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2024-02-22T15:52:51Z

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] ist das '''Minkowski-Funktional''' (nach [[Hermann Minkowski]]), oft auch '''Eichfunktional''' genannt, eine Verallgemeinerung des [[Norm (Mathematik)|Normbegriffes]].

== Definition ==

Es sei <math>X</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. Ist nun <math>0\in U\subseteq X</math> eine [[absorbierende Menge|absorbierende Teilmenge]], so heißt die Funktion
: <math>p_U\colon X\to\mathbb R_0^+,\quad x\mapsto\inf\{\lambda\mid\lambda\geq0,x\in\lambda U\}</math>
das Minkowski-Funktional oder Eichfunktional zu <math>U</math>.<ref>Reinhold Meise, Dietmar Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'' (= ''Vieweg-Studium.'' 62, ''Aufbaukurs Mathematik.''). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8, Kapitel I, §6, Definition auf Seite 42.
</ref>

== Eigenschaften ==

* Ist die absorbierende Menge <math>U</math> [[ausgewogene Menge|balanciert]] und [[konvexe Menge|konvex]], so ist <math>p_U</math> eine [[Halbnorm]] oder auch ''Seminorm''. Umgekehrt hat für jede Seminorm <math>p</math> die Menge <math>\{x\in X\mid p(x)<1\}</math> die genannten Eigenschaften. Daraus folgt, dass die [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räume]] genau die Räume sind, deren Topologie durch eine Familie von Seminormen definiert werden kann. Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann [[hausdorffsch]], wenn diese Familie von Seminormen separierend ist.

* Ist <math>U</math> eine konvexe, balancierte, [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] Umgebung der Null, so ist das Minkowski-Funktional eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf <math>X</math>, die die vorgegebene Topologie [[Normtopologie|induziert]]. Insbesondere ist nach dem [[Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff]] ein [[Hausdorff-Raum|hausdorffscher]] topologischer Vektorraum genau dann [[Normierbarer Raum|normierbar]], wenn es eine beschränkte konvexe Umgebung der Null gibt.

== Beispiel ==

In einem [[Euklidischer_Raum|euklidischen Raum]] (etwa dem dreidimensionalen Raum der alltäglichen Anschauung) betrachte man als Teilmenge <math>U</math> die [[Einheitskugel]]. Dann ist das Minkowski-Funktional identisch mit der üblichen [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]], denn mit <math>\lambda=\| x \|_2</math> liegt <math>x</math> gerade auf dem Rand der Menge <math>\lambda U</math>, also der Kugel mit Radius <math>\lambda</math> und Mittelpunkt 0.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Hermann Minkowski als Namensgeber]]

Minkowski-Funktional - Versionsgeschichte

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