imported>Sigma^2: /* Literatur */ Zitierweise verbessert

2024-08-08T17:11:59Z

Literatur: Zitierweise verbessert

Neue Seite

Das '''Momentenproblem''' ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die [[Moment (Integration)|Momente]] zu berechnen, wird das [[inverses Problem|inverse Problem]] gelöst: aus einer gegebenen Folge von Momenten sollen Rückschlüsse auf eine mögliche, zugrundeliegende [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gezogen werden, insbesondere in der Stochastik, siehe [[Moment (Stochastik)]]<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/momentenproblem/6506 |titel=Momentenproblem |abruf=2020-12-15 |sprache=de}}</ref>.

Dabei können zwei Fragestellungen unterschieden werden. Existiert zu einer gegebenen Folge reeller Zahlen <math>(c_k)_{k \in \N_0}</math> eine [[Verteilungsfunktion]] <math>F</math>, so dass diese Zahlen die Folge der <math>k</math>-ten Momente für die Verteilungsfunktion bilden, dass also für ein Intervall <math>I \subseteq \R</math>
:<math> c_k = \int_{I}x^k \mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>
gilt? Ist diese Verteilungsfunktion durch die Angabe der Momente eindeutig bestimmt?<ref name="Lex-272">{{Literatur |Titel=Momentenproblem |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik |Seiten=272}}</ref>

== Varianten des Momentenproblems ==
Die Bezeichnung Momentenproblem wurde von [[Thomas Jean Stieltjes]] eingeführt, der das Problem 1894 erstmals ausführlich untersuchte und dabei die Bezeichnungen und Konzepte aus der Mechanik übernahm.<ref name="stieltjes" /><ref name="gene" /><ref name="shohat" /> Je nach Träger der Verteilung (das ist das Komplement der größten offenen Menge vom Maß null), werden unterschiedliche Varianten des Momentenproblems unterschieden.
=== Hamburgersches Momentenproblem ===
Beim '''Hamburgerschen Momentenproblem''' werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math>I = \R = (-\infty,\infty)</math> betrachtet. Eine Verteilungsfunktion <math>F</math> mit der Eigenschaft
:<math> c_k = \int_{\R}x^k \mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>
existiert genau dann, wenn <math>c_0 = 1</math> und für beliebige <math>n \in \N</math>, <math>x_0,x_1,\dots,x_n\in \R</math> die Beziehung
:<math> \sum_{j,k=0}^{n} c_{j+k}x_jx_k \geq 0 </math>
gilt.<ref name="Lex-272"/> Dabei ist im Allgemeinen die Verteilungsfunktion <math>F</math> nicht eindeutig bestimmt.<ref name="Lex-272"/>
Eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit von <math>F</math> ist die Bedingung von [[Carleman]]
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[2n]{c_{2n}}} = \infty\;.</math><ref name="Lex-272"/>

Die Verteilungsfunktion einer [[Normalverteilung]] ist eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt.<ref> {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack |Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-98953-6 |Fundstelle=Theorem 8.2, S. 293}}</ref>
Die Verteilungsfunktion einer [[Lognormalverteilung]] ist nicht eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.<ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack |Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-98953-6 |Fundstelle=Exercise 8.4, S. 293}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=C. C. Heyde |Titel=On a property of the lognormal distribution |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society, Series B |Band=25 |Nummer=2 |Datum=1963 |Seiten=392–393}}</ref>

Beim '''Stieltjesschen Momentenproblem''' ist <math>I = [0,\infty)</math>.<ref name="Lex-272"/> Beim '''Hausdorffschen Momentenproblem''' ist <math>I</math> ein beschränktes Intervall; o. B. d. A. <math>I= [0,1]</math>.<ref name="Lex-272"/>

=== Trigonometrisches Momentenproblem ===
Eine weitere Variante ist das '''trigonometrische Momentenproblem''', bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.<ref name="landau" />
Gegeben sei eine Folge <math>(d_k)_{k \in \N_0}</math> [[komplexe Zahlen|komplexer Zahlen]]. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Verteilungsfunktion auf dem Intervall <math>[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft
:<math> d_k = \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>
und ist diese Verteilungsfunktion eindeutig?

Die Antwort gibt ein Satz von [[Gustav Herglotz]], der besagt, dass eine Verteilungsfunktion mit diesen Eigenschaften genau dann existiert, wenn <math>d_0 = 1</math> und für beliebige <math>n \in \N</math>, <math>\xi_0,\xi_1,\dots,\xi_n\in \C</math> die Beziehung
:<math> \sum_{j,k=0}^{n} d_{j+k}\xi_j\xi_k \geq 0 </math>
gilt.<ref name="Lex-272"/> In diesem Fall ist <math>F</math> eindeutig bestimmt.<ref name="Lex-272"/>

Eine Variante der Fragestellung ergibt sich, wenn nur endlich viele Konstanten <math>d_0,d_1,\dots,d_n</math> gegeben sind und eine Verteilungsfunktion mit der Eigenschaft
:<math> d_k = \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}F(x), \quad k = 1,\dots,n </math>
gesucht ist. Dieses Problem heißt gestutztes Momentenproblem (engl. truncated moment problem).<ref>{{Literatur
|Autor=Henry J. Landau |Titel=Moments in Mathematics | Seiten=3}}</ref>

[[Datei:Standard_deviation_diagram.svg|thumb|Beispiel: Bei gegebenem Mittelwert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math> (sowie alle weiteren [[Kumulante]]n gleich 0) ist die [[Normalverteilung]] die passende Verteilung zu den Momenten.]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Momentenproblem (moment problem) |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Seiten=271–272 }}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="stieltjes">
{{Literatur
|Autor=[[Thomas Jean Stieltjes]]
|Titel=Recherches sur les Fractions continues
|Datum=1894
|Online=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/AFST_1894_1_8_4/AFST_1894_1_8_4_J1_0/AFST_1894_1_8_4_J1_0.pdf}}
</ref>
<ref name="gene">
{{Literatur
|Autor=Gene H. Golub, Gérard Meurant
|Titel=Matrices, Moments and Quadrature with Applications
|Verlag=Princeton University Press
|Datum=2009
|ISBN=1-4008-3388-4
|Seiten=15
|Online={{Google Buch|BuchID=IZvkFET3LlwC|Seite=15}}}}
</ref>
<ref name="shohat">
{{Literatur
|Autor=James Alexander Shohat, Jacob David Tamarkin
|Titel=The Problem of Moments
|Verlag=American Mathematical Society
|Datum=1943
|ISBN=0-8218-1501-6
|Seiten=vii
|Online={{Google Buch|BuchID=xGaeqjHm1okC|Seite=vii}}}}
</ref>
<ref name="landau">
{{Literatur
|Autor=Henry J. Landau
|Titel=Moments in Mathematics
|Verlag=American Mathematical Society
|Datum=1987
|ISBN=0-8218-0114-7
|Seiten=1
|Online={{Google Buch|BuchID=IEo2Iu_uogUC|Seite=1}}}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Analysis]]

Momentenproblem - Versionsgeschichte

imported>Sigma^2: /* Literatur */ Zitierweise verbessert