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2025-01-19T14:03:53Z

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{{Zeichen|−1}}
{{DISPLAYTITLE:minus eins}}
'''−1''' ist in der Mathematik die [[Addition|additive]] [[Inverses Element|Inverse]] der [[Eins|1]], das heißt, wenn es zu 1 addiert wird, erhält man das [[neutrales Element|neutrale Element]] der Addition [[Null|0]]. Es ist eine [[Positive und negative Zahlen|negative]] [[ganze Zahl]], die größer als minus [[zwei]] (−2) und kleiner als [[null]] ist.

''Minus Eins'' hat einige ähnliche, aber zu der positiven Eins leicht verschiedene Eigenschaften.<ref>Jayant V. Deshpande: ''[http://books.google.com/books?id=Xrh89dLWZqEC Mathematical analysis and applications]'', ISBN 1-84265-189-7</ref>

−1 steht mit der [[Eulersche Identität|eulerschen Identität]] in Beziehung, da  ''e'' ''iπ'' = −1.

In der [[Informatik]] ist −1 ein verbreiteter [[Initialwert]] für solche [[Integer (Datentyp)|Integer]]-[[Variable (Programmierung)|Variablen]], deren Werte typischerweise nicht negativ sind, und zeigt damit an, dass die Variable (noch) keine sinnvolle Information enthält.

== Algebraische Eigenschaften ==
Eine Zahl mit −1 zu multiplizieren ist äquivalent zum [[Vorzeichenwechsel]]. Dies kann gezeigt werden mittels des [[Distributivgesetz]]es und des [[Axiom]]s, dass 1 das neutrale Element der [[Multiplikation]] ist: Für eine [[reelle Zahl]] x gilt
: <math>x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0 \cdot x=0</math>
wobei ausgenutzt wird, dass eine reelle Zahl x mal 0 gleich 0 ist, was sich aus Kürzung der folgenden Gleichung ergibt
: <math>0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x \, </math>

In anderen Worten
:<math>x+(-1)\cdot x=0</math>,
damit ist (−1)·''x'' das additive Inverse zu ''x'' bzw. −''x''.

=== Quadrieren von −1 ===
Das [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] von −1 (das heißt −1 mal −1) ist gleich 1. In der Folge ist ein Produkt von zwei negativen Zahlen positiv.

Um das algebraisch zu beweisen, beginnt man mit der Gleichung
: <math>0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+(-1)]</math>

Die erste Gleichung folgt aus obigem Ergebnis. Die zweite folgt aus der Definition von −1 als additivem Inversen von 1: Es ist genau die Zahl die 0 ergibt, wenn sie zu 1 addiert wird. Durch Anwendung der [[Distributivgesetz]]es sieht man

: <math>0 =-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)</math>.

Die zweite Gleichung folgt aus der Tatsache, dass 1 das neutrale Element der Multiplikation ist. Durch Addition von 1 auf beiden Seiten der letzten Gleichung folgt

: <math>(-1) \cdot (-1) = 1</math>.

Die obigen Folgerungen gelten auch in jedem [[Ring (Algebra)|Ring]], der die [[abstrakte Algebra]] der ganzen und reellen Zahlen verallgemeinert.

=== Quadratwurzel von −1 ===
Die [[komplexe Zahl]] ''[[Imaginäre Zahl|i]]'' erfüllt   i² = −1   und wird damit als [[Quadratwurzel]] von −1 betrachtet. Die einzige andere komplexe Zahl x, welche die Gleichung   ''x''² = −1   erfüllt, ist −i. In der [[Quaternion]]-Algebra, welche die komplexe Ebene enthält, hat die Gleichung   ''x''² = −1   [[Quaternion|unendlich viele Lösungen]].<ref>[http://mathforum.org/library/drmath/view/58251.html mathforum.org]</ref>

== Potenzen von negativen Ganzzahlen ==
Die [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] von reellen Zahlen ohne null kann auf [[Potenz (Mathematik)#Ganze negative Exponenten|negative Exponenten]] erweitert werden. Es wird definiert ''x''−1 = 1/''x''; das heißt wird eine Zahl mit −1 potenziert, so erhält man ihren [[Kehrwert]]. Wird diese Definition auf negative Ganzzahlen erweitert, bleibt das Exponentialgesetz für reelle Zahlen ''a'', ''b'' ungleich 0 erhalten:   ''x''''a''''x''''b'' = ''x''(''a'' + ''b'')

Potenzen mit negativen Exponenten können auf die invertierbaren Elemente eines Rings durch die Definition von ''x''−1 als inverses Element der Multiplikation mit ''x'' erweitert werden.

== Binäre Darstellung im Computer ==
Es gibt auf Computersystemen eine Reihe verschiedener Darstellungen von −1 und negativen ganzen Zahlen im Allgemeinen. Die meistverwendete ist das [[Zweierkomplement]] ihrer positiven Form. Minus eins hat im Zweierkomplement die gleiche Darstellung wie die positive Ganzzahl 2''n'' − 1, wobei ''n'' die Anzahl der binären Stellen in der Darstellung ist (die Anzahl von [[Bit]]s im Datentypen). Beispielsweise repräsentiert 111111112 ([[Dualsystem|binär]]) bzw. FF16 ([[Hexadezimalsystem|hex]]) für ''n'' = 8 die Zahl −1 im Zweierkomplement, aber 255 in der Standarddarstellung.

== Siehe auch ==
* [[Satz von Menelaos]]
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganze Zahl|#-0001]]

Minus eins - Versionsgeschichte

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