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2026-02-02T22:26:47Z

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Die '''modellbasierte Versuchsplanung''' (auch '''nichtlineare Versuchsplanung''' oder '''optimale Versuchsplanung''' (OVP) genannt) ist eine Methode zur Berechnung optimaler Experimente zur quantitativen Beschreibung von Prozessen mithilfe von (nichtlinearen und dynamischen) Modellen. Im Gegensatz zur viel weiter verbreiteten [[Statistische Versuchsplanung|statistischen Versuchsplanung]] gehen die unbekannten (und zu schätzenden) Modellparameter nicht linear in die Modellgleichungen ein. Häufig handelt es sich bei den Modellen um Differentialgleichungssysteme aus der [[Nichtlineare Dynamik|Nichtlinearen Dynamik]].

== Modell-Begriff ==

Der entscheidende Unterschied zwischen statistischer und modellbasierter Versuchsplanung ist der Modell-Begriff. Die statistische Versuchsplanung modelliert das zu untersuchende System empirisch, indem es einen direkten Zusammenhang zwischen Einfluss- oder Steuer-Größen <math>q</math> und Observablen <math>h</math> annimmt und folgendermaßen parametrisiert:

:<math>
h = \sum_n p_n q^n
</math>

Die modellbasierte Versuchsplanung hingegen führt das Modell allgemeiner als indirekten Zusammenhang zwischen <math>q</math> und <math>h</math> ein und führt den (System-)Zustand <math>x=(y,z)</math> ein.

Dieser Zustand unterliegt im Allgemeinen einer (nichtlinearen) Dynamik und Nebenbedingungen. Man schreibt:

:<math>
\mathrm d y(t)/ \mathrm dt = f(t,y,z,p,q)
</math>

:<math>
0 = g(t,y,z,p,q)
</math>

:<math>
h = h(t,y,z,p,q)
</math>

== Zielfunktionen ==
Die Versuchsplanung ist ein spezielles Problem der [[Optimale Steuerung|optimalen Steuerung]]. Am häufigsten wird ein Maß für die Güte der Parameterschätzung optimiert, welches auf einer linearisierten Auswertung des Ergebnisses der [[Parameterschätzung]] basiert. Die Auswertung führt auf die [[Kovarianzmatrix]] der Parameter <math>\mathrm{Cov}(p)</math> und als Maß kommen die folgenden Kriterien zum Einsatz.

=== A-Kriterium ===
Die Spur der Kovarianzmatrix, <math>A = \mathrm{tr}(\mathrm{Cov}(p))</math>.

=== E-Kriterium ===
Der größte Eigenwert der Kovarianzmatrix.

=== Geometrische Interpretation der Kriterien ===
Die Kovarianzmatrix der Parameter lässt sich durch ein Konfidenzellipsoid im Parameterraum darstellen. Dann entspricht das A-Kriterium der mittleren Ausdehnung des Ellipsoids und das E-Kriterium der Länge der größten Halbachse.

== Anwendungsbeispiele ==
=== Chemische Reaktionskinetik ===
Chemische Reaktionen kann man durch Ratengleichungen darstellen. Die einfache Reaktion <math>A \rightarrow B</math> wird durch die Differentialgleichung <math>\mathrm d c_A(t)/\mathrm dt = -k c_A(t)</math> beschrieben. Dabei ist der Ratenkoeffizient <math>k</math> nach Arrhenius exponentiell von der Temperatur abhängig: <math>k = k_a \exp(-\beta E_a)</math>, wobei <math>\beta</math> die inverse thermische Energie abkürzt: <math>\beta = (R T)^{-1}</math>. Entscheidend ist nun, dass der Parameter <math>E_a</math>, die Aktivierungsenergie, nichtlinear in die Gleichungen eingeht. Damit kann die [[statistische Versuchsplanung]] hier so nicht angewendet werden (z. B. liegen die optimalen Experimente nicht mehr in den Ecken des Versuchsraumes).

== Software ==
Zurzeit gibt es nur zwei Pakete, die die beschriebene Methode in eine verfügbare Software umsetzen:

* [[gPROMS]] ist eine kommerzielle Software des Herstellers [[Process Systems Enterprise|PSE]]
* [[VPLAN]] ist eine akademische Software basierend auf den Entwicklungen von Stefan Körkel, Irene Bauer, Hans-Georg Bock und Johannes Schlöder (S. Körkel, I. Bauer, H. G. Bock, J. P. Schlöder. A sequential approach for nonlinear optimum experimental design in DAE systems. In F. Keil, W. Mackens, H. Voss, and J. Werther (eds.), Scientific Computing in Chemical Engineering II, Volume 2, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1999)

== Weblinks ==

* [http://expdesign.uni-hd.de/ BASF Junior Research Group Optimum Experimental Design] an der Universität Heidelberg
* [https://www.odoe.org/ Optimal Design of Experimens (ODOE) Community Website]

[[Kategorie:Stichprobentheorie]]
[[Kategorie:Six Sigma]]

Modellbasierte Versuchsplanung - Versionsgeschichte

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