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2025-09-04T16:22:10Z

Parameter fix

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Die '''modifizierte diskrete Kosinustransformation''' (englisch {{lang|en|''modified discrete cosine transform''}}, kurz: ''MDCT'') ist eine [[Reelle Zahl|reellwertige]], [[Diskretheit|diskrete]], [[Lineare Abbildung|lineare]], [[Orthogonale Abbildung|orthogonale]] [[Transformation (Mathematik)|Transformation]], die zu der Gruppe der [[Diskrete Fouriertransformation|diskreten Fouriertransformationen]] (DFT) zählt und eine Modifikation der namensgebenden [[Diskrete Kosinustransformation|diskreten Kosinustransformation]] (DCT) ist.

Die MDCT wurde in den Jahren 1986, 1987 von John P. Princen, A. W. Johnson und Alan B. Bradley entwickelt.<ref>{{Literatur |Autor=John P. Princen, Alan B. Bradley |Titel=Analysis/Synthesis filter bank design based on time domain aliasing cancellation |Sammelwerk=IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing |Band=34 |Nummer=5 |Datum=1986-10 |Seiten=1153–1161 |DOI=10.1109/TASSP.1986.1164954}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. Princen, A. Johnson, A. Bradley |Titel=Subband/Transform coding using filter bank designs based on time domain aliasing cancellation |Sammelwerk=Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE International Conference on ICASSP ’87. |Band=12 |Datum=1987 |Seiten=2161–2164 |Kommentar=Erstmalige Erwähnung des Begriffes ''MDCT'' |DOI=10.1109/ICASSP.1987.1169405}}</ref>

Die MDCT ist die zentrale Transformation der [[Audiodatenkompression]]sverfahren
[[Advanced Audio Coding]] (AAC),<ref name="Luo">{{cite book |last1=Luo |first1=Fa-Long |title=Mobile Multimedia Broadcasting Standards: Technology and Practice |date=2008 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=9780387782638 |page=590 |url=https://books.google.com/books?id=l6PovWat8SMC&pg=PA590 |language=en}}</ref>
[[Dolby Digital]] (AC-3),
[[Vorbis]] und [[Opus (Audioformat)|Opus]],
aber auch [[MP3|MPEG Audio Layer 3]] (MP3),
[[Windows Media Audio]] (WMA),
[[ATRAC]],
[[Cook codec|Cook]],
[[LDAC (codec)|LDAC]],
[[High-Definition Coding]] (HDC),<ref>{{cite book |last1=Jones |first1=Graham A. |last2=Layer |first2=David H. |last3=Osenkowsky |first3=Thomas G. |title=National Association of Broadcasters Engineering Handbook: NAB Engineering Handbook |date=2013 |publisher=[[Taylor & Francis]] |isbn=978-1-136-03410-7 |pages=558–9 |url=https://books.google.com/books?id=K9N1TVhf82YC&pg=PA558 |language=en}}</ref>
[[Dolby AC-4]],<ref>{{cite web |title=Dolby AC-4: Audio Delivery for Next-Generation Entertainment Services |url=https://www.dolby.com/us/en/technologies/ac-4/Next-Generation-Entertainment-Services.pdf |website=[[Dolby Laboratories]] |date=2015-06 |accessdate=2019-11-11 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190530051301/https://www.dolby.com/us/en/technologies/ac-4/Next-Generation-Entertainment-Services.pdf |archivedate=2019-05-30 |url-status=live |archivebot=2024-03-21 10:03:31 InternetArchiveBot |language=en }}</ref>
[[MPEG-H 3D Audio]],<ref>{{cite journal |author=R. L. Bleidt, D. Sen, A. Niedermeier, B. Czelhan, S. Füg et al. |title=Development of the MPEG-H TV Audio System for ATSC 3.0 |journal=IEEE Transactions on Broadcasting |date=2017 |volume=63 |issue=1 |pages=202–236 |doi=10.1109/TBC.2017.2661258 |url=https://www.iis.fraunhofer.de/content/dam/iis/en/doc/ame/Conference-Paper/BleidtR-IEEE-2017-Development-of-MPEG-H-TV-Audio-System-for-ATSC-3-0.pdf}}</ref>
[[Adaptive Transform Acoustic Coding|ATRAC]] benutzen u. a. die MDCT als Spektraltransformation.
Weiterhin wird sie in den Sprachkomprimierer
[[AAC-LD]] (LD-MDCT),<ref>{{cite conference |last1=Schnell |first1=Markus |last2=Schmidt |first2=Markus |last3=Jander |first3=Manuel |last4=Albert |first4=Tobias |last5=Geiger |first5=Ralf |last6=Ruoppila |first6=Vesa |last7=Ekstrand |first7=Per |last8=Bernhard |first8=Grill |title=MPEG-4 Enhanced Low Delay AAC - A New Standard for High Quality Communication |conference=125th AES Convention |language=en |date=2008-10 |publisher=[[Audio Engineering Society]] |url=https://www.iis.fraunhofer.de/content/dam/iis/de/doc/ame/conference/AES-125-Convention_AAC-ELD-NewStandardForHighQualityCommunication_AES7503.pdf |accessdate=2019-10-20}}</ref> [[G.722.1]],<ref>{{cite conference |last1=Lutzky |first1=Manfred |last2=Schuller |first2=Gerald |last3=Gayer |first3=Marc |last4=Krämer |first4=Ulrich |last5=Wabnik |first5=Stefan |title=A guideline to audio codec delay |language=en |url=https://www.iis.fraunhofer.de/content/dam/iis/de/doc/ame/conference/AES-116-Convention_guideline-to-audio-codec-delay_AES116.pdf |conference=116th AES Convention |publisher=[[Audio Engineering Society]] |date=2004-05 |accessdate=2019-10-24}}</ref> [[G.729.1]],<ref name="Nagireddi">{{cite book |last1=Nagireddi |first1=Sivannarayana |title=VoIP Voice and Fax Signal Processing |date=2008 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=9780470377864 |page=69 |url=https://books.google.com/books?id=5AneeZFE71MC&pg=PA69 |language=en}}</ref>
[[CELT]]<ref name="presentation">{{Webarchiv|url=http://people.xiph.org/~greg/video/linux_conf_au_CELT_2.ogv |wayback=20110807182250 |text=Presentation of the CELT codec }} by Timothy B. Terriberry (65 minutes of video, see also [https://www.celt-codec.org/presentations/misc/lca-celt.pdf presentation slides] in PDF)</ref> und [[Opus (Audioformat)|Opus]]<ref name="homepage">{{cite web |url=https://opus-codec.org/ |title=Opus Codec |work=Opus |publisher=Xiph.org Foundation |type=Home page |accessdate=2012-07-31 |language=en}}</ref><ref name="ars-role">{{cite web |url=https://arstechnica.com/gadgets/2012/09/newly-standardized-opus-audio-codec-fills-every-role-from-online-chat-to-music/ |title=Newly standardized Opus audio codec fills every role from online chat to music |first=Peter |last=Bright |work=[[Ars Technica]] |date=2012-09-12 |accessdate=2014-05-28 |language=en}}</ref> verwendet.

Daneben existiert die ähnlich aufgebaute modifizierte diskrete Sinustransformation (MDST), die auf der [[Diskrete Sinustransformation|diskreten Sinustransformation]] basiert, die aber im Bereich der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] keine wesentliche Bedeutung hat.

== Motivation ==
Die MDCT basiert auf dem Typ IV der diskreten Kosinustransformation, auch als DCT-IV bezeichnet, und verwendet am Anfang der zu transformierenden Eingangssignalfolge, beispielsweise ist dies eine endliche Anzahl von [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastwerten]] eines Audiosignals, eine [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade Fortsetzung]] und am Ende der Signalfolge eine ungerade Fortsetzung. Das Eingangssignal wird in aufeinander folgende Blöcke unterteilt, wobei jeder Block getrennt der Transformation unterworfen wird. Bei der MDCT werden die Signalfolgen zur Bildung der einzelnen Blöcke teilweise miteinander überlappt, um die geraden bzw. ungeraden Fortsetzungen der Blockbildung zu kompensieren. In der meist englischsprachigen Fachliteratur wird dies als {{lang|en|''time-domain aliasing cancellation (TDAC)''}} bezeichnet. Ähnliche Verfahren finden im Rahmen der DFT beim [[Overlap-Add-Verfahren]] und dem [[Overlap-Save-Verfahren]] Anwendung, um die dort [[periodische Fortsetzung]] der [[Diskrete Fourier-Transformation|DFT]] in die aperiodische Faltungsoperation zu überführen.

Die MDCT vermeidet das, was bei der DCT der JPEG-Kompression als Blockartefakte bekannt ist: Sprünge zwischen Abtastwerten benachbarter Transformationsblöcken. Das menschliche Gehör reagiert auf diese Form von Störungen noch wesentlich empfindlicher als das Auge, sodass ein Verfahren gefunden werden musste, das zwischen benachbarten Blöcken nicht schlagartig, sondern allmählich wechselt. Dies erfolgt durch eine Vergrößerung der in eine Transformation eingehenden Abtastwerte unter Verwendung einer Fensterfunktion. Dabei besteht aber das Problem, dass damit normalerweise die Datenmenge vergrößert würde, da Abtastwerte in Berechnungen mehrfach eingehen und redundant abgespeichert würden. Dieses Problem umgeht die MDCT, indem zwar <math>\mathrm{2N}</math> Abtastwerte als Ausgangswerte in die Transformation eingehen, aber nur <math>\mathrm{N}</math> Spektralwerte entstehen. Normalerweise wäre so eine Transformation hochgradig verlustbehaftet, allerdings löschen sich diese Fehler bei der Rücktransformation und beim Addieren von benachbarten rücktransformierten Blöcken unter gewissen Bedingungen wieder aus.

So besteht die Möglichkeit, eine Spektraltransformation ''mit Fensterfunktion'' durchzuführen, ohne dass sich die Anzahl der Werte vergrößert. Diese Fensterfunktion führt zu einer besseren Spektralauflösung bei der MDCT und zu weniger Artefakten bei der IMDCT.

== Definition ==
=== Transformation ===
Durch die Überlappung ist bei der MDCT und im Unterschied zu symmetrischen [[Frequenztransformation]]en die Menge der Eingangssamples aus dem Zeitbereich doppelt so groß wie die daraus gebildeten spektralen Ausgangsdaten.
Formal werden bei der Transformation <math>2\mathrm{N}</math> [[reelle Zahl]]en <math>x_0, \;\dots, x_{2\mathrm{N}-1}</math> auf <math>\mathrm{N}</math> reelle Zahlen <math>X_0, \;\dots, X_{\mathrm{N}-1}</math> nach folgender Beziehung abgebildet:

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{2\mathrm{N}-1} x_n \cos \left[\frac{\pi}{\mathrm{N}} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{N}}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]\;</math> mit <math>\;k = 0, \;\dots, \mathrm{N}-1</math>

In der Literatur werden manchmal, in nicht einheitlicher Form und zur Normierung, in dieser Beziehung zusätzliche konstante Faktoren eingebracht, welche aber die Transformation nicht grundsätzlich verändern.

=== Inverse Transformation ===
Die inverse MDCT, abgekürzt ''IMDCT'', stellt die Umkehrung zur obigen Transformation dar. Da die Eingangs- bzw. Ausgangsfolge eine unterschiedliche Anzahl umfassen, ist zur Umkehrung eine Addition im Zeitbereich der aufeinander folgenden Blöcke und der zeitlich überlappenden Bereiche im Rahmen der {{lang|en|''time-domain aliasing cancellation (TDAC)''}} nötig.

Formal werden bei der IMDCT <math>\mathrm{N}</math> reelle Zahlen <math>X_0, \;\dots, X_{\mathrm{N}-1}</math> in <math>2\mathrm{N}</math> reelle Zahlen <math>y_0, \;\dots, y_{2\mathrm{N}-1}</math> übergeführt:

:<math>y_n = \frac{1}{\mathrm{N}} \sum_{k=0}^{\mathrm{N}-1} X_k \cos \left[\frac{\pi}{\mathrm{N}} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{N}}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]\;</math> mit <math>\;n = 0, \;\dots, 2\mathrm{N}-1</math>

Wie bei der DCT-IV, als eine Form von [[Orthogonal#Orthogonalität in der linearen Algebra|orthogonaler]] Transformation, ist die Rücktransformation bis auf einen Faktor identisch zu der Vorwärtstransformation.

=== Verwendung ===
[[Bild:TDAC-MDCTs of a sweep.png|mini|hochkant=1.6|Mehrere überlappende TDAC-MDCTs für Frequenzgang y(t) = cos (ct³)]]
Die MDCT ist die Basisoperation moderner Audiokompressionsverfahren. Dazu wird das Eingangssignal
in sich zur Hälfte überlappende Blöcke <math>b = 0, 1, 2, \;\dots\,</math> der Länge <math>2\mathrm{N}</math> geteilt, die
jeweils vom Abtastwert <math>x_{_{b\mathrm{N}-\mathrm{N}}}, \,\,\dots,\, x_{_{b\mathrm{N}+\mathrm{N}-1}}\,</math> reichen.

Die Transformation wird blockweise jeweils für jeden Block <math>b</math> unter Verwendung einer Fensterfunktion <math>w_n</math> (die gewisse Eigenschaften haben muss) durchgeführt:

:<math>X_{b,k} \;=\; \sum_{n=0}^{2\mathrm{N}-1} w_n \;x_{_{b\mathrm{N}-\mathrm{N}+n}}\;\;\; \cos \left[\frac{\pi}{\mathrm{N}} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{N}}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]\quad </math> mit <math>\;k = 0, \;\dots, \mathrm{N}-1, \;b \in \mathbb{N}</math>

Die Rücktransformation erfolgt für ein Sample <math>y_{_{b\mathrm{N}+n}}</math> mit <math>n = 0, \;\dots, \mathrm{N}-1</math> und <math>b \in \mathbb{N}</math>

:<math>
\begin{align}
y_{_{b\mathrm{N}+n}} = \frac{2}{\mathrm{N}} \Bigg( w_{n} \sum_{k=0}^{\mathrm{N}-1} & X_{b+1,k} \;\!\! \cos \left[\frac{\pi}{\mathrm{N}} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{N}}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \\
- w_{n+\mathrm{N}} \sum_{k=0}^{\mathrm{N}-1} & X_{b ,k} \quad\!\cos \left[\frac{\pi}{\mathrm{N}} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{N}}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \Bigg)
\end{align}
</math>

[[Datei:MDCT WF.png|mini|hochkant=1.6|'''MDCT Fensterfunktionen'''<br>blau: Kosinus, rot: Sinus-Kosinus,<br>grün/d'grün: modifizierte Kaiser-Bessel mit α=6 bzw. 4]]
[[Datei:MDCT WF Leak.png|mini|hochkant=1.6|'''Leakage der MDCT Fensterfunktionen'''<br>blau: Kosinus, rot: Sinus-Kosinus,<br>grün/d'grün: modifizierte Kaiser-Bessel mit α=6 bzw. 4]]

Die Fenster-Funktion <math>w_n</math> muss folgende Eigenschaften haben:
* Für die Analyse wie die Synthese eines Blocks <math>b</math> ist die gleiche Funktion zu verwenden. Sonst funktioniert das TDAC nicht.
* Für jeden Abtastwert wird die Fensterfunktion sowohl bei der Analyse wie bei der Synthese je 2-mal angewendet. Diese beiden Werte müssen [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] die Gleichung <math>w_{\mathrm{prev}}^2 + w_{\mathrm{next}}^2 = 1</math> erfüllen. Die Bedingung nennt sich [[Princen-Bradley-Bedingung]]. Ein Nebeneffekt dieser Bedingung erzwingt, dass die Funktionen bei <math>1/4</math> und <math>3/4</math> ihrer Fensterbreite den Wert <math>\sqrt{2}/2 \approx 0{,}7071</math> annehmen.
* <math>w_n</math> sollte eine möglich glatte Funktion sein, um den [[Leck-Effekt]] gering zu halten, der
** bei der Analyse die Konzentration dominierender Signalkomponenten verringern würde und
** bei der Synthese Störsignale entfernt von dominierenden Signalkomponenten erzeugen würde (DC-Anteile würden z. B. durch Sprünge an Blockgrenzen ein Knattern verursachen).
Durch die zweite Bedingung unterscheidet sich die Fensterfunktion erheblich von den normalerweise üblichen Fensterfunktionen.
Im Wesentlichen finden folgende drei Fensterfunktionen Anwendung:
* Kosinusfenster (MPEG Layer-3, AAC)
* modifizierte Kaiser-Bessel-Fenster (AAC, AC-3)
* Sinus-Kosinus-Fenster (Ogg Vorbis)

=== Berechnungsaufwand ===
Die direkte Berechnung der MDCT nach obiger Formel benötigt <math>O(N^2)</math> Operationen. Ähnlich wie bei der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] (FFT), als eine Form der effizienten Berechnung der DFT, existieren auch bei der MDCT-Algorithmen die ähnlich wie der [[Radix-2-Algorithmus]] aufgebaut sind, um die Anzahl der Rechenoperationen auf O(N log N) zu reduzieren.

Zudem lässt sich die MDCT mittels Pre- und Postprocessing und einer FFT berechnen.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Henrique S. Malvar
|Titel=Signal Processing with Lapped Transforms
|Verlag=Artech House
|Datum=1992
|ISBN=0-89006-467-9}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Diskrete Transformation]]

Modifizierte diskrete Kosinustransformation - Versionsgeschichte

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