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2023-01-02T10:05:18Z

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'''Mittelbare Gruppe''' ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]]. Es handelt sich dabei um [[lokalkompakte Gruppe]]n, auf denen eine gewisse Mittelungsfunktion, ein sogenanntes Mittel, existiert.

Der Begriff wurde 1929 durch [[John von Neumann]] eingeführt, der bemerkt hatte, dass sich das [[Banach-Tarski-Paradoxon]] aus der Unmöglichkeit eines Mittels auf [[Nichtabelsche freie Gruppe|nichtabelschen freien Gruppen]] erklären lässt. In der Folge stellte sich heraus, dass die Mittelbarkeit lokalkompakter Gruppen zu zahlreichen fundamentalen Eigenschaften aus der harmonischen Analysis äquivalent ist: dem [[Følner-Kriterium]], der [[Fixpunkteigenschaft]] oder der Bedingung, dass die [[reguläre Darstellung]] die [[Darstellung (Gruppe)|triviale Darstellung]] schwach enthält.

== Definition ==
Es sei <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe. Auf <math>G</math> gibt es bekanntlich ein [[Haarsches Maß]] <math>\mu</math>. Unter <math>L^\infty(G)</math> versteht man den [[Lp-Raum|<math>L^\infty</math>-Raum]] des [[Maßraum]]s <math>(G,\mu)</math>, d. h. den Vektorraum der beschränkten messbaren Funktionen, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden.

Für eine auf <math>G</math> definierte Funktion <math>f:G\rightarrow X</math> und ein Element <math>s\in G</math> sei <math>f_s:G\rightarrow X</math> durch <math>f_s(t) := f(s^{-1}t)</math> definiert.

Ein [[Stetige Funktion|stetiges]] [[lineares Funktional]] <math>m:L^\infty(G)\rightarrow \Complex</math> heißt ein '''Mittel''' auf <math>G</math>, falls gilt

* <math>m(1)=1</math>, wobei die 1 auf der linken Seite für die konstante Einsfunktion steht,
* <math>m(f)\ge 0</math> für alle <math>f\in L^\infty(G)</math> mit <math>f\ge 0</math> (d. h. <math>f(t) \ge 0</math> für alle <math>t\in G</math>),
* <math>m(f_s)\,=\,m(f)</math> für alle <math>f\in L^\infty(G)</math> und <math>s\in G</math>.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and their Automorphism Groups'' (= ''LMS Monographs.'' Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, 7.3.3.</ref>

Die ersten beiden Eigenschaften besagen gerade, dass <math>m</math> ein Zustand ist. Die dritte Eigenschaft nennt man auch Linksinvarianz.

Die Gruppe <math>G</math> heißt '''mittelbar''', falls es ein Mittel auf <math>G</math> gibt.

== Beispiele ==
* [[Kompakter Raum|Kompakte]] Gruppen sind mittelbar, das auf 1 normierte Haarsche Maß ist ein Mittel.
* [[Kommutativgesetz|Kommutative]] lokalkompakte Gruppen sind mittelbar. Ein Mittel kann man im nicht-kompakten Fall nicht direkt angeben, der Beweis erfordert einen nicht-konstruktiven [[Fixpunktsatz]].<ref>Kenneth R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'' (= ''Fields Institute Monographs.'' Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Korollar VII.2.2.</ref>
* Lokalkompakte [[auflösbare Gruppe]]n sind mittelbar.
* Die von zwei Elementen [[Freie Gruppe|frei erzeugte Gruppe]] <math>\mathbb{F}_2</math> ist das prototypische Beispiel einer nicht-mittelbaren Gruppe.<ref>Kenneth R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'' (= ''Fields Institute Monographs.'' Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Beispiel VII.2.4.</ref>
* Eine Gruppe mit [[Eigenschaft T]] ist genau dann mittelbar, wenn sie kompakt ist.
* Eine [[hyperbolische Gruppe]] ist genau dann mittelbar, wenn sie elementar hyperbolisch, d. h. endlich oder virtuell <math>\mathbb Z</math> ist.

== Permanenzeigenschaften ==
* [[Abgeschlossene Menge|Abgeschlossene]] [[Untergruppe]]n mittelbarer Gruppen sind wieder mittelbar.
* Ist <math>H\subset G</math> ein abgeschlossener [[Normalteiler]] einer mittelbaren Gruppe <math>G</math>, so ist auch die [[Faktorgruppe]] <math>G/H</math> mittelbar.
* Es sei <math>H\subset G</math> ein abgeschlossener [[Normalteiler]] einer lokalkompakten Gruppe <math>G</math> und <math>H</math> und <math>G/H</math> seien mittelbar, dann ist auch <math>G</math> mittelbar.

== Bedeutung ==
Die Darstellungstheorie lokalkompakter Gruppen mittels [[C*-Algebra|C*-Algebren]] ist für mittelbare Gruppen zugänglicher. Bezeichnet <math>C^*(G)</math> die [[Gruppen-C*-Algebra]], <math>C_r^*(G)</math> die [[reduzierte Gruppen-C*-Algebra]] und <math>\lambda:C^*(G)\rightarrow C_r^*(G)</math> die [[linksreguläre Darstellung]], so sind nach einem Satz von [[Andrzej Hulanicki]]
folgende Aussagen über eine lokalkompakte Gruppe <math>G</math> äquivalent<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and their Automorphism Groups'' (= ''LMS Monographs.'' Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.3.9.</ref><ref>[[Andrzej Hulanicki]]: ''Means and Følner conditions on locally compact groups.'' In: ''[[Studia Mathematica]].'' Bd. 27, Nr. 2, 1966, S. 87–104, [http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-smv27i1p7bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-sm-1966-27-2;0&qt=CHILDREN-STATELESS online].</ref>:

* <math>G</math> ist mittelbar.
* Die linksreguläre Darstellung <math>\lambda:C^*(G)\rightarrow C_r^*(G)</math> ist ein [[Isomorphismus]].

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes besagt, dass das [[C*-dynamisches System|verschränkte Produkt]] einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe mit der reduzierten Version des verschränkten Produktes zusammenfällt.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and their Automorphism Groups'' (= ''LMS Monographs.'' Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.7.7.</ref>

Gruppen-C*-Algebren mittelbarer Gruppen sind [[Nukleare C*-Algebra|nuklear]], für [[Diskrete Teilmenge|diskrete]] Gruppen gilt die Umkehrung.<ref>Christopher Lance: ''On Nuclear C*-Algebras.'' In: ''Journal of Functional Analysis.'' Bd. 12, Nr. 2, 1973, S. 157–176, {{DOI|10.1016/0022-1236(73)90021-9}}, Theorem 4.2.</ref>

== Bemerkungen ==
Invariante Maße sind durch [[John von Neumann]]<ref>[[John von Neumann]]: ''Zur allgemeinen Theorie des Masses.'' In: ''[[Fundamenta Mathematicae]].'' Bd. 13, 1929, S. 73–116, [http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv13i1p6bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1929-13-1;5&qt=CHILDREN-STATELESS online]; ''Zusatz zur Arbeit „Zur allgemeinen Theorie des Masses“.'' Bd. 13, 1929, S. 333, [http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv13i1p28bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1929-13-1;27&qt=CHILDREN-STATELESS online].</ref> eingeführt worden.
Eine leicht zugängliche Einführung in die Theorie der mittelbaren Gruppen ist das Buch von [[Fredrick Greenleaf]]<ref>Fredrick P. Greenleaf: ''Invariant Means on Topological Groups and their Applications'' (= ''Van Nostrand Mathematical Studies.'' Bd. 16, {{ZDB|793375-7}}). Van Nostrand Reinhold, New York u. a. 1969, ISBN 0-442-02857-1.</ref>, dort finden sich auch vollständige Beweise obiger Permanenzeigenschaften. Die sogenannte ''Von-Neumann-Vermutung'', nach der jede nicht-mittelbare Gruppe eine zu <math>\mathbb{F}_2</math> isomorphe Untergruppe enthält, ist 1980 von [[Alexander Olschanski]] widerlegt worden.<ref>Александр Ю. Ольшанский: ''К Вопросу о Существовании инвариантного Среднего на Группе.'' In: ''Успехи Математических Наук.'' Bd. 35, Nr. 4 = 214, 1980, {{ISSN|0042-1316}}, S. 199–200, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=3788&option_lang=rus online], (''Über Fragen zur Existenz invarianter Mittel auf einer Gruppe.'').</ref>

== Siehe auch ==

* [[Mittelbare Wirkung]]

== Literatur ==
* A. Paterson: ''Amenability.'' Mathematical Surveys and Monographs, 29. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988. ISBN 0-8218-1529-6

== Weblinks ==
* Juschenko: [http://www.math.northwestern.edu/~juschenk/notes-graduate.html Lecture Notes on "Amenability"]
* Ozawa: [http://www.icm2006.org/proceedings/Vol_II/contents/ICM_Vol_2_74.pdf Amenable actions and applications]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]

Mittelbare Gruppe - Versionsgeschichte

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