imported>Ulanwp: Fehlenden Sprachparameter eingefügt

2026-04-13T09:50:22Z

Fehlenden Sprachparameter eingefügt

Neue Seite

Der '''Minkowski-Raum''', benannt nach [[Hermann Minkowski]], ist ein vierdimensionaler Raum, in dem sich die [[Relativitätstheorie]] elegant formulieren lässt. Um 1907 erkannte Minkowski, dass die Arbeiten von [[Hendrik Antoon Lorentz]] (1904) und [[Albert Einstein]] (1905) zur Relativitätstheorie in einem vierdimensionalen [[Nichteuklidische Geometrie|nicht-euklidischen Raum]] verstanden werden können. Er vermutete, dass in einem solchen der [[dreidimensional]]e [[Raum (Physik)|Raum]] und die [[Zeit]] als sogenanntes [[Raum-Zeit-Kontinuum]] miteinander verbunden sind. Dieses wird auch als '''Minkowski-Welt''' bezeichnet.

Drei seiner Koordinaten sind die des [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raums]]; dazu kommt eine vierte Koordinate für die Zeit. Der Minkowski-Raum besitzt also vier Dimensionen. Dennoch unterscheidet sich der Minkowski-Raum wesentlich von einem vierdimensionalen euklidischen Raum aufgrund der unterschiedlichen Struktur von Raum- und Zeitkoordinaten (siehe unten).

In der [[Mathematik]] betrachtet man auch Minkowski-Räume beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] als Spezialfälle [[Euklidischer Raum|pseudoeuklidischer Räume]]. Minkowski-Räumen zugrunde liegt ein [[Vektorraum]] der [[Parallelverschiebung]]en (Minkowski-Vektorraum) mit einem [[Skalarprodukt#Pseudoskalarprodukt|Pseudoskalarprodukt]] (so wie bei [[Euklidischer Raum|Euklidischen Räumen]] ein [[Euklidischer Vektorraum]] mit [[Skalarprodukt]]). Die Punkte des Minkowski-Raumes werden [[Ereignis#Relativitätstheorie|Ereignisse]] genannt, im Unterschied zu den [[Vierervektor]]en genannten Elementen des Vektorraums.

== Reelle Definition ==
Der Minkowski-Vektorraum ist ein vierdimensionaler [[reelle Zahl|reeller]] [[Vektorraum]], auf dem das [[Skalarprodukt]] nicht durch den üblichen Ausdruck, sondern durch eine [[Bilinearform#Ausartungsraum|nichtausgeartete]] [[symmetrische Bilinearform]] <math>g</math> vom Index 1 gegeben ist. Diese ist also nicht [[positiv definit]]. Man ordnet den Minkowski-[[Vierervektor]] vier-komponentige Elemente <math>\mathbf x</math> bzw. <math>\mathbf y</math> zu und setzt in der Regel

:<math>g(\mathbf{x},\mathbf{y}) \equiv \mathbf{x\cdot y} := - x_0 y_0 + x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3,</math>

wobei <math>\mathbf{x\cdot y}</math> eine Kurzschreibweise für <math>g(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> ist und die Koordinate <math>x_0 = ct</math> ebenfalls reell definiert ist: sie geht mit Hilfe der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> aus der Zeitkoordinate <math>t</math> hervor.

Statt der hier gewählten [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] <math>{(-,+,+,+)},</math> die in der [[allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] heute am häufigsten verwendet wird (sie ist die Konvention im einflussreichen Lehrbuch ''[[Gravitation (Buch)|Gravitation]]'' von [[Charles Misner]], [[Kip Thorne]] und [[John Archibald Wheeler]] von 1973), wird – vor allem in der neueren Literatur – oft die physikalisch äquivalente umgekehrte Signatur <math>{(+,-,-,-)}</math> gewählt. Letztere ist auch in der [[Teilchenphysik]] weit verbreitet<ref>So in den bekannten Lehrbüchern von [[Michael Peskin]] und Daniel Schroeder, An introduction to quantum field theory, 1995, und fast allen Teilchenlehrbüchern seit den klassischen Lehrbüchern von [[James Bjorken]] und [[Sidney Drell]] ''Relativistic Quantum Mechanics'', 1964.</ref> und wird zum Beispiel in der bekannten Lehrbuchreihe von [[Lew Landau|Landau]] und [[Jewgeni Michailowitsch Lifschitz|Lifschitz]] verwendet. <math>{(+,-,-,-)}</math> wird im Englischen daher auch Teilchenphysik-Konvention genannt (auch Westküsten-Konvention), und <math>{(-,+,+,+)}</math> die Relativitätstheorie-Konvention<ref>Sie wurde unter anderem von [[Wolfgang Pauli]] in seinem einflussreichen Artikel über Relativitätstheorie in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften verwendet. Einstein verwendete verschiedene Konventionen in seinem Aufsatz über Allgemeine Relativitätstheorie von 1916 die Konvention (+,-,-,-) und ebenso Hermann Minkowski 1908 in seinem Vortrag ''Raum und Zeit''.</ref> (auch Ostküsten-Konvention). Die Zeit wird zuweilen auch als vierte statt als erste Koordinate geführt.

Eine [[symmetrische Bilinearform]] mit einer derartigen Signatur wird auch Minkowski-Metrik oder (bei einer [[Lorentz-Mannigfaltigkeit]] für die [[Tangentialraum|Tangentialräume]]) Lorentz-Metrik genannt.

Alternativ kann man das innere Produkt zweier Elemente des Minkowski-Vektorraumes auch als [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] des [[metrischer Tensor|metrischen Tensors]] <math>\eta_{\mu\nu}</math> auffassen:

:<math>g(\mathbf{x},\mathbf{y}) \equiv \mathbf{x \cdot y} := \eta_{\mu\nu}x^\mu y^\nu\,,</math>

indem man [[Kovarianz (Physik)|kontravariante und kovariante]] [[Vektor]]<nowiki/>komponenten unterscheidet (obere bzw. untere Indizes, z. B. <math>x^0 = +ct \, ,</math> aber <math>x_0 = \eta_{0\nu} \, x^\nu = -ct \, ,</math> <math>\eta_{\mu \nu} = {\rm diag} (-1,+1,+1,+1)\,</math>).

== Definition mit imaginärer Zeit ==
In manchen älteren Lehrbüchern<ref>Siehe etwa das Lehrbuch der Theoretischen Physik von [[Friedrich Hund]], Band II.</ref> wird eine äquivalente [[Mathematische Notation|Notation]] mit einer [[Imaginäre Zahl|imaginären]] Zeitachse verwendet, die dadurch die gemischte Signatur des inneren Produkts vermeidet. Durch Setzen von <math>x_0 = \mathrm i ct, x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z</math> können die <Math>x_i</math> mit positiv definiter, euklidischer Metrik verwendet werden und man erhält dennoch die korrekte Minkowski-Signatur
: <math>x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = -c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2\ .</math>
Eine Eigenschaft dieser Konvention ist, dass nicht zwischen kontravarianten und kovarianten Komponenten unterschieden wird. Der Wechsel von Minkowski-Signatur auf euklidische Signatur der Metrik wird dabei als [[Wick-Rotation]] bezeichnet. In modernen Lehrbüchern wird diese Konvention nicht verwendet und von der Verwendung abgeraten.<ref>[[Charles W. Misner]], [[Kip S. Thorne]] und [[John A. Wheeler]]: ''Gravitation''. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0334-3.</ref>

== Lorentz-Transformationen ==
{{Hauptartikel|Lorentz-Transformation}}

Die [[Lorentz-Transformation]]en spielen eine den [[Drehung]]en um den Koordinatenursprung in euklidischen Räumen analoge Rolle: Es sind diejenigen homogen-[[Lineare Transformation|linearen Transformationen]], die das Objekt <math>\eta_{\mu\nu}</math> und damit das innere Produkt des Minkowski-Vektorraums [[Lorentz-Invarianz|invariant]] lassen, was die Bedeutung des Minkowski-Vektorraums in der [[spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] begründet. Auch eignet sich dieser Formalismus zur Verallgemeinerung in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]]. Im Gegensatz zu den Drehgruppen haben die Lorentz-Transformationen auch die Kausalstruktur der Systeme als Folge.

Die Lorentz-Transformationen setzen sich zusammen aus einer räumlichen Drehung und einem sog. „[[Spezielle Lorentz-Transformation|Boost]]“ (alias [[Spezielle Lorentz-Transformation]]), d. h. dem Übergang zu einem relativ zum ursprünglichen Beobachtersystem mit gleichnamiger Geschwindigkeit (kleiner als die des Lichts) bewegten System. Die Drehung kann vor oder nach dem Boost erfolgen, da beide Operationen aber nicht [[Kommutativgesetz|vertauschbar]] sind, sind die erforderlichen Drehungen und Boosts (im Allgemeinen) jeweils unterschiedlich; insbesondere die Drehungen sind im Gegensatz zu einer [[Galilei-Transformation]] der nichtrelativistischen Physik deshalb unterschiedlich, weil der Boost infolge der Längenkontraktion Einfluss auf den Raum bzw. die Raumkoordinaten hat.

== Minkowski-Raum und Minkowski-Vektorraum ==
Der Minkowski-Raum <math>M</math> ist die vierdimensionale [[Raumzeit]], seine Punkte werden in der Relativitätstheorie [[Ereignis#Relativitätstheorie|Ereignisse]] genannt.
So wie man in der [[Analytische Geometrie|Analytischen Geometrie]] dem [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] einen [[Euklidischer Vektorraum|Euklidischen Vektorraum]] als Vektorraum zuordnet – etwa als Menge der [[Parallelverschiebung]]en, unterliegt der Raumzeit ein pseudoeuklidischer Vektorraum (Minkowski-Vektorraum) <math>V</math>. Die Stelle der Parallelverschiebungen nehmen hier die [[Raumzeit#Symmetrien|Raum-Zeit-Translationen]] ein, die Vektoren werden auch [[Vierervektor]]en genannt. Beispiele für raumzeitliche Parallelverschiebungen sind die Übergänge zu einem räumlich verschobenen Beobachter ([[Inertialsystem]]) mit im Allgemeinen nicht synchronisierter Uhr: Ein solcher Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen wird im Minkowski-Vektorraum beschrieben durch die Lorentz-Transformation (Drehung und [[Spezielle Lorentz-Transformation|Boost]]), in der Raumzeit durch die [[Poincaré-Gruppe|Poincaré-Transformation]] (mit zusätzlicher Parallelverschiebung, d. h. [[Translation (Physik)#Raum-Zeit-Translation|Raum-Zeit-Translation]]).

== Minkowski-Räume in der Mathematik ==
In der [[Mathematik]], speziell der [[Differentialgeometrie]] betrachtet man auch Minkowski-Räume und -Vektorräume beliebiger Dimension > 1. Letztere sind <math>(n+1)</math>-dimensionale [[Vektorraum|Vektorräume]] mit einer [[Symmetrische Bilinearform|symmetrischen Bilinearform]] <math>g</math> der [[Signatur (Lineare Algebra)|Signatur]] <math>(1,n)</math>. In einer geeigneten („kanonischen“) Basis lässt sich <math>g</math> als
:<math>g(\mathbf{x},\mathbf{y})=-x_0y_0+x_1y_1+\ldots+x_ny_n</math>,
darstellen, diese Form bezeichnet man als '''Lorentzform'''.
Dabei sind <math>x_1, \ldots x_n</math> und <math>y_1, \ldots y_n</math> die Koordinaten der Vektoren <math>\mathbf{x},\mathbf{y}</math>.
Für <math>g(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> schreibt man wieder kurz <math>\mathbf{x \cdot y}</math>, für <math>g(\mathbf{x},\mathbf{x})</math> dann auch <math>\mathbf{x}^2</math>.

Die kanonischen [[Koordinatensystem]]e der Raumzeit sind die [[Inertialsystem]]e, gekennzeichnet durch einen raumzeitlichen [[Koordinatenursprung|Ursprung]] (räumlicher Bezugspunkt zur „Stunde Null“) mit einem [[Kartesisches Koordinatensystem|Kartesischen Koordinatensystem der Raumkoordinaten]]. Idealerweise benutzt man [[natürliche Einheiten]] (etwa Sekunden als Zeit- und [[Lichtjahr#Definition|Lichtsekunden]] als Entfernungseinheit). Im Minkowski-Vektorraum entspricht dies einer kanonischen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] drei aufeinander senkrecht stehenden [[raumartig]]en Vektoren, die zusammen eine räumliche [[Orthonormalbasis]] bilden, und einem [[zeitartig]]en Vektor.

== Kausalstruktur (raumartige, zeitartige und lichtartige Vektoren) ==
{{Hauptartikel|Kausalstruktur}}

Die Elemente <math>x</math> des Minkowski-Vektorraums können nach dem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] von <math>g(\mathbf{x},\mathbf{x})</math> (bzw. <math>\mathbf{x}^2</math>) in drei Klassen eingeteilt werden:
* [[zeitartig]]e Minkowski-Vektoren (das entspricht [[Kausalität|kausal]] durch „[[Masse (Physik)|massive]] Körper“ beeinflussbaren „Ereignispaaren“<ref group="Anm.">Dass es sich um Ereignispaare handelt, wird klar, wenn man als <math>\,\mathbf x^2</math> infinitesimale Differenzen <math>\,\mathrm d\mathbf {x}^2</math> verwendet.</ref>),
* [[raumartig]]e Minkowski-Vektoren (kausal ''nicht'' beeinflussbare Ereignispaare)
* – als Grenzfall – [[lichtartig]]e Minkowski-Vektoren (kausal nur durch Lichtsignale beeinflussbare Ereignispaare).
Die Invarianz dieser Einteilung bei allen Lorentz-Transformationen folgt aus der Invarianz des [[Lichtkegel]]s. Dabei beschreibt das zeitartige Innere des Lichtkegels die [[Kausalstruktur#Ordnungskegel|kausale Struktur]]: mögliche Ursachen eines Ereignisses liegen in der „Vergangenheit“ (Rückwärtsbereich des Lichtkegel-Inneren), mögliche Auswirkungen in der „Zukunft“ (Vorwärtsbereich des Lichtkegel-Inneren); außerdem gibt es noch den raumartigen Außenbereich des Lichtkegels, der mit dem betrachteten Ereignis im Zentrum gar nicht „kausal zusammenhängt“, weil dazu Informationsübertragung mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] nötig wäre.

In einem Minkowski-Raum gibt es zu jedem (Raum-Zeit-)Punkt (d. h. Ereignis) einen Lichtkegel.
Entsprechend ergeben sich für Paare von Raumzeitpunkten <math>X,Y</math> in einem Minkowski-Raum <math>m</math> folgende Relationen:
* <math>X</math> '''liegt zeitlich vor''' <math>Y</math>, in Zeichen <math>X \ll Y</math> (oder <math>X \prec\!\prec Y</math>), wenn <math>Y</math> im Innern des Vorwärts-Lichtkegels von <math>X</math> liegt, d. h. wenn der Vierervektor, der vom Ereignis <math>X</math> zum Ereignis <math>Y</math> zeigt, zeitartig ist. Die Feststellung „liegt zeitlich vor“ ist dann absolut, d. h. alle Beobachter werden dies unabhängig von ihren Bewegungszustand so beobachten. Es gibt dann insbesondere kein Bezugssystem, in dem beide Ereignis am gleichen Ort beobachtet werden.
* <math>X</math> '''geht streng kausal vor''' <math>Y</math>, in Zeichen <math>X {<} Y</math>, wenn der Vierervektor, der von <math>X</math> zu <math>Y</math> zeigt, zeit- oder lichtartig ist. <math>Y</math> liegt im Inneren des Vorwärts-Lichtkegels von <math>X</math>, oder auf dessen [[Kegelmantel|Mantel]]. Genau dann liegt in allen Beobachtersystemen <math>X</math> zeitlich vor <math>Y</math>, so dass eine kausale Beeinflussung von <math>Y</math> durch <math>X</math> möglich ist.
* <math>X</math> '''geht kausal vor''' <math>Y</math>, in Zeichen <math>X \prec Y</math> (oder <math>X \le Y</math>), wenn <math>X {<} Y</math> oder <math>X = Y</math> ist.
* <math>X</math> '''horismos''' <math>Y</math>,<ref name="Penrose1972" /><ref name="Minguzzi2019" /> in Zeichen <math>X \to Y</math> (oder <math>X \nearrow Y</math>), wenn <math>X = Y</math> oder der Vierervektor von <math>X</math> nach <math>Y</math> lichtartig ist.<ref name="Papadopoulos2018" />
* <math>Y</math> liegt im '''Anderswo''' ({{enS|elsewhere}}) von <math>X</math>: Die beiden Ereignisse liegen so weit auseinander und zeitlich so kurz hintereinander, dass selbst ein Lichtstrahl nicht von <math>X</math> nach <math>Y</math> gelangen kann. Mehr, noch: Es gibt dann Bezugssysteme, in denen beide Ereignisse zur selben Zeit stattfinden, und weitere Bezugssysteme, in denen die zeitliche Reihenfolge umgekehrt erscheint. Die beiden Ereignisse können sich gegenseitig nicht beeinflussen, d. h. sind ''kausal unabhängig'' (''nebenläufig''), was eine [[reflexive Relation]] darstellt, die gelegentlich mit <math>X \parallel Y</math> bezeichnet wird (siehe [[Kausalität#Kausalordnung|Kausalität §Kausalordnung]]).

Anmerkungen:
* Um eine leichte Vergleichbarkeit zu gewährleisten, wurde dieselbe Notation verwendet, wie sie für gekrümmte [[Lorentz-Mannigfaltigkeit]]en üblich ist.<ref name="Surya2019"/><ref name="Giulini2017"/> Wegen der ebenen Struktur sind die Verhältnisse hier aber wesentlich einfacher.
* Die Bezeichnung ''horismos'' leitet sich ab von {{grcS|ὁρισμός|de=Festlegung}} und war die Bezeichnung für ein kaiserliches Dekret ([[Byzantinisches Reich]], bekannt seit dem späten 11. Jhd.), es war ein Synonym für [[Prostagma]].<ref name="horismos" />
* Die chronologische Relation <math>X \ll Y</math> und die streng kausale Relation <math>X {<} Y</math> sind [[irreflexiv]] und definieren auf <math>M</math> jeweils eine [[strenge Halbordnung]]. Die kausale Relation <math>X \prec Y</math> alias <math>X \le Y</math> und die horismos-Relation <math>X \to Y</math> alias <math>X \nearrow Y</math> sind [[Reflexive Relation|reflexiv]] und definieren auf <math>M</math> jeweils eine [[Halbordnung|reflexive Halbordnung]].
* Da für alle <math>X, Y \in M</math> die folgenden [[Logische Äquivalenz|logischen Äquivalenzen]] gelten:
::<math>X {<} Y \Leftrightarrow X \le Y \land X \ne Y</math>
:und umgekehrt
::<math>X \le Y \Leftrightarrow X {<} Y \lor X = Y</math>
:kann man sich auf die kausale '''oder''' die streng kausale Ordnung beschränken.

== Inverse Dreiecksungleichung ==
Von überragender Bedeutung für die Relativitätstheorie ist die in Minkowski-Räumen geltende ''inverse Dreiecksungleichung''. Diese besagt, dass die Eigenzeit eines aus zwei zeitartigen Vektoren gleicher Zeitorientierung zusammengesetzten Weges stets größer ist als die Summe der Eigenzeiten der jeweiligen Vektoren. In Formeln: Sind <math>\bold x</math> und <math>\bold y</math> beliebige zeitartige Vektoren mit gleicher Zeitorientierung (d. h. <math>\bold x\cdot\bold y<0</math> bzgl. [[Signatur (Lineare Algebra)#Signatur der Minkowski-Metrik|East Coast convention]]), dann gilt<ref name="Naber"/>
:<math>\tau(\bold x +\bold y)\geq \tau(\bold x)+\tau(\bold y) </math>
Hierbei bezeichnet <math>\tau(\bold{x})=\sqrt{-\bold{x}\cdot\bold{x}}</math> die Eigenzeit für einen zeitartigen Vektor <math>\bold x</math>. Die Ungleichung lässt sich auf beliebige endliche Summen von zeitartigen Vektoren gleicher Zeitorientierung ausdehnen. Die inverse Dreiecksungleichung spielt eine Schlüsselrolle bei der Auflösung des sog. [[Zwillingsparadoxon|Zwillingsparadoxons]]. Sie lässt sich mithilfe der umgekehrten [[Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]] beweisen.

== Theorem von Zeeman ==
Nach einem Theorem von Erik Zeeman (1964) gilt:

Sei <math>M</math> ein Minkowski-Raum der Dimension <math>d</math> mit <math>d {>} 2</math>. Dann bilden die chronologischen [[Automorphismus|Automorphismen]] (d. h. die bzgl. der chronologischen Relation treuen [[Bijektion]]en) eine Gruppe, und diese ist zur Gruppe der inhomogenen Lorentz-Transformationen und Dehnungen isomorph.<ref name="Zeeman1964"/>
Dies besagt, dass die mit <math>M</math> assoziierten physikalischen Invarianten auf natürliche Weise aus der Kausalstruktur <math>(M,\prec)</math> folgen, wobei <math>\prec</math> die oben definierte Kausalbeziehung auf der Ereignismenge <math>M</math> bezeichnet.<ref name="Surya2019"/>

== Siehe auch ==
* [[Minkowski-Diagramm]]
* [[Lorentzsche Mannigfaltigkeit]]

== Anmerkungen ==
<references group="Anm."/>

== Literatur ==
* Francesco Catoni: ''The mathematics of Minkowski space-time.'' Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8613-9.
* John W. Schutz: ''Independent axioms for Minkowski space-time.'' Longman, Harlow 1997, ISBN 0-582-31760-6.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Spezielle Relativitätstheorie}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Naber">
Gregory L. Naber: ''The Geometry of Minkowski Spacetime''; 2. Auflage, Springer Verlag, New York 2012, ISBN 978-1-4419-7837-0
</ref>
<ref name="horismos">
[https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803095944908 Horismos]. Oxford Reference.
</ref>
<ref name="Giulini2017">
Domenico Giulini: [https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/itp/ag/giulini/papers/DPG-Tutorium2017.pdf Globale versus lokale Strukturen von Raum-Zeiten]. Tutorium der AGjDPG, DPG-Frühjahrstagung 2017, Bremen, 13. März 2017.
</ref>
<ref name="Minguzzi2019">
Ettore Minguzzi: [https://link.springer.com/article/10.1007/s41114-019-0019-x Lorentzian causality theory]. In: Living Reviews in Relativity, Band 22, Nr. 3, 3. Juni 2019; [[doi:10.1007/s41114-019-0019-x]].
</ref>
<ref name="Papadopoulos2018">
{{cite journal |first1=Kyriakos |last1=Papadopoulos |first2=Santanu |last2=Acharjee |first3=Basil K. |last3=Papadopoulos |title=The order on the light cone and its induced topology |journal=International Journal of Geometric Methods in Modern Physics |volume=15 |issue=5 |pages=1850069–1851572 |bibcode=2018IJGMM..1550069P |doi=10.1142/S021988781850069X |arxiv=1710.05177 |date=2018-05-01 |language=en}}
</ref>
<ref name="Penrose1972">
[[Roger Penrose]]: [https://www.kfki.hu/~iracz/sgimp/cikkek/cenzor/Penrose_todtir.pdf Techniques of Differential Topology in Relativity]. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM): CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 1972; ISBN 0-89871-005-7, [[doi:10.1137/1.9781611970609]].
</ref>
<ref name="Surya2019">
Sumati Surya: [https://link.springer.com/article/10.1007/s41114-019-0023-1 The causal set approach to quantum gravity]. In: Relativity, Band 22, Nr. 5, 27. September 2019; [[doi:10.1007/s41114-019-0023-1]].
</ref>
<ref name="Zeeman1964">
Erik C. Zeeman: [https://archive.today/20130224064640/http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/5/490/1 Causality implies the Lorentz group]. In: J. Math. Phys., Band 5, Nr. 4, 1964, S. 490–493; [[doi:10.1063/1.1704140]], Epub 22. Dezember 2004.
</ref>
</references>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4293944-6}}

[[Kategorie:Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Topologischer Vektorraum]]
[[Kategorie:Hermann Minkowski als Namensgeber]]
[[Kategorie:Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit]]

Minkowski-Raum - Versionsgeschichte

imported>Ulanwp: Fehlenden Sprachparameter eingefügt