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2026-04-30T10:52:53Z

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Der '''Momentanzins''' ({{enS|short rate}}) ist im [[Momentanzinsmodell]] die zentrale [[nominale Größe]], die einen [[Zinssatz]] wiedergibt, der als [[risikofreier Zinssatz]] eines zinstragenden und als [[Standardgut]] geltenden [[Finanzinstrument]]s den Zins für eine [[infinitesimal]] (unendlich) kleine [[Zeiteinheit]] darstellt.

== Allgemeines ==
Momentanzinsmodelle ({{enS|short-rate models}}) arbeiten mit dem Momentanzins als theoretischem Konstrukt, das so am [[Finanzmarkt]] nicht beobachtet werden kann. Das Momentanzinsmodell gehört zu den [[Zinsstrukturmodell]]en, zu denen insbesondere das Modell von [[Oldřich Vašíček]] gerechnet wird, der 1977 einen [[Gauß-Prozess|gaußschen]] [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]] für die Entwicklung des Momentanzinses verwendete. Weitere bedeutende Ansätze sind z. B. die Modelle von [[Cox-Ingersoll-Ross]] (1985) und das [[Hull-White-Modell]] (1990). Sie modellieren den Zins auf der Grundlage des Momentanzinses und stochastischer Prozesse.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Ralph Anderegg |Titel=Grundzüge der Geldtheorie und Geldpolitik |Verlag=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |Datum=2014-08-07 |ISBN=978-3-486-84192-3 |Seiten=145 |Online=https://www.google.de/books/edition/Grundz%C3%BCge_der_Geldtheorie_und_Geldpolit/3NHpBQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins+zinstheorie&pg=PA145&printsec=frontcover |Abruf=2026-04-30}}</ref>

Auf dem [[Geldmarkt|Geld-]] oder [[Kapitalmarkt]] wird die künftige Entwicklung des [[Zinsniveau]]s und der [[Zinsstruktur]] maßgeblich durch die Erwartungen der [[Marktteilnehmer]] über die künftige [[Marktentwicklung|Zinsentwicklung]] beeinflusst.<ref name=":1" details="S. 27">{{Literatur |Autor=Niklas Darijtschuk |Titel=Performancemessung bei Zinsänderungen: Konzepte für Rentenportefeuilles |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2013-03-09 |ISBN=978-3-322-90800-1 |Online=https://www.google.de/books/edition/Performancemessung_bei_Zins%C3%A4nderungen/4GsdBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA27&printsec=frontcover |Abruf=2026-04-30}}</ref> In Betracht kommen für den Momentanzins [[Geldmarktpapier]]e (auf dem Geldmarkt) und [[Anleihe]]n (auf dem Kapitalmarkt); Substitutionen durch [[Substitutionsgut|Substitutionsgüter]] (Ersatz einer [[Nullkuponanleihe]] durch ein [[festverzinsliches Wertpapier]]) mit unterschiedlichen [[Laufzeit (Wirtschaft)|Laufzeiten]] bleiben unberücksichtigt.<ref name=":0" />

== Determination ==
Der Momentanzins gibt den im Augenblick („momentan“) sicheren, also risikofreien Zinssatz an<ref name=":1" details="S. 9" />, der als Vergleichswert dient. Für den Momentanzins wird ein Standardgut gewählt, also ein Finanzinstrument, bei welchem der [[Börsenkurs|Kurs]] aller anderen Finanzinstrumente in Relation gemessen wird.<ref>Stefan Reitz, ''Mathematik in der modernen Finanzwelt'', 2011, S. 112 ff.; ISBN 978-3-8348-0943-8</ref> Das kann beispielsweise ein [[Sparbuch]] mit risikofreiem und [[Stetige Funktion|stetigem]] [[Spareckzins]] sein.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Das_1_Faktor_Copula_Modell_Bewertung_von/Ljk_BAAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA12&printsec=frontcover Jonas Koegler, ''Das 1-Faktor-Copula-Modell: Bewertung von synthetischen Collateralized Debt Obligations'', 2014, S. 12]</ref> Zinsbewegungen sind das Ergebnis einer effizienten [[Datenverarbeitung|Informationsverarbeitung]] bei [[Weißes Rauschen|weißem Rauschen]] (zufälliges Rauschen um einen stationären Trend);<ref name=":0" /> sie sind auf [[Zufall]] zurückzuführen.

== Formale Darstellung ==
Der Momentanzins erfordert einen [[Vollkommener Kapitalmarkt|vollkommenen Kapitalmarkt]], auf dem [[Arbitragefreiheit]] herrscht.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Modellierung_der_Zinsstruktur_in_Deutsch/12nzBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA81&printsec=frontcover Henning Dankenbring, Modellierung der Zinsstruktur in Deutschland, 1999, S. 79]</ref> Dort entspricht die erwartete [[Rendite]] einer Anleihe für einen infinitesimal kleinen Anlagezeitraum dem risikofreien Nominalzins zuzüglich einer [[Risikoprämie]]. Die erwartete Momentanrendite einer Anleihe <math>\alpha D</math> entspricht dem Momentanzins <math>i</math> zuzüglich einer Risikoprämie <math>\sigma D</math>, in der die Momentanstandardabweichung der Anleiherendite und der [[Marktpreis]] des Risikos enthalten ist:<ref>[https://www.google.de/books/edition/Die_Hedgingeffektivit%C3%A4t_von_Aktienindex/StJ8BwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA63&printsec=frontcover Rainer Albrecht, ''Die Hedgingeffektivität von Aktienindexfutures'', 1995, S. 63]</ref>
:<math>\alpha D = i + \sigma D</math>.
Liegt beispielsweise der Momentanzins <math>i</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> unterhalb des mittleren Zinsniveaus <math>m</math>, würde man im nachfolgenden Zeitintervall eine Bewegung nach oben erwarten, doch kann es wegen einer zu berücksichtigenden Zufallsvariablen <math>\Delta i</math> dazu führen, dass sich der Zins nach unten bewegt.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Zinsen_Anleihen_Kredite/FWyaEAAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA136&printsec=frontcover Klaus Spremann/Pascal Gantenbein, ''Zinsen, Anleihen, Kredite'', 2007, S. 136]</ref>

== Modellierung ==
Das Geldmarkt- oder auch ein [[Bankkonto]] mit stetiger Verzinsung ist als rollierende Anlage definiert: Zum Startzeitpunkt <math>t=0</math> wird eine Geldeinheit investiert, die zu jedem Zeitpunkt <math>t\geq 0</math> mit dem jeweiligen Momentanzins <math>r_t</math> verzinst wird. Bezeichnet <math>B_t</math> den Guthabenstand des Geldmarktkontos, so folgt dieser – Stetigkeit des Momentanzinses vorausgesetzt – der Gleichung
:<math>B_t= \exp \left ( \int\limits_{0}^{t} r_u \mathrm{d}u\right )</math>.
Durch Ableitung erhält man die äquivalente Form als Differentialgleichung mit Startbedingung:
:<math>B_0=1</math>
und
:<math>\frac{dB_t}{dt}=r_t\cdot B_t</math>.
Der Guthabenstand <math>B_t</math> zum Zeitpunkt ''t'' stellt (aufgrund der Normierung <math>B_0=1</math>) auch den Akkumulations- oder Aufzinsungsfaktor für eine Zahlung im Zeitpunkt <math>0</math> dar.

== Wirtschaftliche Aspekte ==
Der Momentanzins ist kein [[Marktzins]], sondern Bestandteil oder Ergebnis eines [[Modell]]s. Die Risikoprämie und der Momentanzins sind die in den jeweiligen Modellspezifikationen vorgegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]].<ref>[https://www.google.de/books/edition/Bewertung_von_Optionen_unter_der_Coheren/JylTwV8mtkUC?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA66&printsec=frontcover Jochen Veith, ''Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis'', 2006, S. 66]</ref> Er wird stets vom [[Mean-Reversion-Effekt|Mean-Reversion-Level]] angezogen.<ref>[https://books.google.de/books?id=Ij2oEAAAQBAJ&pg=PA65&lpg=PA65&dq=Momentanzins&source=bl&ots=Zmq2hg1zDW&sig=ACfU3U3EneeILL9pmVNWfxpAEa6Y39g9iQ&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwj184-ikZuBAxVfgP0HHUExC8c4HhDoAXoECAQQAw#v=onepage&q=Momentanzins&f=false Anja Blatter/Sean Bradbury/Pascal Bruhn/Dietmar Ernst, ''Risikomanagement bei Banken und Versicherungen'', 2023, S. 65]</ref> ''Mean Reversion'' bedeutet, dass der Momentanzins um einen vorgegebenen (exogenen) [[Mittelwert]] schwankt und sich hin zu einem langfristigen Durchschnittswert bewegt bzw. driftet.

Da die Preise von Nullkuponanleihen nur von ''einer'' [[Zustandsvariable]]n – dem Momentanzins – abhängen, ist auch die gesamte Zinsstruktur vom Momentanzins abhängig.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Bewertung_festverzinslicher_Wertpapiere/NVObBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Momentanzins&pg=PA102&printsec=frontcover Günter Lassak, ''Bewertung festverzinslicher Wertpapiere am deutschen Rentenmarkt'', 1993, S. 100]</ref>

Von besonderer Bedeutung ist das Geldmarktkonto im Rahmen der [[Risikoneutrale Bewertung|risikoneutralen Bewertung]], bei der das Geldmarktkonto als Standardgut verwendet wird.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Nicole Branger/Christian Schlag
|Titel=Zinsderivate. Modelle und Bewertung
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2004
|ISBN=3-540-21228-0}}

== Einzelnachweise ==
<references></references>

[[Kategorie:Betriebswirtschaftslehre]]
[[Kategorie:Betriebswirtschaftliche Kennzahl]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Zinsgeschäft]]

Momentanzins - Versionsgeschichte

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