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2022-09-27T09:29:02Z

Beispiele von Momentanzinsmodellen

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Ein '''Momentanzinsmodell''' (englisch ''short rate model'') ist ein mathematisches Modell, das die Dynamik des [[Momentanzins]]es (englisch ''short rate'') beschreibt.

Ziel ist es, durch die Beschreibung des Momentanzinses – häufig als ''r'' abgekürzt – die Werte von [[Nullkuponanleihe]]n ''P(t,T)'' für beliebige Zeitpunkte ''t < T'' zu erhalten. Die Entwicklung von ''r(t)'' wird dabei durch eine oder mehrere [[stochastische Differentialgleichung]]en gegeben, wobei man je nach der genauen Form verschiedene Modelle unterscheidet. Die Modelle unterscheiden sich voneinander sowohl durch die Komplexität der Formeln, die bei manchem Modellen eine analytische Formel für Anleihepreise unmöglich macht, als auch durch qualitatives Verhalten des Zinssatzes selbst: Zum Beispiel kann ''r(t)'' im Vasicek-Modell negative Werte annehmen.

== Der Momentanzins ==
Der Momentanzins <math> r_t \,</math> ist der (annualisierte) Zinssatz, zu dem ein Marktteilnehmer Geld für einen infinitesimalen Zeitraum <math> [t, t + \mathrm dt] \,</math> ausborgen kann. Aus dem jetzigen Momentanzins folgt noch nicht der Verlauf der gesamten [[Zinsstrukturkurve]]. Allerdings kann man mit Hilfe der für die Modelle üblicherweise vorausgesetzten [[Arbitragefreiheit]] zeigen, dass der Preis einer Nullkuponanleihe mit Maturität ''T'' zur Zeit ''t'' durch
:<math> P(t,T) = \mathbb{E}\left[\left. \exp{\left(-\int_t^T r_s\, \mathrm ds\right) } \right| \mathcal{F}_t \right] </math>
gegeben ist. Dabei ist <math> \mathcal{F}_t \, </math> die natürliche Filtration des Prozesses. Das heißt, dass ein Modell für die zukünftige Entwicklung des Momentanzinses die Preise von allen Anleihen bestimmt.

== Beispiele von Momentanzinsmodellen ==
In dieser Sektion bezeichnet <math> W_t</math> einen [[Wiener-Prozess]] unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß und <math>\mathrm dW_t</math> sein Differential.

Prominente Beispiele von Momentanzinsmodellen sind:
* Vasicek<ref>[[Oldřich Vašíček]] (1977). „An Equilibrium Characterisation of the Term Structure“. Journal of Financial Economics 5 (2): 177–188. {{DOI|10.1016/0304-405X(77)90016-2}}.</ref> (1977)
* Cox, Ingersoll und Ross (CIR)<ref>Cox, J.C., J.E. Ingersoll and S.A. Ross (1985). „A Theory of the Term Structure of Interest Rates“. Econometrica 53: 385–407. {{DOI|10.2307/1911242}}.</ref> (1985)
* [[Hull-White-Modell]]<ref>[[John C. Hull]] and Alan White (1990). „Pricing interest-rate derivative securities“. The Review of Financial Studies 3 (4): 573–592.</ref> (1990)

=== Vasicek-Modell ===
Im Vasicek-Modell von [[Oldřich Vašíček]] wird die Dynamik von ''r(t)'' durch einen [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]] beschrieben:
:<math> \mathrm dr(t) = \kappa (\bar{r} - r(t)) \mathrm dt + \sigma \mathrm dW_t, \ r(0) = r_0. </math>
Dieser Prozess strebt immer wieder zu seinem Gleichgewichtsniveau <math> \bar{r} </math>. Das Modell hat attraktive Vorteile: Die Differentialgleichung kann explizit gelöst werden und der Momentanzins ist in diesem Modell [[Normalverteilung|normalverteilt]]. Dabei treten negative Zinssätze mit positiver Wahrscheinlichkeit auf.

== Andere Zinsmodelle ==
Eine zweite Familie von Zinsmodellen ist der Heath-Jarrow-Morton-Modellrahmen ([[HJM-Modell]]). Dabei wird nicht der aktuelle Momentanzins, sondern die gesamte Entwicklung des Momentanzinses, also die Gesamtheit der Termin-Momentanzinsen, modelliert.
Für manche Kassazinsmodelle wie das CIR und das Hull-White-Modell gibt es eine äquivalente Beschreibung im HJM-Modellrahmen; andere Modelle haben keine duale HJM-Repräsentation.

== Literatur ==
* Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Investitionsrechnung]]

Momentanzinsmodell - Versionsgeschichte

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