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2023-06-21T09:23:15Z

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Der '''Modus ponens''' ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen (siehe [[Logik]], [[Kalkül]]) als [[Schlussregel]] verwendet wird. Er erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form ''(Wenn A, dann B)'' und (''A)'' (den beiden Prämissen der Schlussfigur) eine Aussage der Form ''B'' (die Konklusion der Schlussfigur) herzuleiten.

Die technisch korrekte Bezeichnung für den Modus ponens ist – in Abgrenzung zum [[Modus tollendo ponens]] – '''Modus ponendo ponens'''. Synonym werden unter anderem die Ausdrücke '''Abtrennungsregel''' oder ''Implikationsbeseitigung'' verwandt. In halbformalen Kalkülen wird die Schlussregel vielfach mit ''MP'' abgekürzt.

== Etymologie ==
Der Ausdruck ''Modus ponens'' leitet sich aus den lateinischen Wörtern ''modus'' (hier: Schlussfigur) und ''ponere'' (stellen, setzen) ab und bedeutet ''setzende Schlussfigur'', d. h. Schlussfigur, bei der eine positive Aussage hergeleitet wird.

Der vollständige lateinische Name, ''Modus ponendo ponens'', "Schlussfigur (modus), die durch das Setzen (ponendo) einer Aussage eine andere Aussage setzt (ponens)", lässt sich so erklären, dass bei gegebener erster Prämisse, "Wenn A, dann B", durch das "Setzen" (Annehmen) der zweiten Prämisse, A, der aus beiden folgende Satz B "gesetzt" (hergeleitet) wird.

Er entspricht einer der fünf Typen des [[hypothetischer Syllogismus|hypothetischen Syllogismus]] nach [[Chrysipp]]: 'Wenn das erste, dann das zweite; aber das erste; also das zweite'.<ref>Vgl. ''Peter Thom'': Syllogismus; Syllogistik. in: Historisches Wörterbuch der Philosophie Bd. 10, S. 695</ref>

== Formen und Beispiel ==
=== Als Schlussform ===
{|
!Schema ||Beispiel
|-
|
{{Schlusstabelle|P1=<math>A \to B</math>|P2=<math>A</math>|K=<math>B</math>|S=modus ponendo ponens}}
|
{{Schlusstabelle|P1=Wenn es regnet, wird die Straße nass.|P2=Es regnet.|K=Die Straße wird nass.|S=modus ponendo ponens}}
|}

Aus den [[Prämisse]]n der Form <math>A \to B</math> und <math>A</math> wird auf die [[Conclusio]] <math>B</math> geschlossen.

Formal wird der Modus ponens mit dem [[Ableitung (Logik)|Ableitungsoperator]] <math>\vdash</math> als Schlussregel <math>A, A\to B\vdash B</math> notiert.
=== Als Aussage ===

Obwohl der Modus ponendo ponens eine Schlussregel, also ein [[Metasprache|metasprachliches]] Konzept ist, wird die Bezeichnung „Modus ponens“ gelegentlich auch für [[Objektsprache|objektsprachliche]] Ausdrücke mit der folgenden Gestalt verwendet:

:(A ∧ (A → B)) → B

Da aber Schlussregeln und Aussagen ganz unterschiedliche Konzepte sind, ist es wissenschaftlich eher unglücklich, sie mit derselben Bezeichnung zu benennen. Generell ist die Vermischung von Objekt- und Metasprache problematisch und sollte normalerweise unterbleiben.

=== Als Subjunktionsbeseitigungsregel ===

Als ''Abtrennungsregel'' in logischen [[Kalkül]]en (auch: Beseitigungsregel der [[Subjunktion]] (Implikation) in den [[Systeme natürlichen Schließens|Systemen des natürlichen Schließens]]) lautet er so:

:→ Abtrennregel: (A → B), A ⇒ B

=== Als Schnittregel ===

In metalogischer Fassung ist es die Schnittregel:
:<math>\qquad\frac{\Gamma\| A\qquad A, \Delta\| B}{\Gamma, \Delta\| B}</math>
(Hier wird der Doppelstrich '''||''' für die Abschließbarkeit von [[Dialogische Logik|Dialogstellungen]] benutzt.)

Dass die [[Schnittregel]] in den [[Logikkalkül|Gentzentypkalkülen]] [[Zulässige Regel|zulässig]] ist, besagt der [[Gentzenscher Hauptsatz|Gentzensche Hauptsatz]].

== Siehe auch ==

* [[Modus tollens]], eigentlich ''Modus tollendo tollens''
* [[Modus tollendo ponens]]
* [[Modus ponendo tollens]]

== Weblinks ==
* [http://de.metamath.org/mpegif/ax-mp.html Metamath-Link]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Logik]]

Modus ponens - Versionsgeschichte

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