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2021-05-30T16:31:46Z

aufrechte Schreibweise der math. Konstanten »e«

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Die '''Modifizierte Z-Transformation''' stellt eine Erweiterung der zeitdiskreten [[Z-Transformation]] dar, um auch Signalwerte zwischen ganzzahligen [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastzeitpunkten]] im Rahmen der zeitdiskreten [[Regelungstechnik]] verarbeiten zu können. Die dafür nötigen Modifikationen der Z-Transformation wurden in Arbeiten von [[Eliahu Ibrahim Jury]] im Jahr 1958 vorgestellt.<ref name="jury1" /> Primäre Anwendung liegt bei der Erkennung von Instabilitäten zufolge der zeitdiskreten Signalverarbeitung von [[Regelstrecke]]n, beispielsweise im Bereich der [[Leistungselektronik]] für hochdynamische elektrische Antriebssysteme.

== Definition ==
Die modifizierte Z-Transformation weist für [[kausal]]e Signale mit positiven und ganzzahligen ''k'' folgende Definition auf:

:<math>G(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f((k + m)T)z^{-k} \ </math>

mit <math>T</math> der [[Periodendauer]] und einem „Verzögerungsfaktor“ <math>m</math>, der einen Teil der Periodendauer darstellt und im Bereich <math>[0, 1)</math> liegt.

Anschaulich stellt die modifizierte Z-Transformation eine unilaterale Z-Transformation dar, die vor dem Abtastglied zur Gewinnung der diskreten Signalfolge ein zusätzliches Laufzeitglied mit der Verzögerung

:<math>\mathrm e^{-(1-m)Ts}</math>

aufweist. Bei zeitlich konstanten <math>m</math> gelten die [[Z-Transformation#Rechenregeln der z-Transformation|Eigenschaften der Z-Transformation]].

== Korrespondenzen ==
Einige der wichtigen [[Korrespondenz (Mathematik)|Korrespondenzen]] der modifizierten Z-Transformation lauten:

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zeitbereich<br />f(t) !! Spektralbereich<br />G(z,m)
|-
| [[Heaviside-Funktion|σ(t)]] || <math>\frac{z}{z-1}</math>
|-
| <math>t</math> || <math>\frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}</math>
|-
| <math>\mathrm e^{-at}</math> || <math>\frac{ \mathrm e^{-amT} }{ z-\mathrm e^{-aT} }</math>
|-
| <math>1 - \mathrm e^{-at}</math> || <math>\frac{1}{z-1} + \frac{ \mathrm e^{-amT} }{ z-\mathrm e^{-aT} }</math>
|-
| <math>\sin(\omega t)</math> || <math>\frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {((1-m) \omega T)}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }</math>
|}

Für <math>m = 0</math> gehen die Korrespondenzen in die Formen der Z-Transformation über. Die modifizierte Z-Transformation wird daher auch als ''erweiterte Z-Transformation'' bezeichnet.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="jury1">{{Literatur | Titel = Sampled-Data Control Systems | Autor = Eliahu Ibrahim Jury | Verlag = John Wiley & Sons | Jahr = 1958 }}</ref>
</references>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Dierk Schröder
|Titel = Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen
|Verlag = Springer | Jahr = 2009 | Auflage = 3. | Kapitel = Kapitel 6 | ISBN = 978-3-540-89612-8 }}

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Systemdarstellung]]
[[Kategorie:Diskrete Transformation]]

Modifizierte Z-Transformation - Versionsgeschichte

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