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2025-01-22T15:51:43Z

Koordinaten: Tabelle aufgelöst

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Der '''Mittenpunkt''' (nicht zu verwechseln mit ''Mittelpunkt'') ist einer der [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|besonderen Punkte]] eines [[Dreieck]]s. Man erhält ihn dadurch, dass man die [[Mittelpunkt]]e der drei [[Ankreis]]e des gegebenen Dreiecks mit den zugehörigen Seitenmittelpunkten verbindet.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=104-105}}</ref> Die so entstandenen [[Verbindungsgerade]]n schneiden sich im Mittenpunkt. Bewiesen wurde diese Eigenschaft [[1836]] von dem deutschen [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Christian Heinrich von Nagel]].

[[Datei:Mittenpunkt.svg|mini|400px|Dreieck ABC mit Mittenpunkt M (rot), Seitenmittelpunkten (Ma, Mb, Mc) und Ankreismittelpunkten (JA, JB, JC)]]

== Eigenschaften ==

* Der Mittenpunkt ist zugleich der [[Lemoinepunkt|Lemoine-Punkt]] des Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt ist.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
* Der Mittenpunkt liegt mit dem [[Kreise am Dreieck|Inkreismittelpunkt]] und dem Lemoine-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
* Der Mittenpunkt liegt mit dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] und dem [[Gergonne-Punkt]] auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
* Der Mittenpunkt liegt mit dem [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|Höhenschnittpunkt]] und dem [[Spieker-Punkt]] auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
* Der Mittenpunkt ist der Mittelpunkt der [[Inellipse#Mandart-Inellipse|Mandart-Inellipse]].<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Mittenpunkts (<math>X_9</math>) sind (gleichwertig)
:<math>(b+c-a) \, : \, (c+a-b) \, : \, (a+b-c)</math> oder
:<math>\cot\frac{\alpha}{2} \, : \, \cot\frac{\beta}{2} \, : \, \cot\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X9">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers |abruf=2025-01-22}}</ref>

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind (gleichwertig)
:<math>a(b+c-a) \, : \, b(c+a-b) \, : \, c(a+b-c)</math> oder
:<math>(1 + \cos\alpha) : (1 + \cos\beta) : (1 + \cos\gamma)</math>.<ref name="ETC-X9" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Weblinks ==

* {{MathWorld |id=Mittenpunkt |title=Mittenpunkt}}
* [https://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=mittenpunkt Mittenpunkt] – eine Visualisierung mit [[GeoGebra]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Mittenpunkt - Versionsgeschichte

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