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2025-05-04T09:37:51Z

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[[Datei:Smallest nonmodular lattice 1.svg|mini|[[Hassediagramm]] von <math>N_5</math>, dem kleinsten nichtmodularen Verband.]]
Ein '''modularer Verband''' im Sinne der [[Ordnungstheorie]] ist ein [[Verband (Mathematik)|Verband]], der die folgende selbst-duale Bedingung erfüllt (Modularitätsgesetz):
:<math>x \leq b</math> impliziert <math>x \vee(a \wedge b) = (x \vee a) \wedge b.</math>
Modulare Verbände treten in der [[Algebra]] und vielen anderen Bereichen der Mathematik auf. So bilden beispielsweise die [[Untervektorraum|Untervektorräume]] eines [[Vektorraum]]s (und allgemeiner die [[Untermodul]]n eines [[Modul über einem Ring|Moduls über einem Ring]]) einen modularen Verband.

Jeder [[Distributiver Verband|distributive]] Verband ist modular.

In einem nichtmodularen Verband, kann es dennoch Elemente <math>b</math> geben, die das Modularitätsgesetz zusammen mit beliebigen Elementen <math>a</math> und <math>x</math> erfüllen (unter der Bedingung <math>x\le b</math>). Ein solches Element <math>b</math> heißt '''modulares Element'''. Noch allgemeiner kann man Paare <math>(a,b)</math> von Elementen betrachten, die das Modularitätsgesetz für alle Elemente <math>x</math> erfüllen. Ein solches Paar heißt '''modulares Paar''', und es gibt mehrere mit der [[Semimodularer Verband|Semimodularität]] zusammenhängende Verallgemeinerungen von Modularität, die auf diesen Begriff aufbauen.

== Einführung ==
Das Modularitätsgesetz kann man als ein eingeschränktes [[Assoziativgesetz]] auffassen, das die beiden Verbandsoperationen in ähnlicher Weise verknüpft wie das Assoziativgesetz <math>\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x</math> für Vektorräume die Körpermultiplikation mit der skalaren Multiplikation. Die Einschränkung <math>x\le b</math> ist nötig, da sie aus <math>x\vee (a \wedge b) = (x \vee a) \wedge b</math> folgt.

[[Datei:Smallest nonmodular lattice 2.svg|200px|mini|Nichtmodularität von <math>N_5</math>.]]
Man kann leicht überprüfen, dass aus <math>x\le b</math> in jedem Verband <math>x \vee (a \wedge b) \le (x \vee a) \wedge b</math> folgt. Daher kann man das Modularitätsgesetz auch wie folgt formulieren:
;'''Modularitätsgesetz (Variante)''': <math>x\le b</math> impliziert <math>x \vee (a \wedge b) \ge (x \vee a) \wedge b</math>.

Indem man für <math>x</math> den Term <math>x\wedge b</math> einsetzt, kann man das Modularitätsgesetz wie folgt durch eine Gleichung ausdrücken, die ohne Vorbedingungen erfüllt sein muss:
:<math>(x \wedge b) \vee (a \wedge b) = \left[(x \wedge b) \vee a\right] \wedge b</math>.
Das zeigt (unter Benutzung von Begriffen aus der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]]), dass die modularen Verbände eine Untervarietät der Varietät der Verbände bilden. Daher sind alle homomorphen Bilder, [[Unterverband|Unterverbände]] und direkten Produkte von modularen Verbänden wieder modular.

Der kleinste nichtmodulare Verband ist der „Pentagonverband“ <math>N_5</math>, der aus fünf Elementen <math>0,1,x,a,b</math> besteht, so dass <math>0 < x , und <math>a</math> nicht mit <math>x</math> oder mit <math>b</math> vergleichbar ist. Für diesen Verband gilt <math>x \vee (a \wedge b) = x \vee 0 = x , im Widerspruch zum Modularitätsgesetz. Jeder nichtmodulare Verband hat eine Kopie von <math>N_5</math> als Unterverband.

Nach [[Richard Dedekind]], der das Modularitätsgesetz entdeckte, werden modulare Verbände manchmal heute noch als '''Dedekindverbände''' bezeichnet.

== Diamant-Isomorphiesatz ==

Für je zwei Elemente <math>a,b</math> eines modularen Verbandes kann man die Intervalle <math>\left[a \wedge b, b\right]</math> und <math>\left[a, a \vee b\right]</math> betrachten. Zwischen ihnen gibt es die ordnungserhaltenden Abbildungen
::<math>\phi\colon \left[a \wedge b, b\right] \to \left[a, a \vee b\right]</math> und
::<math>\psi\colon \left[a, a \vee b\right] \to \left[a \wedge b, b\right]</math>,
definiert durch <math>\phi(x) = x \vee a</math> und <math>\psi(x) = x \wedge b</math>.

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Modular pair.svg|In einem modularen Verband sind die angedeuteten Abbildungen <math>\phi</math> and <math>\psi</math> Isomorphismen und invers zueinander.
Not a modular pair.svg|Gegenbeispiel zum Diamant-Isomorphiesatz in einem nichtmodularen Verband
</gallery>

Die Zusammensetzung <math>\psi\phi</math> ist eine ordnungserhaltende Abbildung vom Intervall <math>\left[a \wedge b, b\right]</math> in sich selbst, die außerdem die Ungleichung <math>\psi(\phi(x)) = (x \vee a) \wedge b \ge x</math> erfüllt. Das Beispiel zeigt, dass diese Ungleichung i. A. keine Gleichung sein muss. In einem modularen Verband gilt dagegen immer die Gleichung. Da der duale Verband zu einem modularen Verband wieder modular ist, ist <math>\phi\psi</math> ebenso die [[Identische Abbildung|Identitätsabbildung]] auf <math>\left[a, a \vee b\right]</math>; daher sind <math>\phi</math> und <math>\psi</math> [[Isomorphismus|Isomorphismen]] zwischen diesen beiden Intervallen.

Dieser [[Lehrsatz|Satz]] wird als '''Isomorphiesatz für modulare Verbände''' oder manchmal auch als '''Diamant-Isomorphiesatz''' (für modulare Verbände) bezeichnet. Ein Verband ist genau dann modular, wenn der Diamant-Isomorphiesatz für jedes Paar von Elementen gilt.

Der Isomorphiesatz für modulare Verbände ist analog zum dritten [[Isomorphiesatz]] in der Algebra, und er ist eine Verallgemeinerung des [[Verbandssatz]]es.

== Modulare Paare ==
[[Datei:Centred hexagon lattice D2.svg|mini|Der mit einem Mittelpunkt versehene Hexagonverband <math>S_7</math>, auch als <math>D_2</math> bekannt, ist M-symmetrisch aber nicht modular.]]
In jedem Verband versteht man unter einem '''modularen Paar''' ein Paar <math>(a,b)</math> von Elementen, so dass für alle Elemente <math>x</math>, die <math>a\wedge b \le x\le b</math> erfüllen, die Gleichung <math>(x\vee a)\wedge b=x</math> gilt. In anderen Worten sind die modularen Paare die Paare, für welche die eine Hälfte des Diamant-Isomorphiesatzes gilt. Der [[Französische Sprache|französische]] Ausdruck für „modulares Paar“ ist ''couple modulaire''. Ein Paar <math>(a,b)</math> heißt auf Französisch ''paire modulaire'', falls sowohl <math>(a,b)</math> als auch <math>(b,a)</math> modulare Paare sind. Ein Verbandselement <math>b</math> heißt '''(rechts)modulares Element''', falls für alle Elemente <math>a</math> das Paar <math>(a,b)</math> modular ist.

Manche Verbände haben die Eigenschaft, dass für jedes modulare Paar <math>(a,b)</math> auch das Paar <math>(b,a)</math> modular ist. Ein solcher Verband heißt '''M-symmetrischer Verband'''. Einige Autoren, zum Beispiel Fofanova, bezeichnen solche Verbände als ''semimodulare Verbände''. Da jeder M-symmetrische Verband [[Semimodularer Verband|semimodular]] ist und für Verbände von endlicher Länge auch die Umkehrung gilt, kann dies nur für gewisse unendliche Verbände zu Verwirrung führen. Da ein Verband genau dann modular ist, wenn jedes Paar von Elementen modular ist, ist jeder modulare Verband M-symmetrisch. Im oben beschriebenen Verband <math>N_5</math> ist das Paar <math>(b,a)</math> modular, nicht aber das Paar <math>(a,b)</math>. Folglich ist <math>N_5</math> nicht M-symmetrisch. Der mit einem Mittelpunkt versehene Hexagonverband <math>S_7</math> ist M-symmetrisch, aber nicht modular. Da <math>N_5</math> ein Unterverband von <math>S_7</math> ist, bilden die M-symmetrischen Verbände keine Untervarietät der Varietät der Verbände.

M-Symmetrie ist kein selbstdualer Begriff. Ein '''dual-modulares Paar''' ist ein Paar, welches im dualen Verband modular ist, und ein Verband heißt dual M-symmetrisch oder '''M*-symmetrisch''' falls der duale Verband M-symmetrisch ist. Man kann zeigen, dass ein endlicher Verband genau dann modular ist, wenn er M-symmetrisch und M*-symmetrisch ist. Dieselbe Äquivalenz gilt für unendliche Verbände, welche die [[aufsteigende Kettenbedingung]] (oder die absteigende Kettenbedingung) erfüllen.

Einige weniger wichtige Begriffe stehen im engen Zusammenhang hierzu. Ein Verband heißt '''kreuzsymmetrisch''', falls für jedes modulare Paar <math>(a,b)</math> das Paar <math>(b,a)</math> dual modular ist. Aus Kreuzsymmetrie folgt M-Symmetrie, aber nicht M*-Symmetrie. Daher ist Kreuzsymmetrie nicht zur dualen Kreuzsymmetrie äquivalent. Ein Verband mit einem kleinsten Element 0 heißt '''⊥-symmetrisch''' falls für jedes modulare Paar <math>(a,b)</math>, welches <math>a\wedge b=0</math> erfüllt, das Paar <math>(b,a)</math> ebenfalls modular ist.

== Siehe auch ==
* [[Modulares Gesetz von Dedekind]]
* [[Modulare Gruppe (M-Gruppe)]]

== Literatur ==
* {{Literatur| Autor= [[Garrett Birkhoff]]| Titel= Lattice Theory| Auflage= 3.| Verlag= AMS| Ort=Providence, RI| Datum=1973| ISBN= 0-8218-1025-1}}
* {{Literatur| Autor= [[Richard Dedekind]]| Titel= Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe| Sammelwerk= Mathematische Annalen| Band= 53| Nummer= 3|Verlag=|Datum=1900-09-01|Seiten=371–403|ISSN=0025-5831|DOI=10.1007/BF01448979}}
* {{Literatur| Autor= George Grätzer| Titel= General Lattice Theory| Auflage= 2.| Verlag= Birkhäuser|Ort=Basel / Boston| Datum=1998| ISBN= 3-7643-5239-6}}
* {{Literatur| Autor= [[Hans Hermes]]| Titel= Einführung in die Verbandstheorie|Reihe= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete| Auflage= 2.| Verlag= Springer| Ort=Berlin / Heidelberg|Datum=1967|DOI=10.1007/978-3-642-86524-4|HrsgReihe= B. Eckmann, B. L. van der Waerden |BandReihe= 73|NummerReihe=7}}
* {{EoM| Autor= [[Lew Anatoljewitsch Skornjakow|L. A. Skornyakov]]| Titel= Modular lattice| id= Modular_lattice}}
* {{Literatur| Autor= Gábor Szász| Titel= Einführung in die Verbandstheorie| Verlag= Akademiai Kiado| Ort=Budapest|Datum=1962|OCLC=13475544}}

== Weblinks ==
* {{PlanetMath|title=Modular lattice |id=ModularLattice}}
* [https://www.source-code.biz/lattice Free Modular Lattice Generator] Eine Open Source browser-basierte Webanwendung, die einige freie modulare Verbände erzeugen und visualisieren kann.

[[Kategorie:Verband (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Verbandstheorie]]

Modularer Verband - Versionsgeschichte

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