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2022-09-26T12:04:22Z

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'''Mittelwerteigenschaft''' bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, dass sich in jedem Punkt Funktionswert und der gemittelte Funktionswert in einer Kugel um diesen Punkt entsprechen.

Eine Funktion, die die Mittelwerteigenschaft erfüllt, ist automatisch [[Harmonische_Funktion|harmonisch]] und glatt, also in <math>C^\infty(\Omega)</math>.

== Definition ==
Sei <math>\Omega \subset \R^n</math>. Eine Funktion <math>f\colon \Omega \to \R</math> erfüllt die Mittelwerteigenschaft genau dann, wenn für alle <math>x \in \Omega</math> und alle <math> r>0 </math>, die <math>B_r(x) \subset \Omega</math> genügen,
:<math> f(x) = \frac{1}{\|B_r\|} \int_{B_r(x)} f(y) dy = \frac{1}{\|\partial B_r\|} \int_{\partial B_r(x)} f(y) dS(y)</math>
gilt. Dabei stehen <math>\|B_r\|</math> und <math>\|\partial B_r\|</math> für das Volumen bzw. die Oberfläche der [[Kugel#Verallgemeinerung|Kugel]] mit Radius <math>r</math>.

Die Integrale mit Vorfaktor sind dabei '''gemittelte Integrale''', die oft auch als durchgestrichenes Integral notiert werden.

== Hinreichende Bedingung ==
Beide Forderungen, also die Gleichheit des Funktionswertes mit der Mittelung über der ganzen Kugel respektive der über ihre Oberfläche, sind dabei äquivalent. Das folgt aus den Formeln für Oberfläche und Volumen der <math>n</math>-dimensionalen Kugel, denn falls die Mittelwerteigenschaft mit dem Oberflächenintegral gilt, ist
:<math>\frac{1}{\|B_r\|} \int_{B_r(x)} f(y) dy = \frac{1}{\|B_r\|} \int_{0}^{r} \underbrace{\int_{\partial B_s(x)} f(y) dy}_{= f(x) \|\partial B_s\|} ds = \frac{1}{\|B_r\|} f(x) \|B_r\| = f(x)</math>
Umgekehrt ist, falls die Mittelwerteigenschaft für das Integral über die Vollkugel gilt, nach dem Hauptsatz
:<math>\frac{1}{\|\partial B_r\|} \int_{\partial B_r(x)} f(y)dy = \frac{1}{\|\partial B_r\|} (\frac{d}{ds} \underbrace{\int \int_{\partial B_s} f(y) dy ds}_{= f(x) \|B_{s}\|})\Big|_{s=r} = \frac{1}{\|\partial B_r\|} f(x) \|\partial B_r\| = f(x)</math>
Also reicht es aus, eine der Bedingungen nachzuweisen.

== Abgeschwächte Mittelwerteigenschaft ==
Beim Studium von [[Subharmonische_Funktion|sub- und superharmonischen Funktionen]] verwendet man eine abgeschwächte Formulierung der Mittelwerteigenschaft, in der man das Gleichheitszeichen durch kleiner- bzw. größer-als ersetzt:
:<math>\forall x \in \Omega: f(x) \le \frac{1}{\|B_r\|} \int_{B_r(x)} f(y) dy</math>

== Diskrete Mittelwerteigenschaft ==
In der [[Numerik]] [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]] spricht man von der ''diskreten Mittelwerteigenschaft'' im Zusammenhang mit der [[Laplace-Operator#Diskreter Laplace-Operator|Diskretisierung des Laplace-Operators]]: Durch Bildung der zweiten zentrierten [[Differenzenquotient]]en gelangt man zu der Näherung
:<math>\Delta_h f(x) \approx \frac{1}{h^2}\left(f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)\right)</math>
Dass auch hier eine Mittelwerteigenschaft gilt, sieht man direkt durch Einsetzen einer ''diskret harmonischen'' Funktion, für die <math>\Delta_h f = 0</math> gilt:
:<math>0 = f(x-h) - 2f(x) + f(x+h) \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2} (f(x-h) + f(x+h))</math>

== Literatur ==
* [[Lawrence C. Evans]]: ''Partial Differential Equations.'' Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (''Graduate studies in mathematics'' 19).

[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]
[[en:Harmonic_function#The_mean_value_property]]

Mittelwerteigenschaft - Versionsgeschichte

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