imported>Wfstb: /* Vandermondesche Identität */ Belege

2025-11-17T11:30:12Z

Vandermondesche Identität: Belege

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{{Belege fehlen|1=|2=}}

In der [[Mathematik]] ist der <math>n</math>-te '''mittlere Binomialkoeffizient''' (auch <math>n</math>-ter '''Zentralbinomialkoeffizient''') für eine nichtnegative [[ganze Zahl]] <math>n</math> gegeben durch
: <math>{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}</math>.<ref>{{MathWorld |id=CentralBinomialCoefficient |title=Central Binomial Coefficient}}</ref>

Der Name „mittlerer Binomialkoeffizient“ kommt daher, dass diese [[Binomialkoeffizient]]en im [[pascalsches Dreieck|pascalschen Dreieck]] genau in der Zeilenmitte liegen:

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|}

Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind also ({{OEIS|A000984}}):
:1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

== Definition ==
Für eine nichtnegative [[ganze Zahl]] <math>n</math> ist der <math>n</math>-te mittlere Binomialkoeffizient gegeben durch:
: <math>\operatorname{CBC}(n) = {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}</math>
Dabei ergibt sich der zweite Ausdruck aus der Definition des [[Binomialkoeffizient]]en
: <math>{a \choose b} = \frac{a!}{b!\,(a-b)!}.</math>

Das Kürzel CBC<ref>{{Internetquelle |url=https://www.johndcook.com/blog/2018/07/13/cbc-bound/ |titel=Wang’s bounds on the central binomial coefficient |datum=2018-07-13 |sprache=en-US |abruf=2022-12-26}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Thomas Koshy |Titel=The Central Binomial Coefficient |Datum=2008-11-09 |DOI=10.1093/acprof:oso/9780195334548.003.0002 |Online=https://academic.oup.com/book/12390/chapter/161989337 |Abruf=2022-12-26}}</ref> steht für den englischen Begriff ''Central Binomial Coefficient'' und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler und Jeremy Schiff eingeführt.

Mit der Gaußschen Pifunktion (also der [[Gammafunktion]] der Nachfolgerfunktion) lässt sich die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten auf beliebige [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] ausdehnen:

:<math>\operatorname{CBC}(n) = \frac{\Pi(2n)}{(\Pi(n))^2} = \frac{\Gamma(2n+1)}{(\Gamma(n+1))^2}</math>

Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion ist nach [[Karl Weierstraß|Weierstraß]] für alle komplexen Werte <math>x \in \C</math> durch diese Formel<ref>{{Literatur |Titel=Archiv der Mathematik und Physik |Verlag=B. G. Teubner |Datum=1844 |Online=https://books.google.de/books?id=HKsKAAAAIAAJ&pg=PA171&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |Abruf=2023-01-30}}</ref> gegeben:
: <math>x! = \Pi(x) = \Gamma(x + 1) = \exp(-\gamma x) \prod_{n = 1}^{\infty} \bigl[\bigl(1 + \frac{x}{n}\bigr)^{-1} \exp\bigl(\frac{x}{n}\bigr)\bigr]</math>
Dieser Ausdruck für die Fakultätsfunktion wird [[Gammafunktion#Weitere Darstellungsformen|Weierstraßsches Produkt]] genannt.

Dabei steht <math>\gamma = 0{,}57721\,56649\,\ldots</math> für die [[Euler-Mascheroni-Konstante]].

Somit kann der Zentralbinomialkoeffizient auch direkt als unendliches Produkt definiert werden:
: <math>\operatorname{CBC}(x) = \prod_{n = 1}^{\infty} \bigl[ \bigl(1 + \frac{x}{n}\bigr)^2 \bigl(1 + \frac{2x}{n}\bigr)^{-1} \bigr]</math>
Ebenso kann für x jenseits von den ungeraden Vielfachen der Zahl Einhalb auch folgende Definition aufgestellt werden:
: <math>\operatorname{CBC}(x) = \binom{2x}{x} = \frac{4^{x}\sec(\pi\,x)\sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{1}{2}-x)\,\Gamma(1+x)}</math>
Diese Definition ergibt sich mit dem Eulerschen Ergänzungssatz.

== Darstellungen ==
Es gilt
: <math>{2n\choose n}=2^{2n}\cdot\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.</math>
Der Bruch ist verwandt mit dem [[Wallis-Produkt]].

Nach der Vandermonde-Faltung (siehe [[#Vandermondesche Identität|unten]]) gilt
: <math>{2n\choose n}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 .</math>

== Funktionalgleichungen ==
Für den mittleren Binomialkoeffizienten gelten diese Formeln:
: <math>\operatorname{CBC}(x + 1) = \frac{4x + 2}{x + 1}\operatorname{CBC}(x)</math>
Deswegen gilt:
: <math>\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\operatorname{CBC}(x + 1)}{\operatorname{CBC}(x)} = 4</math>
Basierend auf dem [[Gammafunktion#Grundlegende Funktionalgleichungen|Eulerschen Ergänzungssatz]] kann folgende Formel hervorgerufen werden:
: <math>\pi \,x\,(1 - x)\operatorname{CBC}(x) \operatorname{CBC}(1 - x) = (2 - 4\,x)\tan(\pi \,x)</math>
Der Zentralbinomialkoeffizient erfüllt außerdem folgenden weiteren Grenzwert:
: <math>\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{4^{x}} \operatorname{CBC}(x)\sqrt{\pi x} = 1</math>

Dieser Grenzwert geht direkt aus der [[Stirling-Formel|Stirlingschen Formel]] hervor.

Mit Hilfe dieser Formel erhält man die für alle Werte <math>n \geq 1</math> gültige Abschätzungsformel:
:<math>\frac{1}{2} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} < {2n \choose n} < \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}</math>

Also gilt (zur Notation siehe [[Landau-Symbol]]):
:<math>{2n \choose n} \in \Theta\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)</math>

== Wertelisten ==
Funktionswerte für ganze Abszissenwerte:
:<math>\operatorname{CBC}(0) = \frac{0!}{(0!)^2} = \frac{1}{1} = 1</math>
:<math>\operatorname{CBC}(1) = \frac{2!}{(1!)^2} = \frac{2}{1} = 2</math>
:<math>\operatorname{CBC}(2) = \frac{4!}{(2!)^2} = \frac{24}{4} = 6</math>
:<math>\operatorname{CBC}(3) = \frac{6!}{(3!)^2} = \frac{720}{36} =20</math>
:<math>\operatorname{CBC}(4) = \frac{8!}{(4!)^2} = \frac{40320}{576} =70</math>
:<math>\operatorname{CBC}(5) = \frac{10!}{(5!)^2} = \frac{3628800}{14400} =252</math>
:<math>\operatorname{CBC}(6) = \frac{12!}{(6!)^2} = \frac{479001600}{518400} =924</math>

Elementare und lemniskatische Funktionswerte für Bruch-Abszissenwerte:
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{2}\bigr) = \frac{4}{\pi}</math>
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{4}\bigr) = \frac{2\,\sqrt{2}}{\varpi}</math>
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{3}{4}\bigr) = \frac{4\,\sqrt{2}\,\varpi}{3\,\pi}</math>

Äquianharmonische Funktionswerte für Bruch-Abszissenwerte:
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{3}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(3m+1)^2}{3m(3m+2)} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}\,\sqrt[4]{27}\,K\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{12}\pi\bigr)\bigr]^{-1}</math>
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{2}{3}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(3m+2)^2}{3m(3m+4)} = \frac{1}{\pi}\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{27}\,K\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{12}\pi\bigr)\bigr]</math>
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{6}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(6m+1)^2}{12m(3m+1)} = \sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{3}\,K\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{12}\pi\bigr)\bigr]^{-1}</math>
:<math>\operatorname{CBC}\bigl(\frac{5}{6}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(6m+5)^2}{12m(3m+5)} = \frac{8}{5\pi}\sqrt[3]{4}\,\sqrt[4]{3}\,K\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{12}\pi\bigr)\bigr]</math>

Weitere mit elliptischen Integralen erster Art darstellbare CBC-Werte von rationalen Abszissenwerten:

:{| class = "wikitable"
|<math> \operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{8}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(8m+1)^2}{16m(4m+1)} = \sqrt[4]{8}\,K\bigl(\sqrt{2} - 1\bigr)^{-1} </math>

<math> \operatorname{CBC}\bigl(\frac{3}{8}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(8m+3)^2}{16m(4m+3)} = \frac{2}{3}\sqrt[4]{2}\,K\bigl(\sqrt{2} - 1\bigr)^{-1} </math>
|}

:{| class = "wikitable"
|<math> \operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{20}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(20m+1)^2}{40m(10m+1)} = \sqrt[10]{2} \,\sqrt[4]{5} \,\cos\bigl(\frac{1}{10}\pi\bigr)^{1/2}\sec\bigl(\frac{1}{20}\pi\bigr)\,K\bigl\{\sin\bigl[\frac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]\bigr\}^{-1} </math>

<math> \operatorname{CBC}\bigl(\frac{3}{20}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(20m+3)^2}{40m(10m+3)} = \frac{4}{3} \,\sqrt[10]{8} \,\sqrt{5} \,\cos\bigl(\frac{1}{10}\pi\bigr)^{1/2} \sin\bigl(\frac{3}{20}\pi\bigr)\,K\bigl\{\sin\bigl[\frac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]\bigr\}^{-1} </math>
|}

:{| class = "wikitable"
|<math> \operatorname{CBC}\bigl(\frac{1}{24}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(24m+1)^2}{48m(12m+1)} = \sqrt[12]{2}\,\sqrt[4]{3}\,(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}+1)\,K\bigl[\bigl(2 - \sqrt{3}\bigr)\bigl(\sqrt{3} - \sqrt{2}\bigr)\bigr]^{-1} </math>
<math> \operatorname{CBC}\bigl(\frac{5}{24}\bigr) = \prod_{m=1}^\infty \frac{(24m+5)^2}{48m(12m+5)} = \frac{1}{5}\,\sqrt[12]{32}\,\sqrt[4]{27}\,(\sqrt{3}+1)\,K\bigl[\bigl(2 - \sqrt{3}\bigr)\bigl(\sqrt{3} - \sqrt{2}\bigr)\bigr]^{-1} </math>
|}

Dabei steht der Buchstabe K für das vollständige [[Elliptisches Integral|elliptische Integral]] erster Art:
:<math>K(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \sin(\varphi)^2}} \,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{(x^2 + 1)^2 - 4\,\varepsilon^2 x^2}} \,\mathrm{d}x</math>
Siehe hierzu auch den Artikel [[Wallissches Produkt]]!

== Zahlentheoretische Eigenschaften ==
Nach dem [[Satz von Wolstenholme]] gilt für [[Primzahl]]en <math>p\geq5</math>
: <math>{2p\choose p}\equiv2\mod p^3</math>
(für die Symbolik siehe [[Kongruenz (Zahlentheorie)]]).

Außerdem kommen keine ungeraden Zahlen außer <math>1</math> vor.

Weiterhin gilt, dass die Zahlen für <math>n>4</math> nie [[quadratfrei]] sind, siehe [[Satz von Sárkőzy]].

== Integraldarstellungen ==
Eine Integraldarstellung lautet wie folgt:

:<math>\operatorname{CBC}(n) = \binom{2n}n = \frac{2^{2n+1}}\pi \int\limits_0^\infty \frac{\mathrm dx}{(x^2+1)^{n+1}}</math><ref>V. H. Moll: ''Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals.'' MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. {{Webarchiv |url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf |text=Archivierte Kopie |wayback=20080402045620}}</ref>
Auch für die Kehrwerte der Zentralbinomialkoeffizienten gibt es eine kurze gültige Formel:
:<math>\frac{1}{\operatorname{CBC}(n)} = \int_{0}^{1} \frac{n \,x^{n - 1}}{(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x</math>
Mit diesem Ausdruck kann man auch Summenreihen mit dem [[Kehrwert]] des mittleren Binomialkoeffizienten bezüglich des Summenindex beweisen.

Unendliche Summe der Kehrwerte der mittleren Binomialkoeffizienten:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\operatorname{CBC}(n)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{n \,x^{n - 1}}{(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n \,x^{n - 1}}{(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x =</math>
:<math>= \int_{0}^{1} \frac{(x + 1)^2}{(x^2 + x + 1)^2} \,\mathrm{d}x = \biggl\{ \frac{4}{9}\sqrt{3}\arctan\bigl[\frac{1}{3}\sqrt{3}\bigl(2x + 1\bigr)\bigr] - \frac{x + 2}{3(x^2 + x + 1)}\biggr\}_{x = 0}^{x = 1} = \frac{2}{27}\sqrt{3}\,\pi + \frac{1}{3}</math>
Eine weitere unendliche Summe mit einem elementar darstellbaren Wert:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n\operatorname{CBC}(n)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n - 1}}{(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x =</math>
:<math>= \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + x + 1} \,\mathrm{d}x = \biggl\{ \frac{2}{3}\sqrt{3}\arctan\bigl[\frac{1}{3}\sqrt{3}\bigl(2x + 1\bigr)\bigr] \biggr\}_{x = 0}^{x = 1} = \frac{1}{9}\sqrt{3}\,\pi</math>
Eine unendliche Summe mit einem nicht elementar darstellbaren Wert:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2\operatorname{CBC}(n)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n - 1}}{n(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{n(x + 1)^{2n}} \,\mathrm{d}x =</math>
:<math>= \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\ln\biggl[\frac{(x + 1)^2}{x^2 + x + 1}\biggr] \,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\operatorname{Li}_{2}(1) = \frac{\pi^2}{18}</math>
Und generell gilt für alle Werte <math>z \in \N</math> diese Formel:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{z+1}\operatorname{CBC}(n)} = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \operatorname{Li}_{z}\biggl[\frac{x}{(x+1)^2}\biggr] \mathrm{d}x</math>
Mit dem Kürzel <math>\operatorname{Li}</math> wird der [[Polylogarithmus]] dargestellt.

== Ableitung und Integrale ==
=== Ableitung ===
Der Mittlere Binomialkoeffizient wird so abgeleitet:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{CBC}(x) = 2\operatorname{CBC}(x)\bigl[\operatorname{H}(2x) - \operatorname{H}(x)\bigr]</math>
Mit dem Buchstaben H wird die [[Harmonische Reihe]]nfunktion ausgedrückt:
: <math> \operatorname{H}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\bigr)</math>
Alternativ hierzu kann die Ableitung der Zentralbinomialkoeffizientenfunktion auch mit der [[Digamma-Funktion|Digammafunktion]] ausgedrückt werden:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{CBC}(x) = 2\operatorname{CBC}(x)\bigl[\psi(2x + 1) - \psi(x + 1)\bigr]</math>
Denn zwischen der ''Harmonischen Reihenfunktion'' und der ''Digammafunktion'' besteht folgender Zusammenhang:
: <math> \operatorname{H}(x) = \psi(x + 1) + \gamma</math>

=== Integral des Zentralbinomialkoeffizienten ===
Die Ursprungsstammfunktion der Zentralbinomialkoeffizientenfunktion wird so hervorgerufen:
: <math>\int_{0}^{x} \operatorname{CBC}(w) \,\mathrm{d}w = \int_{0}^{\infty} \frac{2^{2x + 1} - 2(y^2 + 1)^{x}}{\pi\bigl[\ln(4) - \ln(y^2 + 1)\bigr](y^2 + 1)^{x + 1}} \,\mathrm{d}y</math>
Denn diese Ableitung ist für diese Ursprungsstammfunktion gültig:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\frac{2^{2x + 1} - 2(y^2 + 1)^{x}}{\pi\bigl[\ln(4) - \ln(y^2 + 1)\bigr](y^2 + 1)^{x + 1}} = \frac{2^{2x + 1}}{\pi (y^2 + 1)^{x + 1}}</math>
Und der Zentralbinomialkoeffizient hat diese Integralidentität:
: <math>\operatorname{CBC}(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{2^{2x + 1}}{\pi \,(y^2 + 1)^{x + 1}} \,\mathrm{d}y</math>
Beispielrechnung:
: <math>\int_{0}^{1} \operatorname{CBC}(w) \,\mathrm{d}w = \int_{0}^{\infty} \frac{6 - 2y^2}{\pi\bigl[\ln(4) - \ln(y^2 + 1)\bigr](y^2 + 1)^2} \,\mathrm{d}y \approx 1{,}346102293273794904</math>

=== Integral des Kehrwerts des Zentralbinomialkoeffizienten ===
Die Ursprungsstammfunktion vom Kehrwert des Zentralbinomialkoeffizienten wird jedoch auf folgende Weise hervorgerufen:
: <math>\int_{0}^{x} \frac{1}{\operatorname{CBC}(w)} \,\mathrm{d}w = \int_{0}^{1} \frac{y^{x} (1 + y)^{-2x}\bigl[x\ln(y) - 2x\ln(1 + y) - 1\bigr] + 1}{y \bigl[2\ln(1 + y) - \ln(y)\bigr]^2} \,\mathrm{d}y</math>
Denn diese Ableitung ist gültig:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\frac{y^{x} (1 + y)^{-2x}\bigl[x\ln(y) - 2x\ln(1 + y) - 1\bigr] + 1}{y \bigl[2\ln(1 + y) - \ln(y)\bigr]^2} = \frac{x \,y^{x - 1}}{(1 + y)^{2x}}</math>
Und der Kehrwert vom Zentralbinomialkoeffizienten hat diese Integralidentität:
: <math>\frac{1}{\operatorname{CBC}(x)} = \int_{0}^{1} \frac{x \,y^{x - 1}}{(1 + y)^{2x}} \,\mathrm{d}y</math>
Beispielrechnung:
: <math>\int_{0}^{1} \frac{1}{\operatorname{CBC}(w)} \,\mathrm{d}w = \int_{0}^{1} \frac{y (1 + y)^{-2}\bigl[\ln(y) - 2\ln(1 + y) - 1\bigr] + 1}{y \bigl[2\ln(1 + y) - \ln(y)\bigr]^2} \,\mathrm{d}y \approx 0{,}776990069651539867872</math>

== Verallgemeinerte Summenreihen ==
=== Taylorsche Reihen mit Zentralbinomialkoeffizienten ===
Für viele elementare Funktionen und auch für viele nicht elementare Funktionen können die zugehörigen [[Taylorreihe|Taylor-Reihen]] beziehungsweise [[Maclaurinsche Reihe|MacLaurin-Reihen]] vereinfacht mit Hilfe der mittleren Binomialkoeffizienten dargestellt werden. Dies ist die [[erzeugende Funktion]] für die mittleren Binomialkoeffizienten:

:<math>\frac1{\sqrt{1-4x}} = \sum_{m = 0}^{\infty} \operatorname{CBC}(m) \,x^{m} = \mathbf 1 + \mathbf 2x + \mathbf 6x^2 + \mathbf{20}x^3 + \mathbf{70}x^4 + \mathbf{252}x^5 + \cdots</math>

Um den inneren Faktor 4 gestreckt ergibt sich ein Analogon, aus dem sich durch Integration und weitere Abwandlungen noch mehr erzeugende Funktionen von Abwandlungen der Zentralbinomialkoeffizienten ergeben. Durch Quadratur dieser mittleren Binomialkoeffizienten erhält man weitere Summenreihen mit ihren zugehörigen Funktionen. Im Folgenden werden einige Identitäten nach diesem Muster aufgelistet:

Summenreihen mit Koeffizienten des Musters <math>\operatorname{CBC}(x)^{1}</math>:
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(m)}{4^{m}} \,x^{m} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(m)}{4^{m}(2m + 1)} \,x^{2m + 1} = \arcsin(x)</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(m)}{4^{m}(4m + 1)} \,x^{4m + 1} = \operatorname{arcsl}(x)</math>
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters <math>\operatorname{CBC}(x)^{2}</math>:
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \frac{\operatorname{CBC}(m)^2}{16^{m}} \,x^{m} = \frac{4}{\pi(1 + \sqrt{1 - x})} K\left(\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{1 + \sqrt{1 - x}}\right)</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(m)^2}{16^{m}} \,x^{2m} = \frac{2}{\pi}\,K(x)</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(m)^2}{16^{m}(1 - 2m)} \,x^{2m} = \frac{2}{\pi}\,E(x)</math>
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters <math>\operatorname{CBC}(x)^{-1}</math>:
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{4^{m}}{\operatorname{CBC}(m)} \,x^{2m} = \frac{1}{1 - x^2} + \frac{x\arcsin(x)}{(1 - x^2)^{3/2}}</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{4^{m}}{(2m + 1)\operatorname{CBC}(m)} \,x^{2m + 1} = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{4^{m}}{(m+1)(2m + 1)\operatorname{CBC}(m)} \,x^{2m + 2} = \arcsin(x)^2</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{4^{m}}{(2m + 1)^2\operatorname{CBC}(m)} \,x^{2m + 1} = 2 \operatorname{Ti}_{2}\biggl(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\biggr)</math>
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters <math>\operatorname{CBC}(x)^{-2}</math>:
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{16^{m}}{(2m + 1)^2\operatorname{CBC}(m)^2} \,x^{2m + 1} = \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(xy)}{\sqrt{(1 - x^2 y^2)(1 - y^2)}} \,\mathrm{d}y</math>
:<math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{16^{m}}{(m+1)(2m + 1)^2\operatorname{CBC}(m)^2} \,x^{2m + 2} = \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(xy)^2}{y\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y</math>
Dabei stellt die Bezeichnung <math>\operatorname{arcsl}</math> den [[Lemniskatischer Arkussinus|Arkussinus Lemniscatus]], der Buchstabe <math>E</math> das [[Elliptisches Integral|vollständige elliptische Integral zweiter Art]] und das Kürzel <math>\operatorname{Ti}_{2}</math> das [[Arkustangensintegral]] dar.

=== Ramanujansche Summenreihen für die Kreiszahlberechnung ===
Der Mathematiker [[Srinivasa Ramanujan]] schrieb in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1914 exemplarische Resultate dieser Formeln nieder, die zur Ermittlung sehr schnell konvergierender Summenreihen für die [[Kreiszahl]] dienen.

Folgende Formel ist für die nachfolgende hypergeometrische Funktion gültig:

: <math>\sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(2m)\operatorname{CBC}(m)^2}{256^{m}} \,x^{2m} = {}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]</math>

Dieser Ausdruck löst folgende [[Differentialgleichung]]:

: <math>\frac{K'\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\}}{8K\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\}}\biggl\{2(1+\sqrt{1+x})(1+\sqrt{1-x}) \,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr] + x\sqrt{1 - x^2}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]\biggr\} \,-</math>
: <math>- \,\frac{4E\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\} K'\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\} - \pi}{16K\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\}^2}(2+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) \,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr] = \frac{1}{\pi}</math>

Dabei gilt: <math>K'(\varepsilon) = K(\sqrt{1 - \varepsilon^2})</math>

Durch Einsetzen des speziellen Wertes <math>x = \frac{1}{9801}</math> in die soeben genannte Differentialgleichung erhält man:

: <math>\frac{2206\sqrt{2}}{9801}\,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]\bigl(x = \frac{1}{9801}\bigr) + \frac{26390\sqrt{2}}{96059601} \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]\bigl(x = \frac{1}{9801}\bigr) = \frac{1}{\pi}</math>
Die hier gezeigte Gleichung führt direkt zur bekanntesten Kreiszahlformel, durch welche Srinivasa Ramanujan Weltruhm erlangte:<ref>{{Literatur |Autor=Thang Pang Ern, Devandhira Wijaya Wangsa |Titel=A Proof of Ramanujan’s Classic π Formula |Datum=2024 |Online=https://arxiv.org/html/2411.15803v1 |Abruf=2025-08-10}}</ref>
: <math> \frac{1}{\pi} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2\sqrt{2} \operatorname{CBC}(2n) \operatorname{CBC}(n)^2 (1103 + 26390n)}{ 396^{4n} \cdot 9801} </math>

Für <math>x = \frac{1}{9}</math> ergibt sich entsprechend:
: <math>\frac{2\sqrt{2}}{9}\,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]\bigl(x = \frac{1}{9}\bigr) + \frac{10\sqrt{2}}{81} \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]\bigl(x = \frac{1}{9}\bigr) = \frac{1}{\pi}</math>
Die hier gezeigte Gleichung führt zu einer weiteren Kreiszahlformel, welche Srinivasa Ramanujan entdeckte:
: <math> \frac{1}{\pi} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2\sqrt{2} \operatorname{CBC}(2n) \operatorname{CBC}(n)^2 (1 + 10n)}{ 12^{4n} \cdot 9} </math>

Die Mathematiker Borwein, Bailey und Beeler schrieben Ramanujans wichtigste Formeln sukzessiv in ihren Werken nieder und erläuterten zusätzlich Ramanujans Recherchen zu den elliptischen Integralen erster und zweiter Art sowie zu den hypergeometrischen Funktionen und ihren zugehörigen Differentialgleichungen.

== Konkrete Summenreihen ==
=== Summenreihen mit algebraischen Resultaten ===
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{\operatorname{CBC}(n)}{(-4)^n} = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>

Allgemein gilt (bei Divergenz der Reihe für mit der Gammafunktion berechnete regularisierte Werte):
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{\operatorname{CBC}(n)}{(p/q)^n} = \sqrt{\frac{p}{p-4q}}</math> mit <math> q\in\N, p\in\Z/\{0\}</math>

Zudem gilt für Partialsummen ({{OEIS|A285388}}):

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n^2-1} \frac {\operatorname{CBC}(k)}{4^k n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac {n \operatorname{CBC}(n^2)}{2^{2n^2 -1}} = \lim_{m\rightarrow\infty} \frac {\sqrt{m} \operatorname{CBC}(m)}{2^{2m -1}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}= \frac{1}{\Gamma(\frac{3}{2})}= \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(1+\frac{n}{2})}}</math>

=== Reihen mit Kehrwerten der Zentralbinomialkoeffizienten ===
Es gilt:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\operatorname{CBC}(n)} = \frac1{27}(2\pi \sqrt3+9) = 0{,}7363998587187\ldots</math>

Die einzelnen Nachkommastellen bilden {{OEIS|A073016}}.

Einige weitere ähnliche Reihen sind:

:<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \operatorname{CBC}(n)} &= \frac19\pi\sqrt 3 &=&\, 0{,}60459\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \operatorname{CBC}(n)} &= \frac1{18}\pi^2 &=&\, 0{,}54831\dots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \operatorname{CBC}(n)} &= \frac1{18}\pi\sqrt3 \bigl[\psi_1(\tfrac13)-\psi_1(\tfrac23)\bigr] -\frac43\zeta(3) = \frac{2 \pi}{3} \,G_{GK} - \frac{4}{3}\zeta(3) & {} & {} \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4 \operatorname{CBC}(n)} &= \frac{17}{3240}\pi^4 &=&\, 0{,}51109\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \operatorname{CBC}(n)} &= \frac1{432}\pi\sqrt{3} \bigl[\psi_3(\tfrac13)-\psi_3(\tfrac23)\bigr] -\frac{19}3\zeta(5)+\frac19\zeta(3) \pi^2 & {} & {} \end{align}</math>

vgl. {{OEIS|A073010}}, {{OEIS|A086463}}, -, {{OEIS|A086464}}, -.
Dabei bezeichnet <math>\ \psi_1</math> die [[Digamma-Funktion]], <math>\ \psi_2</math> die [[Trigammafunktion]] und allgemein <math>\ \psi_n</math> die <math>n</math>-te [[Polygammafunktion]]; <math>\ \zeta(x)</math> die [[Riemannsche Zetafunktion]], <math>\pi</math> die [[Kreiszahl]] und <math>G_{GK}</math> die [[Gieseking-Konstante]]. 

=== Verallgemeinerungen ===
Ganz allgemein gilt folgende Formel:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k \operatorname{CBC}(n)} = \frac12\, \cdot \, {}_{k+1}F_k \left(\underbrace{1,\ldots,1}_{k+1}; \tfrac32, \underbrace{2,\ldots,2}_{k-1}; \tfrac14 \right)</math>

für <math>k\ge1</math>, wobei <math>{}_mF_n(a_1,\ldots,a_m;b_1,\ldots,b_n;x)</math> die [[verallgemeinerte hypergeometrische Funktion]] bezeichnet; vgl.<ref>S. Plouffe: {{Webarchiv |url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html |wayback=20080329005528 |text=''The Art of Inspired Guessing.''}}. In: ''lacim.uqam.ca.'' 7. August 1998, abgerufen am 30. Januar 2023.</ref>

Auch die entsprechenden [[Alternierende Reihe|alternierenden Reihen]] konvergieren, und zwar zu folgenden Grenzwerten:

:<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\operatorname{CBC}(n)} &= \frac1{25}\left(5+4\sqrt5\cdot \operatorname{arcsch}(2)\right) &=&\, 0{,}37216357638560161555577\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n \operatorname{CBC}(n)} &= \frac25\sqrt5\cdot \operatorname{arcsch}(2) &=&\; 0{,}430408940964\ldots\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2 \operatorname{CBC}(n)} &= 2\left(\operatorname{arcsch}(2)\right)^2 & = &\; 0{,}463129641154\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3 \operatorname{CBC}(n)} &= \frac25\zeta(3) &=&\; 0{,}48082276126\ldots \end{align}</math>

vgl. {{OEIS|A086465}}, {{OEIS|A086466}}, {{OEIS|A086467}}, {{OEIS|A086468}}.

Analog lässt sich allgemein schreiben:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^k \operatorname{CBC}(n)} = \frac12\, \cdot \, {}_{k+1}F_k \left(\underbrace{1,\ldots,1}_{k+1}; \tfrac32, \underbrace{2,\ldots,2}_{k-1}; \tfrac{-1}4 \right).</math>

=== Vandermondesche Identität ===
Die Vandermondesche Identität lautet wie folgt:<ref>{{Internetquelle |autor=Alexander Bogomolny |url=https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/VandermondeConvolution.shtml |titel=Vandermonde’s Convolution Formula |werk=Cut-the-Knot.org |abruf=2025-11-16}}</ref><ref>{{MathWorld |id=Chu-VandermondeIdentity |title=Chu-Vandermonde Identity}} Formel (5).</ref>

: <math>\sum_{a=0}^k \binom {m}{a} \binom {n}{k-a} = \binom{m+n}{k}</math>

Im kombinatorischen Kugelmodell der Binomialkoeffizienten entspricht die rechte Seite der Formel der Anzahl von <math>k</math>-elementigen Teilmengen einer <math>(m+n)</math>-elementigen Menge von Kugeln. Im Folgenden wird ein Modell mit <math>m</math> roten Kugeln und <math>n</math> grünen Kugeln aufgestellt. Eine <math>k</math>-elementige [[Teilmenge]] besteht dann aus einer gewissen Anzahl <math>a</math> von roten Kugeln und <math>k-a</math> grünen Kugeln. Für jedes mögliche <math>a</math> gibt der entsprechende Summand auf der linken Seite die Anzahl der Möglichkeiten für so eine Aufteilung in rote und grüne Kugeln an. Die Summe liefert die Gesamtzahl.

Eine weitere Veranschaulichung liefert der [[Binomischer Lehrsatz|binomische Lehrsatz]] direkt:

: <math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k x^k</math>

Die zweite von den drei standardisierten [[Potenz (Mathematik)|Potenzgesetzen]] wird im Folgenden angewendet:

: <math>(1+x)^m (1+x)^n = (1+x)^{m+n}</math>

Durch Aufsummieren entstehen die [[Binomialkoeffizient]]en vor den x-Potenzen an den jeweiligen Summanden.

Wenn zwei Summen miteinander multipliziert werden, dann entsteht die Summe aller Einzelprodukte, bei denen jeweils ein Faktor des betroffenen Einzelproduktes als Summand aus der einen Summe und der andere Faktor desselben Einzelproduktes analog als Summand aus der anderen Summe genommen wird.

Im Spezialfall <math>k=m=n</math> ergibt sich aus der Vandermondeschen Identität folgende Formel für Quadratsummen:

: <math>\sum_{a=0}^n {\binom{n}{a}}^2 = \sum_{a=0}^n \binom{n}{a} \binom{n}{n-a} = \binom{2n}{n} = \operatorname{CBC}(n)</math>

== Verwandte Begriffe ==
Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die [[Catalan-Zahl]]en <math>C_n</math>. Sie sind gegeben durch
:<math>C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n}= {2n \choose n} - {2n \choose n+1} </math>

== Verallgemeinerung ==
Im [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]] haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:
:<math> { m \choose {\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} }</math> für <math>m\in\mathbb{N}_0</math>.
Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen <math>m</math> betrachtet.

== Siehe auch ==
* [[Eulersche Betafunktion]]
* [[Gammafunktion]]
* [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]]

== Literatur ==
* M. Beeler u. a.: ''Item 140'' in M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel, HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, S. 69, Feb. 1972. ([http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/pi.html#item140 inwap.com]).
* J. M. Borwein, P. B. Borwein, D. H. Bailey: ''Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi.'' Amer. Math. Monthly 96, 201–219, 1989.
* J. Borwein, D. Bailey: ''Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century.'' Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
* D. H. Bailey, J. M. Borwein, N. J. Calkin, R. Girgensohn, D. R. Luke, V. H. Moll: ''Experimental Mathematics in Action.'' Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|CentralBinomialCoefficient|Central Binomial Coefficients}}
* O. Schlömilch: ''Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art.'' Archiv der Mathematik und Physik 4, 1844, S. 171.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kombinatorik]]

Mittlerer Binomialkoeffizient - Versionsgeschichte

imported>Wfstb: /* Vandermondesche Identität */ Belege