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2024-09-19T07:51:12Z

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{{Dieser Artikel|behandelt die ''Momentenmethode'' als statistisches Verfahren. Das gleichnamige Verfahren in der Elektrotechnik ist unter [[Momentenmethode (Elektrotechnik)]] zu finden.}}

Die '''Momentenmethode''' ist eine [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzmethode]] in der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] und dient der Gewinnung von [[Schätzfunktion]]en. Die mittels der Momentenmethode gewonnenen Schätzer werden als '''Momentenschätzer''' bezeichnet. Die Momentenmethode ist im Allgemeinen einfach anzuwenden, die gewonnenen Schätzer erfüllen aber nicht immer gängige [[Optimalitätskriterium|Optimalitätskriterien]].<ref name="Czado77" /> So müssen Momentenschätzer weder eindeutig noch [[Erwartungstreue|erwartungstreu]] sein. Der Momentenmethode liegt die Idee zugrunde, dass die [[Moment (Stochastik)|Momente einer Zufallsvariable oder Wahrscheinlichkeitsverteilung]] durch die [[Stichprobenmoment]]e geschätzt werden können. Ist dann allgemeiner eine zu schätzende Funktion als Funktion der Momente (der Zufallsvariable oder Wahrscheinlichkeitsverteilung) gegeben, so erhält man einen Schätzer, indem man diese Momente durch die Stichprobenmomente ersetzt.

Die Momentenmethode wurde erstmals 1894 von [[Karl Pearson]] verwendet<ref name="eommoments" /> und kann als Spezialfall des [[Substitutionsprinzip (Statistik)|Substitutionsprinzips]] aufgefasst werden.

== Vorgehen ==
=== Rahmenbedingungen ===
Gegeben sei eine Familie von [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]en <math> (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} </math> auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], die mit einer beliebigen [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] <math> \Theta </math> indiziert ist. Es bezeichne <math> P_\vartheta^n </math> das n-fache [[Produktmaß]] der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P_\vartheta </math>.

Das [[statistisches Modell|statistische Modell]] sei gegeben als das <math>n</math>-fache [[Produktmodell (Statistik)|Produktmodell]]
:<math> (\R^n, \mathcal B(\R^n), (P_\vartheta^n)_{\vartheta \in \Theta}) </math>.

Sei <math> X=(X_1, X_2, \dots, X_n) </math>, wobei <math> X_i </math> die <math>i</math>-te [[Stichprobenvariable]] ist. Die <math> X_i </math> sind also [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilt]]. Es bezeichne <math> \operatorname E_\vartheta</math> die Bildung des [[Erwartungswert]]es bezüglich <math> P_\vartheta </math> und
:<math> m_j(\vartheta)= \operatorname E_\vartheta(X_1^j) </math>

das <math>j</math>-te [[Moment (Stochastik)|Moment]] einer nach <math> P_\vartheta </math> verteilten Zufallsvariable bzw. des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math> P_\vartheta </math>. Des Weiteren sei
:<math> m_j(X)=\frac 1n \sum_{i=1}^n X_i^j </math>

das <math>j</math>-te [[Stichprobenmoment]] von <math> X </math>.

=== Methode ===
Geschätzt werden soll eine Funktion
:<math> q \colon \Theta \to \R </math>,

die im Falle eines [[Parametrisches Modell (Statistik)|parametrischen Modells]] auch als [[Parameterfunktion (Statistik)|Parameterfunktion]] bezeichnet wird. Es gelten die folgenden Voraussetzungen:
* Es existiert ein <math> k \in \N </math>, so dass für alle <math> \vartheta \in \Theta </math> und alle <math> j \leq k </math> die Momente <math> m_j(\vartheta) </math> existieren.
* Es existiert eine [[stetige Funktion]] <math> g \colon \R^k \to \R </math>, so dass
::<math>q(\vartheta)=g\bigl( m_1(\vartheta), m_2(\vartheta), \dots, m_k(\vartheta)\bigr) </math>.

Die zu schätzende Funktion lässt sich also als Funktion der Momente darstellen.

Dann ist
:<math> \hat q(X):= g\bigl(m_1(X),m_2(X),\dots, m_k(X)\bigr) = g\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n X_i, \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i^2, \dots, \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i^k \right) </math>

eine [[Schätzfunktion]] für <math> q </math>.

Man erhält also eine Schätzfunktion, indem man in der zu schätzenden Funktion die Momente <math> m_j(\vartheta) </math> der Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch die Stichprobenmomente <math> m_j(X) </math> ersetzt.

== Beispiele ==
=== Schätzung des Erwartungswertes ===
Es soll der Erwartungswert einer Stichprobe geschätzt werden. Aufgrund mangelnder Informationen über die Struktur möglicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen wählt man als Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen alle Wahrscheinlichkeitsmaße mit endlichem Erwartungswert, versehen mit einer beliebigen Indexmenge <math> \Theta </math>. Es handelt sich bei dem entsprechenden Produktmodell also um ein nichtparametrisches Modell. Aus der Indizierung kann keinerlei Schluss über den Erwartungswert gezogen werden oder umgekehrt.

Geschätzt werden soll der Erwartungswert, die zu schätzende Funktion ist also
:<math> q(\vartheta)= \operatorname E_\vartheta (Y) </math>

Als Darstellung durch die Momente findet sich
:<math> q(\vartheta)= m_1(\vartheta) </math>,

da der Erwartungswert genau das erste Moment ist. Per Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilungen existiert dieser immer, es ist somit <math> k=1 </math>. Gesucht ist nun eine Darstellung von <math> q </math> als Verkettung des ersten Moments und einer unbekannten stetigen Funktion <math> g </math>. Diese ergibt sich trivialerweise als
:<math> g(x)=x </math>,

da
:<math> g(m_1(\vartheta))=m_1(\vartheta)=q(\vartheta) </math>.

Das Einsetzen des ersten Stichprobenmoments
:<math> m_1(X)=\tfrac 1n \sum_{i=1}^n X_i </math>

in <math> g </math> liefert somit als Schätzfunktion für den Erwartungswert das [[Stichprobenmittel]]
:<math> \hat q(X) = g(m_1(X))=\tfrac 1n \sum_{i=1}^n X_i =\overline X</math>

=== Schätzung der Varianz ===
Analog zu oben soll nun ohne weiteres Vorwissen die Varianz geschätzt werden. Die Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist demnach so gewählt, dass alle eine endliche Varianz besitzen und mit einer Indexmenge <math> \Theta </math> indiziert sind.

Zu schätzende Funktion ist die Varianz, also
:<math> q(\theta)=\operatorname{Var}_\theta(Y) = \operatorname E_\vartheta(Y^2)- (\operatorname E_\vartheta(Y))^2 </math>

nach dem [[Verschiebungssatz (Statistik)|Verschiebungssatz]]. Es ist also
:<math>q(\vartheta)= m_2(\vartheta)- m_1(\vartheta)^2 </math>.

Die Funktion <math> q </math> lässt sich also als Verkettung der ersten beiden Momente und der stetigen Funktion
:<math> g(x_1, x_2)=x_2-x_1^2 </math>

schreiben. Substituiert man die Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch die Stichprobenmomente, so erhält man
:<math> \hat q(X)= m_2(X)- \left(m_1(X)\right)^2 = \tfrac 1n \sum_{i=1}^n X_i^2 - \left( \tfrac 1n \sum_{i=1}^n X_i\right)^2 = \tfrac 1n \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2 </math>

mit <math>\overline X </math> wie oben als Schätzfunktion die (nicht korrigierte) [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]]. Sie ist ein klassisches Beispiel für einen nicht [[erwartungstreue]]n Momentenschätzer.

== Allgemeine Formulierung ==
Die oben genannte Fassung lässt sich wie folgt verallgemeinern:<ref name="Rüschendorf171" /> Gegeben sei eine indizierte Menge <math>(P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} </math> von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf <math> (\mathcal X, \mathcal A) </math> und sei <math> (\mathcal X^n, \mathcal A^n, (P^n_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} ) </math> das entsprechende Produktmodell. Sei für integrierbares <math> \varphi_j </math>
:<math> a_j(\vartheta)= \operatorname E_\vartheta (\varphi_i(Y)) </math>

das j-te verallgemeinerte Moment und sei
:<math> q(\vartheta)=g(a_1(\vartheta), a_2(\vartheta), \dots, a_n(\vartheta)) </math>

die zu schätzende Funktion. Dann ist
:<math> \hat q(X)=g\left(\tfrac 1n \sum_{i=1}^n \varphi_1(X_i), \tfrac 1n \sum_{i=1}^n \varphi_2(X_i), \dots, \tfrac 1n \sum_{i=1}^n \varphi_k(X_i) \right) </math>

eine Schätzfunktion für <math> q </math>. Der oben beschriebene Spezialfall folgt mit <math> \varphi_j(x)=x^j </math>.

== Eigenschaften ==
Für stetige Funktionen <math> g </math> sind Momentenschätzer [[Konsistente Schätzfolge|stark konsistent]]. Dies folgt direkt aus dem [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starken Gesetz der großen Zahlen]]. Für reelle und differenzierbare <math> g </math> sind Momentenschätzer auch [[Asymptotische Normalität|asymptotisch normal]].<ref name="Rüschendorf172" /> Sie sind aber im Allgemeinen nicht [[Erwartungstreue|erwartungstreu]], wie die oben im Beispiel hergeleitete unkorrigierte Stichprobenvarianz zeigt.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-41996-6 |Seiten=170–173 |DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
* {{Literatur |Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-17260-1 |Seiten=71–77 |DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="eommoments">
{{EoM |Autor=A.V. Prokhorov |Titel=Moments, method of (in probability theory) |Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Moments,_method_of_%28in_probability_theory%29 |id=}}
</ref>
<ref name="Czado77">
{{Literatur |Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-17260-1 |Seiten=77 |DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}
</ref>
<ref name="Rüschendorf171">
{{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-41996-6 |Seiten=171 |DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
</ref>
<ref name="Rüschendorf172">
{{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-41996-6 |Seiten=172-173 |DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Schätztheorie]]

Momentenmethode - Versionsgeschichte

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