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2025-12-16T15:14:36Z

Verallgemeinerung

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[[Datei:Mollweide Original.jpg|miniatur|hochkant=1.2|Originalpublikation aus dem Jahr 1808 ]]
Die '''mollweideschen Formeln''', benannt nach dem deutschen [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] und [[Liste von Astronomen|Astronomen]] [[Carl Brandan Mollweide]], sind [[Trigonometrie|trigonometrische]] Formeln, die für beliebige [[Dreieck]]e gelten.

== Formeln ==
[[Datei:Triangle-tikz.svg|mini|hochkant=1.2|Bezeichnungen der Seiten und Winkel]]
:<math>(b + c) \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a \cdot \cos\left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right)</math>
:<math>(b - c) \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a \cdot \sin\left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right)</math>
:<math>(c + a) \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = b \cdot \cos\left(\frac{\gamma - \alpha}{2}\right)</math>
:<math>(c - a) \cdot \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) = b \cdot \sin\left(\frac{\gamma - \alpha}{2}\right)</math>
:<math>(a + b) \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) = c \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)</math>
:<math>(a - b) \cdot \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) = c \cdot \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)</math>

==Herleitungen==
===Algebraisch anhand trigonometrischer Identitäten===
[[Sinussatz#Sinussatz für ebene Dreiecke|Sinussatz]]:

:<math>{b \over a} = {\sin(\beta) \over \sin(\alpha)}</math> '''(1)'''

:<math>{c \over a} = {\sin(\gamma) \over \sin(\alpha)}</math> '''(2)'''

[[Formelsammlung Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identitäten)|Sinusidentitäten]]:

:<math>\sin(\beta) + \sin(\gamma) = 2 \cdot \sin\left({\beta + \gamma \over 2}\right) \cdot \cos \left({\beta - \gamma \over 2}\right)</math> '''(3)'''

:<math>\sin(\beta) - \sin(\gamma) = 2 \cdot \cos\left({\beta + \gamma \over 2}\right) \cdot \sin \left({\beta - \gamma \over 2}\right)</math> '''(4)'''

[[Formelsammlung Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen|Sinus-Additionstheorem für Doppelwinkel]]:

:<math>\sin(\alpha) = \sin\left(2 \cdot {\alpha \over 2}\right) = 2 \cdot \sin\left({\alpha \over 2}\right) \cdot \cos\left({\alpha \over 2}\right)</math> '''(5)'''

[[Formelsammlung Trigonometrie#Winkelsumme|Winkelsumme im Dreieck]] und [[Sinus und Kosinus#Herkunft_des_Namens|Übergang zum Komplementärwinkel]]:

:<math>\sin\left({\beta + \gamma \over 2}\right) = \sin\left({180^\circ - \alpha \over 2}\right) = \sin\left(90^\circ - {\alpha \over 2}\right) = \cos\left({\alpha \over 2}\right)</math> '''(6)'''

:<math>\cos\left({\beta + \gamma \over 2}\right) = \cos\left({180^\circ - \alpha \over 2}\right) = \cos\left(90^\circ - {\alpha \over 2}\right) = \sin\left({\alpha \over 2}\right)</math> '''(7)'''

Addition von (1) und (2), Anwendung von (3) und (5), Kürzen unter Verwendung von (6):

:<math>{b + c \over a} = {\sin(\beta) + \sin(\gamma) \over \sin(\alpha)} = \frac{2 \cdot \sin\left({\beta + \gamma \over 2}\right) \cdot \cos \left({\beta - \gamma \over 2}\right)}{2 \cdot \sin({\alpha \over 2}) \cdot \cos({\alpha \over 2})} = \frac{\cos \left({\beta - \gamma \over 2}\right)}{\sin({\alpha \over 2})} </math>

Subtraktion von (1) - (2), Anwendung von (4) und (5), Kürzen unter Verwendung von (7):

:<math>{b - c \over a} = {\sin(\beta) - \sin(\gamma) \over \sin(\alpha)} = \frac{2 \cdot \cos\left({\beta + \gamma \over 2}\right) \cdot \sin \left({\beta - \gamma \over 2}\right)}{2 \cdot \sin({\alpha \over 2}) \cdot \cos({\alpha \over 2})} = \frac{\sin \left({\beta - \gamma \over 2}\right)}{\cos({\alpha \over 2})} </math>

Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner ergibt die angegebenen Formeln. Die anderen beiden Formeln, die eine Summe bzw. eine Differenz zweier Seiten enthalten, entstehen durch [[Zyklische Permutation|zyklische Substitution]] der Seiten- und Winkelbezeichnungen.

===Geometrisch===
[[Datei:Mollweide formulas proof.svg|mini|rechts|hochkant=2.0|Bezeichnungen der Seiten und Winkel]]
Im rechtwinkligen Dreieck <math>\triangle AFB</math> gilt <math>|FB| = c \cdot \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)</math> und im rechtwinkligen Dreieck <math>\triangle EFB</math> zudem <math>|FB| = (a - b) \cdot \cos\left(\frac{\gamma}{2} \right)</math>. Damit ergibt sich:
:<math>(a - b) \cdot \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) = c \cdot \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)</math>
Betrachtet man die Strecke <math>AF</math>, so gilt für deren Länge:
:<math>\begin{align}
|AF| &= |AD| + |DE| + |EF| \\
&= b \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) + b \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) + (a - b) \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\
&= (a + b) \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) \\
\end{align}</math>
Im rechtwinkligen Dreieck <math>\triangle AFB</math> gilt aber auch <math>|AF| = c \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)</math>, damit ergibt sich insgesamt:
:<math>(a + b) \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) = c \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)</math><ref>Natanael Karjanto: ''Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry''. In: ''Teaching Mathematics and Its Applications'', 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, [[doi:10.1093/teamat/hrr008]] </ref>

== Verallgemeinerung ==
[[Datei:Sehenenviereck mollweid.svg|mini|hochkant=1.5|Ein [[Sehnenviereck]] mit den [[Innenwinkel|Innenwinkeln]] <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> und <math>\delta</math> und dem Winkel <math>\angle{CED} = \theta</math>.]]
Eine Verallgemeinerung der mollweideschen Formeln gilt für [[Sehnenviereck|Sehnenvierecke]]. Sei <math>\square ABCD</math> ein Sehnenviereck mit den Seitenlängen <math>|AB| = a</math>, <math>|BC| = b</math>, <math>|CD| = c</math> und <math>|DA| = d</math> und den Innenwinkeln <math>\angle{DAB} = \alpha</math>, <math>\angle{ABC} = \beta</math>, <math>\angle{BCD} = \gamma</math> und <math>\angle{CDA} = \delta</math>. Außerdem sei <math>E</math> der [[Schnittpunkt]] der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] und <math>\angle{CED} = \theta</math> der anliegende Winkel im Dreieck <math>\triangle{CED}</math>. Dann gilt:<ref>Emmanuel Antonio José García: ''A generalization of Mollweide's formula, rather Newton's'' Matinf, Band 5, Nr. 9–10, S. 19–22 ([http://matinf.upit.ro/MATINF9_10/files/downloads/Revista_2022.pdf#page=19 Digitalisat])</ref>

: <math>\begin{align}
\frac{a + c}{b + d}
&= \frac{\sin\tfrac{\alpha + \beta}{2}}{\cos\tfrac{\gamma - \delta}{2}} \cdot \tan\tfrac{\theta}{2} \\
\frac{a - c}{b - d}
&= \frac{\cos\tfrac{\alpha + \beta}{2}}{\sin\tfrac{\delta - \gamma}{2}} \cdot \cot\tfrac{\theta}{2} \\
\end{align}</math>

Daraus ergeben sich einige Varianten dieser Formeln:

: <math>\begin{align}
\sin\tfrac{\alpha + \beta}{2} = \phantom - \cos\tfrac{\beta - \gamma}{2} = \phantom - \sin\tfrac{\gamma + \delta}{2} = \cos\tfrac{\delta - \alpha}{2} \\
\cos\tfrac{\alpha + \beta}{2} = -\sin\tfrac{\beta - \gamma}{2} = -\cos\tfrac{\gamma + \delta}{2} = \sin\tfrac{\delta - \alpha}{2} \\
\end{align}</math>

Daraus erhält man die folgenden Formeln mit [[Tangens und Kotangens|Tangenswerten]] der Halbwinkel:

: <math>\begin{align}
\frac{a+c}{b+d} &= \frac{\tan\tfrac{\alpha}{2} + \tan\tfrac{\beta}{2}}{1 + \tan\tfrac{\alpha}{2} \cdot \tan\tfrac{\beta}{2}} \cdot \tan\tfrac{\theta}{2} \\
\frac{b-d}{a-c} &= \frac{\tan\tfrac{\alpha}{2} - \tan\tfrac{\beta}{2}}{1 - \tan\tfrac{\alpha}{2} \cdot \tan\tfrac{\beta}{2}} \cdot \tan\tfrac{\theta}{2} \\
\end{align}</math>

== Geschichte ==
Die Formeln wurden in der heutigen Darstellung 1808 von Mollweide veröffentlicht und verbreiteten sich anschließend unter seinen Namen. Allerdings waren sie schon vorher anderen Mathematikern bekannt. Die Kosinusgleichungen finden sich bereits in [[Isaac Newton]]s ''Arithmetica Universalis'' (1707). Sowohl die Sinus- als auch die Kosinusvariante finden sich als geometrische Lehrsätze in ''Analysis triangulorum'' (1746) von [[Friedrich Wilhelm von Oppel|F. W. de Oppel]]. Ebenfalls noch vor Mollweide finden sich die Formeln auch in Werken von [[Thomas Simpson (Mathematiker)|Thomas Simpson]] (1748), [[Antoine-René Mauduit]] (1765) und [[Antonio Cagnoli]] (1786).<ref>[[Johannes Tropfke]]: ''Geschichte der Elementarmathematik. Band 5''. de Gruyter,2-te erweiterte Auflage, 1923, S. 85 </ref>

== Literatur ==
* C. B. Mollweide: ''Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie.'' In: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 1808, Seiten 394–400.
*Heinz Klaus Strick: [https://www.spektrum.de/fm/976/Ma%CC%88rz%202021%20Karl%20Brandan%20Mollweide.pdf ''Karl B. Mollweide (1774–1825): Auf der Jagd nach der besten Karte'']. Spektrum, März 2021
* Natanael Karjanto: ''Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry''. In: ''Teaching Mathematics and Its Applications'', 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, [[doi:10.1093/teamat/hrr008]]
* Rex H. Wu: ''Proof Without Words: The Mollweide Equations from the Law of Sines''. In: ''Mathematics Magazine'', 93 (5), S. 386

== Weblinks ==
*Rex H. Wu: [https://www.geocities.ws/galois_e/pdf/mollweide%20article.pdf ''The Story of Mollweide and Some Trigonometric Identities'']

==Einzelnachweise ==
<references/>
[[Kategorie:Trigonometrie]]

Mollweidesche Formeln - Versionsgeschichte

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