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2026-02-17T13:37:43Z

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In der Mathematik ist ein '''Modulhomomorphismus''' eine Abbildung <math>f\colon M\rightarrow N </math> zwischen zwei [[Modul (Mathematik)|Moduln]] <math>M</math> und <math>N</math> über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math>, welche mit der Modulstruktur verträglich ist.
Sie übersetzt beispielsweise die Addition von <math> M </math> in die Addition von <math> N </math>.
Eine Addition kann man zweifach übersetzen.
# Man addiert zunächst in <math> M </math> und übersetzt dann mit <math> f </math>.
# Man übersetzt mit <math> f </math> die Summanden und berechnet die Summe in <math> N </math>.

Bei einem Homomorphismus ergibt sich stets dasselbe. Ersetzt man in der Definition der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] zwischen Vektorräumen den [[Körper (Algebra)|Körper]] durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus. Der Ring braucht nicht kommutativ zu sein.

== Homomorphismus ==
=== Definition ===
Es seien zwei Rechtsmoduln <math> M, N</math> über einem Ring <math>R</math> gegeben. Eine Abbildung <math> f\colon M \rightarrow N </math> heißt ''Homomorphismus'' von <math> M </math> nach <math> N </math>, wenn für alle <math>m_1, m_2\in M</math> und alle <math> r\in R</math> gilt:

:<math> f(m_1+m_2)=f(m_1)+f(m_2) </math> und <math> f(m_1\cdot r)=f(m_1)\cdot r</math>

Entsprechend erklärt man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln:
Eine Abbildung <math> f\colon M \rightarrow N </math> zwischen zwei Linksmoduln <math>M</math> und <math>N</math> über dem Ring <math>R</math> heißt ''Homomorphismus'' von <math> M </math> nach <math> N </math>, wenn für alle <math>m_1, m_2\in M</math> und alle <math> r\in R</math> gilt:

:<math> f(m_1+m_2)=f(m_1)+f(m_2) </math> und <math> f(r \cdot m_1)=r \cdot f(m_1)</math>

Die Menge der Homomorphismen von <math> M </math> nach <math> N </math> wird mit <math> \operatorname{Hom}_R(M,N) </math> bezeichnet.

Ein Homomorphismus <math> f\colon M\rightarrow M</math> von einem Modul <math>M</math> in sich selbst heißt Endomorphismus von <math>M</math>.

Sind <math> M</math> und <math> N </math> zwei <math>S</math>-<math>R</math>-[[Modul (Mathematik)#Bimoduln|Bimoduln]] über Ringen <math>R</math> und <math>S</math>, so heißt eine Abbildung <math>f\colon M \to N</math> ein ''Homomorphismus von S-R-Bimoduln'', wenn für alle <math>m, m_1, m_2 \in M,\ s\in S, \ r\in R</math> gilt:

:<math>f(m_1+m_2)=f(m_1)+f(m_2)</math> und <math> f(s\cdot m\cdot r) = s\cdot f(m\cdot r) = s\cdot f(m) \cdot r </math>.

=== Beispiele ===
# Ist <math>M</math> ein beliebiger Modul, so gibt es genau einen Homomorphismus <math> 0\colon \{0\} \rightarrow M </math>, nämlich <math>0 \mapsto 0 \in M</math>. Es ist <math> \{0\} </math> ein [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Anfangsobjekt]] in der Kategorie der Rechtsmoduln. Genauso gibt es nur einen Homomorphismus <math> M \to \{0\}</math>, die [[Nullabbildung]] (<math>m \mapsto 0</math> für alle <math>m \in M</math>). Es ist auch <math> \{0\} </math> ein Endobjekt. Man fasst zusammen, wenn man sagt, <math> \{0\} </math> ist ein Nullobjekt.
# Die Identität <math> \mathbf{1}_M\colon M \to M, \, m \mapsto m </math> ist ein Homomorphismus.
# Das Zentrum eines Ringes <math> R</math> ist die Menge <math> Z=\{s \in R \mid s \cdot r=r\cdot s\text{ für alle } r\in R\} </math> ist ein Unterring des Ringes <math> R </math>. Ist <math> s </math> im Zentrum des Ringes, so ist <math> l(s)\colon M \to M, \, m \mapsto m\cdot s</math> ein Homomorphismus.
# Sind <math> f, g\colon M\rightarrow N</math> zwei Homomorphismen, so ist ihre Summe <math> f+g\colon M \to N, \, m \mapsto f(m)+g(m)</math> ein Homomorphismus.

=== Eigenschaften ===
* Ist <math> f\colon M\rightarrow N</math> ein Homomorphismus und ist <math>V\hookrightarrow N</math> ein [[Untermodul]] von <math>N</math> so ist <math> f^{-1}(V):=\{m \in M \mid f(m) \in V \} </math> ein Untermodul von <math> M </math>. Insbesondere ist <math> f^{-1}(\{0\}) </math> ein Untermodul von <math> M </math>. Dieser Untermodul heißt [[Kern (Algebra)|Kern]] des Homomorphismus <math>f</math>. Er wird oft mit <math> \operatorname{Kern}(f) </math> oder auch einfach <math> \operatorname{Ke}(f) </math> bezeichnet.
* Ist <math>U</math> ein Untermodul von <math>M</math> und <math>f\colon M \to N</math> ein Modulhomomorphismus, so ist <math> f(U)=\{f(u)\mid u \in U\}</math> ein Untermodul von <math>N</math>. Er heißt Bild von <math>U</math> unter <math> f</math>. Insbesondere ist <math> f(M) </math>, die Bildmenge von <math> f</math>, ein Untermodul von <math> N</math>. Er wird oft mit <math> \operatorname{Bild}(f) </math> oder einfach <math> \operatorname{Bi}(f) </math> bezeichnet.
* Die Verkettung oder [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Menge der Moduln über einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine [[Kategorientheorie|Kategorie]].
* Ist <math> M </math> ein Modul, so bildet die Menge der [[Endomorphismus|Endomorphismen]] einen unitären Ring. Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung.

== Monomorphismus ==
=== Satz ===

Für einen Homomorphismus <math> f\colon M_{R}\rightarrow N_{R}</math>
zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.
# <math>
\operatorname{Kern}(f) = \{m\in M\mid f(m)=0\} =\{0\}
</math>
# Für alle <math> a,b\in M </math> mit <math> f(a)=f(b) </math> ist <math> a=b</math>.
# <math>
f
</math> ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln <math> L_{R}</math> und alle Homomorphismen <math> g,h:L_{R} \rightarrow M_{R}</math> gilt: <math> fg=fh\Rightarrow g=h</math>.
Erfüllt ein Homomorphismus <math>f\colon M_{R}\rightarrow N_{R}</math> eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt <math>f \, </math> '''Monomorphismus''' zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass <math> f </math> im Sinne der [[Kategorientheorie]] ein [[Monomorphismus]] ist.

=== Beispiele ===
# Ist <math> U \hookrightarrow M </math> ein [[Untermodul]], so ist die Inklusionsabbildung <math> \iota \colon U \to M, \, u \mapsto u</math> ein Monomorphismus.
# Jeder <math> \mathbb{Z}</math>-Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphismus.

===Bemerkungen===
# Sind <math> f\colon M\rightarrow N</math> und <math>g\colon N \rightarrow O </math> Monomorphismen, so ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus.
# Ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus, so ist <math> f </math> ein Monomorphismus.
# Ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus, so ist <math> f(M) \cap \operatorname{Kern}(g) =\{0\} </math>.

== Epimorphismus ==
=== Definition ===
Für einen Modulhomomorphismus <math> f\in \operatorname{Hom}_R(M,N) </math> sind folgende Aussagen äquivalent:

# <math> N/f(M) = 0</math>. Dabei ist <math> N/f(M) </math> der [[Quotientenmodul|Faktormodul von N modulo f(M)]].
# Die Abbildung <math>f</math> ist [[Surjektivität|surjektiv]].
# <math> f </math> ist rechts kürzbar. Das heißt, für alle Moduln <math> P </math> und alle Homomorphismen <math> g,h \in \operatorname{Hom}_R(N,P) </math> gilt: <math> gf= hf \Rightarrow g=h</math>.

Ein Homomorphismus, der eine und damit alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Epimorphismus. Die dritte Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der [[Kategorientheorie]] ein [[Epimorphismus]] ist.

=== Beispiele ===
# Die Identität <math> M \to M, \, m\mapsto m</math> ist ein Epimorphismus.
# Ist <math> R </math> ein [[Integritätsring]] und <math> K </math> sein [[Quotientenkörper]], so ist jeder Homomorphismus <math> 0\neq f \in \operatorname{Hom}_R(K,K)</math> ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
# Es sei p eine Primzahl und <math> \Z[p^{-1}] =\{ z\cdot p^{-i} \mid z \in \Z, i\in \N \} </math> der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der <math> p^{-1}</math> enthält. Ist <math> M_{\Z}:=\Z[p^{-1}]/\Z </math>, so ist jeder Endomorphismus von <math> M_{\Z} </math>, der ungleich der Nullabbildung ist, ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.

=== Eigenschaften ===
# Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
# Ist <math> f \in \operatorname{Hom}_R(M,N),\quad g\in \operatorname{Hom}_R(N,P) </math> und <math> gf </math> ein Epimorphismus, so ist <math> g </math> ein Epimorphismus und es ist <math> \operatorname{Kern}(g) + f(M)= N </math>.

== Isomorphismen ==
Ein Homomorphismus <math> f\colon M \rightarrow N </math> heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus <math>g \colon N \rightarrow M </math> gibt, so dass <math> g\circ f =\mathbf{1}_{M} </math> und <math> f\circ g =\mathbf{1}_{N} </math> ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn <math>f</math> ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist. Dabei ist <math> \mathbf{1}_{M} </math> die Identität auf dem Modul <math> M </math> und <math> \mathbf{1}_{N} </math> analog die Identität auf dem Modul <math> N </math>. Zwei Moduln <math> M , N </math> heißen isomorph, in Zeichen <math> M \cong N </math>, wenn es einen Isomorphismus <math> \alpha: M \rightarrow N </math> gibt.

== Produktzerlegungen von Homomorphismen ==
===Homomorphiesatz===

Ist <math>f\colon M \rightarrow N </math> ein Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus <math> f^* \colon M/\operatorname{Kern}(f) \to N </math>, so dass <math> f^{*} \pi = f </math> gilt. Dabei ist <math> \pi \colon M \to M/\operatorname{Kern}(f)</math> mit <math>m \mapsto m+\operatorname{Kern}(f)</math> der kanonische Epimorphismus. <math> f^{*} </math> ist stets ein Monomorphismus. Ist <math>f</math> ein Epimorphismus, so ist <math> f^{*} </math> ein Isomorphismus.

Der [[Homomorphiesatz]] besagt also, dass das folgende [[Kommutatives Diagramm|Diagramm kommutiert]].

:<math>
\begin{array}{ccl}
M & \stackrel{f}{\longrightarrow} & N\\
\pi \Big\downarrow & & \parallel \mathbf{1}_{N}\\
M/\operatorname{Kern}(f) & \stackrel{f^*}{\longrightarrow} & N
\end{array}
</math>

=== 1. Isomorphiesatz ===
Seien <math> U,V\hookrightarrow M </math> Untermoduln von <math> M </math> Dann gilt:
<math> (U+V)/V \cong U/(U\cap V) </math>. Der Isomorphismus ist <math> (U+V)/V \ni u+V \mapsto u+U\cap V\in U/(U\cap V) </math>

''Folgerung: ''
Seien <math> U \hookrightarrow M</math> und <math>V \hookrightarrow M </math> Untermoduln von <math> M </math> mit <math> U\oplus V = M</math>, so ist <math> U\cong M/V </math>.<ref>Friedrich Kasch, '' Moduln und Ringe'', Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57</ref>

=== 2. Isomorphiesatz ===
Es seien <math> U\hookrightarrow V \hookrightarrow M </math> Untermoduln von <math> M </math>. Dann gilt:

:<math>M/V \cong (M/U)/(V/U)</math>.<ref> Friedrich Kasch, '' Moduln und Ringe'', Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58 </ref>

== Der Hom-Funktor ==
{{Hauptartikel|Hom-Funktor}}
Sind <math> M,N </math> Moduln, so ist <math>\operatorname{Hom}(M,N) </math> die Menge der Homomorphismen <math> f\colon M \rightarrow N </math>.

=== Moduleigenschaften von Hom ===
* Die Menge <math> \operatorname{Hom}(M,N) </math> wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen <math> f, g\colon M\rightarrow N </math> die Summe folgendermaßen definiert ist: <math> f+g\colon M\ni m \mapsto f(m) + g(m)\in N </math>.
* Ist <math> M </math> ein <math> S-R </math> Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring <math> S </math> und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring <math> R </math>, so wird <math> \operatorname{Hom}_R(M,N) </math> auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring <math> S </math>, wenn man für <math> f\in \operatorname{Hom}_R(M,N) </math> und <math> s\in S </math> definiert: <math> f\cdot s\colon M\ni m \mapsto f(s\cdot m) \in N </math>. Ist insbesondere <math> S </math> der Endomorphismenring von <math> M </math>, so ist <math> \operatorname{Hom}(M,N) </math> auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring <math> S </math>.
* Ist <math> N </math> ein <math> S-R </math> Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring <math> S</math> und auf der rechten Seite über dem Ring <math> R </math>, so wird <math> \operatorname{Hom}_R(M,N) </math> auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring <math> S </math>, wenn man für <math> f\in \operatorname{Hom}_R(M,N) </math> und <math> s\in S </math> definiert: <math> s\cdot f \colon M \ni m \mapsto s\cdot f(m) \in N </math>.

=== Der kovariante Funktor Hom ===
Ist <math> M </math> ein Modul, so ordnet man jedem Modul <math> N </math> die abelsche Gruppe <math> \operatorname{Hom}(M,N) </math> zu. Jedem Homomorphismus <math> \alpha\colon A \rightarrow B </math> wird der Homomorphismus <math> \operatorname{Hom}(M,\alpha)\colon \operatorname{Hom}(M,A) \ni f \mapsto \alpha \circ f \in \operatorname{Hom}(M,B) </math> zugeordnet. Es gilt dann für alle <math> \alpha\colon A \rightarrow B\, \, , \beta\colon B \rightarrow C </math>: <math> \operatorname{Hom}(M,\beta \circ \alpha) = \operatorname{Hom}(M,\alpha) \circ \operatorname{Hom}(M,\beta) </math>. Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet. <math> \operatorname{Hom}(M,-) </math> ist ein [[kovarianter Funktor]] von der Kategorie der Moduln über dem Ring <math> R </math> in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist <math> M </math> wie oben ein <math> S-R </math> Bimodul, so ist <math> \operatorname{Hom}(M,-) </math> ein Funktor von der Kategorie der Moduln über <math> R </math> in die Kategorie der Moduln über <math> S </math>.

=== Linksexaktheit von Hom ===
Für einen Komplex <math> 0 \rightarrow A \;\overset\alpha\rightarrow\; B \;\overset\beta\rightarrow\; C</math>, das heißt, es gilt <math> \beta \circ \alpha =0 </math>, sind die folgenden Aussagen äquivalent:
* <math> 0 \rightarrow A \;\overset\alpha\rightarrow\; B \;\overset\beta\rightarrow\; C</math> ist exakt.
* Für alle Moduln <math> M </math> ist <math> 0 \rightarrow \operatorname{Hom}(M,A)\rightarrow \operatorname{Hom}(M,B) \rightarrow \operatorname{Hom}(M,C)</math> [[Exakte Sequenz|exakt]].
* Es gibt einen [[Produkt von Moduln#Bezeichnungen und Beispiele|Generator]] <math> G </math>, so dass die Folge <math> 0 \rightarrow \operatorname{Hom}(G,A)\rightarrow \operatorname{Hom}(G,B)\rightarrow \operatorname{Hom}(G,C)</math> exakt ist.
Auch wenn <math>\beta</math> surjektiv ist, so ist das für <math>\operatorname{Hom}(M,B) \rightarrow \operatorname{Hom}(M,C)</math> im Allgemeinen nicht der Fall, das heißt, der Hom-Funktor ist im Allgemeinen nicht exakt. Die Abweichung von der Exaktheit wird durch den [[Ext (Mathematik)|Ext-Funktor]] gemessen.

== Einzelnachweise ==
<references/>
== Literatur ==
* Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: ''Rings and Categories of Modules''. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
* Friedrich Kasch: ''Moduln und Ringe''. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
* Robert Wisbauer: ''Grundlagen der Modul- und Ringtheorie''. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1

[[Kategorie:Algebra]]

Modulhomomorphismus - Versionsgeschichte

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