitel 3.2.</ref>|| <math>M_X(t) = \frac{1}{(1-2 t)^{n/2}}</math>
|-
| [[Erlang-Verteilung]] <math>\mathrm{Erlang}(\lambda,n)</math> || <math>M_X(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^n</math> für <math>t < \lambda</math>
|-
| [[Exponentialverteilung]] <math>\mathrm{Exp}(\lambda)</math> || <math>M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda-t}</math> für <math>t < \lambda</math>
|-
| [[Gammaverteilung]] <math>\gamma(p,b)</math> || <math>M_X(t) = \left(\frac{b}{b-t}\right)^p</math>
|-
| [[Geometrische Verteilung]] mit Parameter <math>p</math> || <math>M_X(t) = \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}</math>
|-
| [[Gleichverteilung]] über <math>[0,a]</math> || <math>M_X(t) = \frac{e^{ta}-1}{ta}</math>
|-
| [[Laplace-Verteilung]] mit Parametern <math>\mu, \sigma</math><ref>Hisashi Tanizaki: ''Computational Methods in Statistics and Econometrics.'' Verlag Taylor and Francis, 2004, ISBN 0-203-02202-5, Abschnitt 2.2.11.</ref>|| <math>M_X(t) = \frac{e^{\mu t}}{1-\sigma^2 t^2}</math>
|-
| [[Negative Binomialverteilung]] <math>\mathrm{NB}(r,p)</math> || <math>M_{X}(t) = \left(\frac{p e^{t}}{1-(1-p) e^{t}}\right)^{r}</math> für <math>t<|\ln(1-p)|</math>
|-
| [[Normalverteilung]] <math>\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)</math> || <math>M_X(t) = \exp{\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}</math>
|-
| [[Poisson-Verteilung]] mit Parameter <math>\lambda</math> || <math>M_X(t) = \exp(\lambda(e^t-1))</math>
|}

== Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Zufallsvariablen ==

Die momenterzeugende Funktion lässt sich auf <math>\ell</math>-dimensionale reelle [[Zufallsvektor]]en <math>\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_\ell)</math> wie folgt erweitern:

: <math>M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t})= M_{\mathbf{X}}(t_1, \dots, t_l)=\operatorname{E}(e^{ \langle \mathbf{t},\mathbf{X}\rangle})=\operatorname{E}\left( \prod_{j=1}^\ell e^{t_jX_j}\right)</math>,

wobei <math>\langle\mathbf{t},\mathbf{X}\rangle = \sum\limits_{j=1}^{\ell} t_j X_j</math> das [[Standardskalarprodukt]] bezeichnet.

Wenn die Komponenten des Zufallsvektors paarweise voneinander unabhängig sind, dann ergibt sich die momenterzeugende Funktion als Produkt aus den momentgenerierenden Funktionen von eindimensionalen Zufallsvariablen:

: <math>M_{\mathbf{X}}(t_1, \dots, t_l)=\operatorname{E}(e^{ \langle\mathbf{t},\mathbf{X}\rangle})=
\prod_{j=1}^\ell \operatorname{E}\left( e^{t_jX_j}\right) = \prod_{j=1}^\ell M_{X_j}(t_j)</math>.

== Siehe auch ==
* [[Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]

== Literatur ==
* Klaus D. Schmidt: ''Maß und Wahrscheinlichkeit.'' 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 378 ff.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]

Momenterzeugende Funktion - Versionsgeschichte

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