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2026-02-14T09:49:09Z

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'''Minor''' oder '''Unterdeterminante''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[lineare Algebra|linearen Algebra]]. Man bezeichnet damit die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] einer quadratischen [[Untermatrix]], die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

== Kofaktoren {{Anker|Cofaktoren}}==
=== Definition ===
Zu einer quadratischen <math>n \times n</math>-Matrix <math>A = (a_{ij})_{ij}</math> sind die '''Kofaktoren''' (oder '''Cofaktoren''') <math>\tilde a_{ij}</math> durch folgende Formel definiert:<ref name="BOSCH">[[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 148.</ref>
:<math>\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}.</math>
Dabei ist <math>M_{ij}</math> der Minor <math>(n-1)</math>-ter Ordnung, der als Determinante derjenigen Untermatrix berechnet wird, die durch Streichen der <math>i</math>-ten Zeile und <math>j</math>-ten Spalte entsteht.

Statt Zeilen und Spalten zu streichen, kann man auch Matrizen betrachten, bei denen die Einträge der <math>i</math>-ten Zeile oder der <math>j</math>-ten Spalte (oder beider) durch Nullen ersetzt werden, mit Ausnahme des Eintrags an der Stelle <math>(i,j)</math>, der durch eine 1 ersetzt wird. Man erhält dann für die Kofaktoren:
:<math>\tilde a_{ij} =
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1} & 0 & a_{1,j+1} & \dots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} &0 & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n}\\
0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} &0 & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n}\\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1} & 0 & a_{n,j+1} & \dots & a_{n,n}
\end{vmatrix}\;,</math>

wobei <math>|\cdot |</math> für die Bildung der Determinante steht. Aus den Kofaktoren lässt sich wieder eine <math>n \times n</math>-Matrix bilden, die '''Kofaktormatrix''' oder '''Komatrix''' (oder auch '''Comatrix'''), deren Transponierte als [[Adjunkte]] oder komplementäre Matrix bezeichnet wird. Mit ihr kann man die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer Matrix berechnen. Der [[Laplace’scher Entwicklungssatz|Laplace’sche Entwicklungssatz]] verwendet die Kofaktoren einer Matrix zur Berechnung ihrer Determinante.

=== Kofaktormatrix und Kreuzprodukt ===
{{Siehe auch|Äußeres Tensorprodukt#Kreuzprodukt}}

Wenn mit zwei Vektoren <math>A\vec a,A\vec b</math>, die wie gezeigt mit der Matrix <math>A</math> transformiert wurden, das [[Kreuzprodukt]] <math>\times</math> gebildet wird, kann aus diesem Produkt die Matrix <math>A</math> herausgezogen werden, wenn von ihr dabei der Kofaktor <math>\mathrm{cof}(A)</math> gebildet wird:

:<math>(A\vec a)\times(A\vec b)=\mathrm{cof}(A)\vec a\times\vec b</math>

Denn beim [[Spatprodukt]] mit einem dritten Vektor <math>A\vec c</math> gilt:

:<math>(A\vec c)\cdot[(A\vec a)\times(A\vec b)]
=\begin{vmatrix}A\vec c&A\vec a&A\vec b\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}A\begin{pmatrix}\vec c&\vec a&\vec b\end{pmatrix}\end{vmatrix}
=|A|\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)
</math>

wo die senkrechten Striche |…| die [[Determinante]] bilden. Mit der [[Einheitsmatrix]] <math>E</math>, der [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]] <math>A^\top</math> und der Identität <math>A^\top\mathrm{cof}(A)=|A|E</math> entsteht aus

:<math>\begin{align}
&(A\vec c)\cdot[(A\vec a)\times(A\vec b)]
=\vec c\cdot[|A|E(\vec a\times\vec b)]
\\
&=\vec c\cdot[A^\top\mathrm{cof}(A)(\vec a\times\vec b)]
=(A\vec c)\cdot[\mathrm{cof}(A)(\vec a\times\vec b)]
\end{align}</math>

und Umstellung die Identität

:<math>(A\vec c)\cdot[(A\vec a)\times(A\vec b)-\mathrm{cof}(A)(\vec a\times\vec b)]=0
</math>

die für alle Vektoren <math>\vec c</math> gilt und so auf die obige Aussage geschlossen werden kann.

=== Eigenschaften ===
Die Kofaktormatrix ist die [[Transponierte Matrix]] zur [[Adjunkte]], sodass sie ähnliche Eigenschaften aufweist. Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus <math>K^{n\times n}</math>

:<math>\operatorname{cof}(E) = E</math>, wobei <math>E</math> eine [[Einheitsmatrix]] ist.
:<math>\operatorname{cof}(0) = 0</math> für <math>n>1</math>, wobei ''0'' die [[Nullmatrix]] ist. Für <math>1\times 1</math>-Matrizen <math>A=[a_{11}]</math> gilt jedoch immer, auch für die Nullmatrix: <math>\operatorname{cof}([a_{11}]) = [1]</math>.
:<math>\operatorname{cof}(AB) = \operatorname{cof}(A) \cdot \operatorname{cof}(B)</math>
:<math>\operatorname{cof}(A^T) = \operatorname{cof}(A)^T</math>
:<math>A^T \cdot \operatorname{cof}(A) = \operatorname{cof}(A) \cdot A^T = \det(A) \cdot E</math>
:<math>\operatorname{cof}(\lambda A)=\lambda^{n-1}\operatorname{cof}(A)</math> wobei <math>\lambda\in K</math>
:<math>\det(\operatorname{cof}(A))=(\det A)^{n-1}</math>
:<math>\operatorname{cof}(\operatorname{cof}(A))=(\det A)^{n-2}A</math>, insbesondere für <math>2\times2</math>-Matrizen gilt <math>\operatorname{cof}(\operatorname{cof}(A))=A</math>

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich die [[Cramersche Regel]]
:<math> \operatorname{cof}(A) = \det(A) A^{-T} \Leftrightarrow A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\operatorname{cof}(A))^{T},</math>
wobei <math> A^{-T} = \left(A^{-1}\right)^T = \left(A^T\right)^{-1} </math> gilt. Durch Invertieren dieser erhält man
:<math>(\operatorname{cof}(A))^{-1}=\frac1{\det(A)}A^T=\operatorname{cof}(A^{-1})</math>
Sei <math>\mathbb{K}=\R</math> oder <math>\mathbb{K}=\C</math>, dann ist die ([[Fréchet-Ableitung|Fréchet-]])Ableitung der [[Determinante]] <math>\det\colon\mathbb{K}^{ n \times n } \mapsto \mathbb{K} </math> an der Stelle <math>A \in\mathbb{K}^{n \times n}</math> ist gegeben durch

:<math>D(\det A)\colon \mathbb{K}^{n \times n} \mapsto \mathbb{K}, H \mapsto D(\det A)H = \operatorname{spur}(\operatorname{cof}(A)^T H) = \sum_{i, j = 1}^n \operatorname{cof}(A)_{ij} h_{ij},</math>

wobei <math display="inline">\operatorname{spur}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}</math> die [[Spur (Mathematik)|Spur]] einer Matrix <math>A \in\mathbb{K}^{n \times n}</math> ist.

=== Beispiel ===

Es soll der Minor <math>M_{2,3}</math> und der Kofaktor <math>\tilde a_{2,3}</math> der folgenden Matrix bestimmt werden:
:<math>A =
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 &11
\end{pmatrix}.
</math>

Durch Streichen der zweiten Zeile und dritten Spalte
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & 4 & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
-1 & 9 & \Box
\end{pmatrix}
</math>
entsteht die Matrix
:<math>A_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}.</math>
Daraus lässt sich der Minor <math>M_{2,3}</math> berechnen:
:<math>M_{2,3} =
\begin{vmatrix}
1 & 4 \\
-1 & 9
\end{vmatrix} =
9 + 4 = 13.
</math>
Für den Kofaktor <math>\tilde a_{2,3}</math> gilt
:<math>\tilde a_{2,3} = (-1)^{2+3} \cdot M_{2,3} = -13</math>
bzw.
:<math>\tilde a_{2,3} = \begin{vmatrix}
1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-1 & 9 & 0
\end{vmatrix} = -13. </math>

== Hauptminoren ==
=== Definition ===
Entstehen Minoren durch Streichungen von Zeilen und Spalten derselben Nummern, spricht man von '''Hauptminoren''', genauer von '''Hauptminoren k-ter Ordnung''', wenn die Größe der Untermatrix angegeben werden soll. Bleiben genau die ersten k Zeilen und Spalten übrig, so spricht man von '''führenden Hauptminoren k-ter Ordnung'''.<ref>Frank Riedel: ''Mathematik für Ökonomen''. Springer; Auflage: 2. verb. Aufl. 2009 (28. September 2009). ISBN 978-3642036484. S. 220.</ref> Die führenden Hauptminoren werden mitunter auch ''natürlich geordnete Hauptminoren'' genannt.<ref name="Chiang">Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright, Harald Nitsch: ''Mathematik für Ökonomen - Grundlagen, Methoden und Anwendungen''. Vahlen; Auflage: 1. Auflage. (Januar 2011). ISBN 978-3800636631. S. 80.</ref> Im deutschsprachigen Raum werden die ''führenden Hauptminoren'' oft verkürzt nur ''Hauptminoren'' genannt.<ref>Beispielsweise: [[Norbert Herrmann]]: ''Höhere Mathematik: für Ingenieure, Physiker und Mathematiker''. Oldenbourg Wissenschaftsverlag; Auflage: 2. überarb. Auflage (1. September 2007). ISBN 978-3486584479. S. 13.</ref> Dies hängt insbesondere damit zusammen, dass für viele Anwendungen nicht alle Hauptminoren untersucht werden müssen.<ref name="Chiang" /> Außerdem ist im deutschsprachigen Raum die Bezeichnung ''Hauptabschnittsdeterminante'' für die Hauptminoren gebräuchlich.<ref>Böker, Fred. Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler: Mathematik und Statistik. Pearson Deutschland GmbH, 2007. S. 194.</ref>

Zur Veranschaulichung mache man sich klar, wie viele Minoren, Hauptminoren und führende Hauptminoren eine 3x3-Matrix hat. Streicht man zunächst gleichzeitig die i-te Zeile und i-te Spalte für i = 1, 2, 3, so verbleiben drei Hauptminoren zweiter Ordnung. Streicht man jeweils ''mehrere'' Zeilen und die gleich nummerierten Spalten, tut man dies in diesem Fall also mit zweien, verbleiben drei Hauptminoren erster Ordnung. Umso mehr Zeilen gestrichen werden, desto kleiner die Ordnung.


Die Hauptminoren haben durch das [[Definitheit#Hauptminoren|Hauptminorenkriterium]] eine Bedeutung für die Feststellung der [[Definitheit]] [[Symmetrische Matrix|symmetrischer]] bzw. [[Hermitesche Matrix|hermitescher Matrizen]].

=== Beispiel zu Hauptminoren und führenden Hauptminoren ===
''Führende'' Hauptminoren sind spezielle Hauptminoren, die dadurch entstehen, dass man die Ausgangsmatrix „von ihrem Ende“ her sukzessive um jeweils eine Zeile und Spalte verkürzt und die Determinanten der sich ergebenden Untermatrizen berechnet. So liefert etwa die 3×3-Matrix

:<math>A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
</math>

die folgenden drei Untermatrizen

:<math>A_{1} =
\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}, \quad
A_{2} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 5 \\
\end{pmatrix}, \quad
A_{3} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix},
</math>
aus denen sich anschließend die folgenden drei ''führenden'' Hauptminoren berechnen lassen:
* Führender Hauptminor 1. Ordnung: <math> \det(A_1) = 1; </math>
* Führender Hauptminor 2. Ordnung: <math>
\det(A_2) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
4 & 5 \\
\end{vmatrix}
= -3;
</math>
* Führender Hauptminor 3. Ordnung: <math>
\det(A_3) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
= 0.
</math>

Wie zu sehen, gibt es dabei nur einen Hauptminor 3. Ordnung, der zugleich ''führend'' ist, nämlich die Determinante der gesamten Matrix. Weitere, insbesondere bei der Bestimmung der Semidefinitheit einer Matrix eine Rolle spielende Hauptminoren sind im Fall obiger Ausgangsmatrix außerdem die folgenden vier Hauptminoren 1. und 2. Ordnung:

* Weitere Hauptminoren 1. Ordnung: <math> \det(a_{22}) = 5; \quad \det(a_{33}) = 9;</math>
* Weitere Hauptminoren 2. Ordnung: <math>
\det \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{pmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{vmatrix}
= -12; \quad
\det \begin{pmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} =
\begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9 \\
\end{vmatrix}
= -3.
</math>

== Einzelnachweise ==
<references/>

==Literatur ==
* Wolfgang Gawronski: ''Grundlagen der Linearen Algebra.'' Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2, S. 193.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Minor (Lineare Algebra) - Versionsgeschichte

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