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2025-12-09T19:32:23Z

lesbarer, trivial da Zahlbereichserweiterung

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Der '''Moivresche Satz''', auch '''Satz von de Moivre''' oder '''Formel von de Moivre''' (nach [[Abraham de Moivre]]<ref>Braunmühl (1971), Teil 2, S. 75.</ref>) besagt, dass für jede [[komplexe Zahl]] <math>x</math> und jede [[natürliche Zahl]] <math>n</math> gilt:<ref>Kerner und Wahl (2013), S. 70.</ref>
:<math>\left( \cos x + i\sin x \right)^n = \cos\left( n x\right) + i\sin\left(nx\right)</math>.
Diese Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der [[Trigonometrie]], sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können.

== Geschichte ==
Abraham de Moivre fand diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts.<ref>Braunmühl (1971), Teil 2, S. 78.</ref> De Moivre selbst erhielt die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer [[Isaac Newton]]<ref>Nahin, An imaginary tale, Princeton University Press 1998, S. 56.</ref> und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst [[Leonhard Euler]] 1748, ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', wo er auch die [[Eulersche Formel]] aufstellte).

== Herleitung ==
Der Moivresche Satz kann mit der [[Eulersche Formel|Eulerformel]]
:<math>e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\sin x</math>
der komplexen [[Exponentialfunktion]] und ihrer [[Funktionalgleichung]]
:<math>\left(e^{\mathrm{i}x} \right)^n = e^{\mathrm{i}xn}</math>
abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe [[Formelsammlung Trigonometrie #Additionstheoreme|Additionstheoreme]])
:<math>(\cos\varphi+ \mathrm{i}\sin\varphi)\cdot(\cos\psi+ \mathrm{i}\sin\psi) = \cos(\varphi+\psi)+ \mathrm{i}\sin(\varphi+\psi)</math>

per [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]].

== Anwendungen ==

=== Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl ===
Der Moivresche Satz führt schnell zu einer Formel für die <math>n</math>-ten Wurzeln einer komplexen Zahl: Jede komplexe Zahl <math>a = r (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi) \neq 0</math> hat genau <math>n</math> <math>n</math>-te Wurzeln, die gegeben sind durch<ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=38}}</ref>

:<math>z_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos \left(\frac{\varphi + 2k \pi}{n}\right) + \mathrm{i} \sin\left(\frac{\varphi + 2k \pi}{n}\right) \right) \quad \left(k=0,1,\ldots, n-1\right). </math>
Manchmal wird auch diese Formel als ''Formel von de Moivre'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Merziger, Thomas Wirth |Titel=Repetitorium höhere Mathematik |Auflage=6. |Verlag=Binomi Verlag |Ort=Hannover |Datum=2010 |ISBN=978-3-923923-34-2 |Seiten=103}}</ref>

== Verallgemeinerung ==
Für <math>z,w\in\mathbb{C}</math> ist
:<math>\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w</math>
eine [[Funktion (Mathematik)#Begriffsgeschichte|mehrwertige Funktion]], aber nicht
:<math>\cos\left(w z\right)+i\,\sin\left(w z\right).</math>
Dadurch gilt
:<math>\cos\left(w z\right) + i\,\sin\left(w z\right) \in
\{\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w\}.</math>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Anton von Braunmühl (Mathematiker)|Anton von Braunmühl]] |Titel=Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie |TitelErg=Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 – Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 – Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart |Auflage=Reprografischer Nachdruck der 1. |Verlag=M. Sändig |Ort=Niederwalluf bei Wiesbaden |Jahr=1971 |ISBN=3-500-23250-7 |Kommentar=Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900–1903}}
*{{Literatur |Autor=Hans Kerner, Wolf von Wahl |Titel=Mathematik für Physiker |Auflage=3. überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Jahr=2013 |ISBN=978-3-642-37653-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Moivrescher Satz - Versionsgeschichte

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