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2026-03-02T22:53:25Z

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'''Minimale Kopplung''',<ref name="greinerS226" group="greiner">S. 226.</ref> '''minimale Substitution''' oder auch '''Prinzip der minimalen elektromagnetischen Wechselwirkung'''<ref name="rollnik2S235" group="rollnik2">S. 235.</ref> beschreibt ein Prinzip der [[Quantenmechanik]] zur Einführung der [[Elektromagnetische Wechselwirkung|elektromagnetischen Wechselwirkung]] in die Gleichungen [[Freies Teilchen|freier Teilchen]]. Das Prinzip legt die durchzuführende Ersetzung im [[Hamiltonoperator]] eines freien Teilchens fest, um seine Wechselwirkung mit einem [[Elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feld]] zu erreichen. Die Berechtigung dieses Prinzips rührt daraus, dass eine Ankopplung freier Teilchen an Wechselwirkungsfelder nach diesem Prinzip zu [[Eichinvarianz]] der betreffenden Gleichungen führt.<ref group="Schleich" name="Schleich2011">S. 383.</ref>

== Das Prinzip ==
In der [[Quantenmechanik|nichtrelativistischen Quantenmechanik]] wird die Dynamik eines Teilchens durch die [[Schrödingergleichung]]
:<math>i\hbar\frac{\partial\psi(\vec{x},t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(\vec{x},t)</math>
beschrieben. Dabei ist <math>\psi</math> die Wellenfunktion des Teilchens und <math>\hat{H}</math> der [[Hamiltonoperator]]. Für ein freies Teilchen der Masse <math>m</math> ist der Hamiltonoperator als
:<math>\hat{H}=\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}</math>
gegeben, für ein Teilchen in einem [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V</math> dagegen als
:<math>\hat{H}=\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}+V(\vec{x})</math>
mit dem [[Impulsoperator]] <math>\hat{\vec{p}}</math>.

Zur Ankopplung eines geladenen Teilchens an das elektromagnetische Feld werden folgende Ersetzungen in der Schrödingergleichung durchgeführt:

Der [[Impulsoperator]] <math>\hat{\vec{p}}</math> wird durch
:<math>\hat{\vec{p}}\longrightarrow \hat{\vec{p}} - q\vec{A}(\vec{x},t)</math>
ersetzt. Dies entspricht der Ersetzung des kinetischen Impulses durch den [[Kanonischer Impuls|kanonischen Impuls]].<ref group="Schwabl" name="Schwabl2008">S. 130.</ref> Dabei ist die Stärke der Ankopplung des Teilchens an das Feld die [[elektrische Ladung]] <math>q</math> des Teilchens und <math>\vec{A}</math> das [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] des elektromagnetischen Feldes.

Außerdem wird auf der linken Seite der Schrödingergleichung die [[Zeitableitung]] durch
:<math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\longrightarrow i\hbar \frac{\partial}{\partial t}-q\phi(\vec{x},t)</math>
ersetzt, wobei <math>\phi</math> das [[Skalarfeld|Skalarpotential]] des elektromagnetischen Feldes ist.

In der relativistischen Quantenmechanik, deren Analogon der Schrödingergleichung die [[Dirac-Gleichung]] ist, können beide Ersetzungen zu einer einzigen zusammengefasst werden. Im Rahmen des [[Vierervektor|Tensorkalküls]] der Relativitätstheorie werden das Skalarpotential und Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes zu einem [[Viererpotential]] zusammengefasst:
:<math>A^\mu=(\phi/c,\vec{A})^T,\,\mu=0,1,2,3</math>.
Der Impulsoperator ist in der relativistischen Quantenmechanik auch ein [[Vierervektor]], der [[Viererimpuls]]:
:<math>p^\mu=(\hat{E}/c,\hat{\vec{p}})^T,\,\mu=0,1,2,3</math>, <math>\hat{E}</math> ist der Energieoperator.
Das ''Prinzip der minimalen Kopplung'' verlangt nun die Ersetzung
:<math>p^\mu\longrightarrow p^\mu -qA^\mu</math>.
In der [[Ortsdarstellung]] stimmt die minimale Kopplung mit der aufgrund von [[Eichinvarianz]] geforderten [[Kovariante Ableitung|kovarianten Ableitung]] überein,<ref name="rollnik2S235" group="rollnik2" /> obwohl beide Terme auf verschiedene Weisen hergeleitet werden. Der Term der minimalen Kopplung und die damit verbundene Ersetzungsregel entspringt dem Verlangen, die Schrödingergleichung oder Dirac-Gleichung eines freien Teilchens an ein elektromagnetisches Feld zu koppeln. Dagegen entspringt die Ersetzungsregel, dass alle partiellen Ableitungen durch die kovariante Ableitung ersetzt werden sollen, dem Verlangen nach einer eichinvarianten Bewegungsgleichung. Es stellt sich heraus, dass beide Ersetzungsregeln identisch sind. Im Abschnitt [[#Eichfreiheit im Sinne der Eichfeldtheorie (Herleitung der Minimalen Kopplung)|Eichfreiheit im Sinne der Eichtheorie]] wird skizziert, wie die Forderung nach Eichinvarianz die Ankopplung der freien Gleichung an ein Wechselwirkungsfeld fordert und somit die kovariante Ableitung zu Tage fördert. Man beobachtet, dass die dort hergeleitete ''kovariante Ableitung'' genau der ''minimalen Kopplung'' entspricht. Im Abschnitt [[#Kovariante Ableitung|Kovariante Ableitung]] wird skizziert, warum beide Ersetzungsregeln identisch sein müssen.

== Klassische Mechanik ==
In der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] wird die Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung <math>q</math> und [[Masse (Physik)|Masse]] <math>m</math> im elektromagnetischen Feld mit der [[Hamilton-Funktion]]
:<math>H=\frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}\right)^2 +q\phi</math>
beschrieben, die sich ausgehend von der [[Lorentzkraft]] herleiten lässt.<ref name="greinerS232-S234" group="greiner">S. 232-S. 234.</ref> Dabei werden das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] <math>\vec{E}(\vec{x},t)</math> und das [[Magnetisches Feld|magnetische Feld]] <math>\vec{B}(\vec{x},t)</math>, wie in der [[Elektrodynamik]] üblich, durch die Potentiale <math>\phi(\vec{x},t)</math> und <math>\vec{A}(\vec{x},t)</math> beschrieben:
:<math>\vec{E}=-\nabla\phi -\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}</math>,
:<math>\vec{B}=\nabla \times \vec{A}</math>.

Zu dieser Hamilton-Funktion gelangt man auch von der Hamilton-Funktion eines freien Teilchens (freies Teilchen bedeutet verschwindendes Potential <math>V=0</math>, <math>E</math> ist die Gesamtenergie, <math>T</math> die [[kinetische Energie]])
:<math>H=E=T+V=\frac{\vec{p}^2}{2m}</math>.
Die Ersetzungen
:<math>\vec{p}\longrightarrow \vec{p}-q\vec{A}</math>,
:<math>E\longrightarrow E-q\phi</math>,
führen genau auf die Hamilton-Funktion eines klassischen geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld.<ref group="Blöchl" name="regensburg">S. 1ff.</ref> Diese Ersetzungen entsprechen den oben für die Quantenmechanik angegebenen Ersetzungen. Die erste Ersetzung ist dieselbe wie in der quantenmechanischen Version. Die zweite Ersetzung entspricht auch gerade der zweiten Ersetzung für die Quantenmechanik, da in der zeitabhängigen Schrödingergleichung der Energieoperator <math>\hat{E}</math> gerade <math>i\hbar\partial_t</math> ist.

Eine Motivation der minimalen Kopplung ist, dass sie zur Eichinvarianz im Sinne der klassischen Elektrodynamik in den [[Bewegungsgleichungen]], die sich aus den [[Hamiltonsche Gleichungen|Hamiltonschen Gleichungen]] ergeben, führt. Die Hamilton-Funktion selbst ist dagegen in diesem Sinne nicht eichinvariant.<ref name="greinerS232" group="greiner">S. 232.</ref>

=== Eichfreiheit im Sinne der klassischen Elektrodynamik ===
Man spricht von [[Eichfreiheit]], wenn sich die [[Potential (Physik)|Potentiale]] <math>\phi</math> und <math>\vec{A}</math> frei wählen lassen, ohne dass sich die Bewegungsgleichungen des Teilchens ändern. Anders ausgedrückt: Die resultierende Kraft auf das Teilchen darf durch Umeichen der Potentiale nicht verändert werden. Die Kraft auf geladene Teilchen aufgrund von elektromagnetischen Feldern ist die Lorentzkraft <math>\vec{F}_L</math>.
:<math>\vec{F}_L=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}</math>
Man darf nun solche Eichungen <math>\phi\longrightarrow \phi'</math> bzw. <math>\vec{A}\longrightarrow\vec{A}'</math> der Potentiale durchführen, die die Lorentzkraft nicht ändern, es muss also <math>\vec{F}_L=\vec{F}_L'</math> gelten.
Es stellt sich heraus, dass folgende Eichungen die Bewegungsgleichungen invariant lassen:
:<math>\vec{A}'=\vec{A}+\nabla f</math>
:<math>\phi'=\phi-\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}</math>
mit einer beliebigen [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Funktion <math>f(\vec{x},t)</math>.

Wählt man die [[Weyl-Eichung]],<ref name="Bemerkung1" group="Bemerkungen">Im Englischen auch „temporal gauge“ genannt: [[:en:Gauge fixing#Weyl gauge|Artikel in der engl. Wikipedia]].</ref> also eine Eichung, in der das skalare Potential immer verschwindet,
:<math>f(\vec{x})=\int\phi((\vec x),t)\mathrm{d}t</math>,
so muss nur die erste Ersetzung auf die Hamilton-Funktion eines freien Teilchens zur Ankopplung an das elektromagnetische Feld durchgeführt werden.

== Schrödingergleichung ohne Spin ==
Die [[Schrödingergleichung]] eines freien Teilchens ohne Spin lautet
:<math>i\hbar\frac{\partial\psi(\vec{x},t)}{\partial t}=\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}\psi(\vec{x},t)</math>.
Der Hamiltonoperator des freien Teilchens ist demnach <math>\hat{H}=\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}</math>.
Anwenden des Prinzips der minimalen Kopplung führt auf den Hamiltonoperator eines geladenen Teilchens ohne Spinterm im magnetischen Feld bzw. im elektromagnetischen Feld, unter Hinzunahme der Weyl-Eichung
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}\left(\hat{\vec{p}}-q\vec{A}\right)^2</math>.

=== Eichfreiheit im Sinne der Eichfeldtheorie (Herleitung der Minimalen Kopplung) ===
Alle messbaren physikalischen Größen sind nur vom [[Betragsquadrat]] der [[Wellenfunktion]] <math>|\psi|^2=\psi\psi^*</math> abhängig.<ref name="greinerS228" group="greiner">S. 228.</ref> Daher ist die Wellenfunktion nur bis auf einen ortsabhängigen Phasenfaktor <math>e^{i\chi(\vec{x},t)}</math> bestimmt. Die Zustände in der Quantenmechanik besitzen also ein frei wählbares [[Eichtheorie|Eichfeld]] <math>\chi(\vec{x},t)</math>. Berechnet man aber die freie Schrödingergleichung mit einer umgeeichten Wellenfunktion <math>\psi'=\psi e^{i\chi(\vec{x},t)}</math> (es ist also <math>|\psi'|^2=\psi e^{i\chi(\vec{x},t)} \psi^* e^{-i\chi(\vec{x},t)}=\psi\psi^*=|\psi|^2</math>), so bleibt die Schrödingergleichung nicht forminvariant.<ref name="Amsler2007" group="amsler">S. 170.</ref>

Schreibt man dagegen den Hamiltonoperator mit der minimalen Kopplung, so bleibt die Schrödingergleichung unter Eichung der Phase invariant. Dies nennt man [[Kovarianz (Physik)|Kovarianz]]. Die Forderung nach lokaler Eichfreiheit der Phase macht die Existenz der elektromagnetischen Felder daher zwingend notwendig. Theorien, in denen Wechselwirkungsfelder aufgrund von Invarianzen unter bestimmten Transformationen (hier lokale Phasentransformation) automatisch generiert werden, heißen [[Eichfeldtheorie]]n. Außerdem ist der Hamiltonoperator nun auch forminvariant unter Eichung der elektromagnetischen Potentiale. Die Ersetzung des Impulsoperators <math>\hat{\vec{p}}=\frac{\hbar}{i}\nabla</math> durch <math>\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}</math> wird auch kovariante Ableitung genannt, da das Ersetzen der gewöhnlichen Ableitung (Impulsoperator) durch eine veränderte Ableitung (kovariante Ableitung) zur Forminvarianz der Schrödingergleichung führt. Die Verwandtschaft zur kovarianten Ableitung aus der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] wird im Abschnitt [[#Kovariante Ableitung]] erklärt.

Betrachtet man nun den Hamiltonoperator <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}\left(\hat{\vec{p}}-q\vec{A}\right)^2</math> mit eingefügter minimaler Kopplung<ref group="Bemerkungen" name="Weyl-Eichung">Unter Verwendung der Weyl-Eichung, andernfalls müsste man noch die linke Seite der Schrödingergleichung nach dem Prinzip der minimalen Kopplung ersetzen.</ref> und den gleichen Hamiltonoperator <math>\hat{H}'</math> bloß mit umgeeichtem Vektorpotential <math>\vec{A}'=\vec{A}+\nabla \chi</math>, so führt die gestrichene Schrödingergleichung
:<math>\hat{H}'\psi'=i\hbar\frac{\partial \psi'}{\partial t}</math>
auf die ungestrichene Schrödingergleichung
:<math>\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}</math>.<ref name="greinerS228" group="greiner" />
Beide Eichtransformationen heben sich also gegeneinander auf, so dass die Schrödingergleichung geschrieben mit kovarianter Ableitung forminvariant unter Eichtransformation der Potentiale und der Wellenfunktionen ist.

== Schrödingergleichung mit Spin ==
Das Prinzip der minimalen Kopplung führt erst in der [[Relativistische Quantenmechanik|relativistischen Quantenmechanik]] (also bei Anwendung auf die [[Dirac-Gleichung]]) zu der quantitativen Kopplung zwischen geladenen Teilchen und elektromagnetischem Feld, die bislang experimentell nachgewiesen wurde. In der „klassischen“ Schrödingergleichung fehlt noch der Anteil der Wechselwirkung zwischen Elektron und Licht, der vom [[Spin]] des Elektrons abhängt. Um diesen Spin-Anteil auch in der nicht relativistischen Quantenmechanik über das Prinzip der minimalen Kopplung einzuführen, kann man einen Trick anwenden.<ref name="rollnik2S235" group="rollnik2">S. 235.</ref>
Für die [[Pauli-Matrizen]] <math>\mathbf{\sigma}</math> gilt für jede beliebige Matrix <math>\mathbf{a}</math>: <math>(\mathbf{\sigma}\mathbf{a})^2=\mathbf{a}^2</math>. Nun modifiziert man den freien Hamiltonoperator in der Schrödingergleichung mit dieser „versteckten“ Pauli-Matrix
:<math>\frac{1}{2m}\hat{\vec{p}}^2=\frac{1}{2m}(\mathbf{\sigma}\hat{\vec{p}})^2</math>.
Wenn man nun das Prinzip der minimalen Kopplung auf diesen modifizierten freien Hamiltonoperator anwendet, so erhält man
:<math>\hat{H}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\mathbf{\sigma}\left(\nabla-\frac{iq}{\hbar}\vec{A}\right)\right)^2</math>.
Ausmultiplizieren unter Beachtung der Reihenfolge sowie der Verwendung der oben angegebenen Definition des Magnetfeldes <math>\vec{B}</math> ergibt
:<math>\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla-\frac{iq}{\hbar}\vec{A}\right)^2-\frac{q\hbar}{2m}\mathbf{\sigma}\cdot\vec{B}</math>.
Dies entspricht der [[Pauli-Gleichung]], die die Dynamik eines nicht relativistischen Spin-1/2-Teilchens mit Ladung <math>q</math> und Masse <math>m</math> in einem elektromagnetischen Feld (ohne skalares Potential) beschreibt.

== Dirac-Gleichung ==
Die freie [[Dirac-Gleichung]] lautet unter Verwendung der [[Dirac-Matrizen]] <math>\gamma^\mu</math>
:<math>\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar}\right)\psi(x)=0</math>
und ist [[Lorentzinvarianz|lorentzinvariant]]. Genauso wie im Fall der Schrödingergleichung ist die Gleichung aber unter Phasentransformation nicht eichinvariant. Einfügen der minimalen Kopplung in der Vierervektorschreibweise, also
:<math>\partial_\mu\rightarrow\partial_\mu+\frac{iq}{\hbar c}A_\mu</math>
mit <math>A_\mu = (A_0,A_1,A_2,A_3)=(\phi, -A_x,-A_y,-A_z)</math>, führt auf die relativistisch kovariante Form der Dirac-Gleichung mit angekoppeltem elektromagnetischem Feld.<ref name="Schwabl2008" group="Schwabl" />
:<math>\left(i\gamma^\mu\left(\partial_\mu+\frac{iq}{\hbar c}A_\mu\right)-\frac{mc}{\hbar}\right)\psi(x)=0</math>
:<math>D_\mu:=\partial_\mu+\frac{iq}{\hbar c}A_\mu</math>
wird auch [[kovariante Ableitung]] genannt, da das Ersetzen der „normalen partiellen Ableitung“ durch die „kovariante Ableitung“ zur [[Kovarianz (Physik)|Kovarianz]] bzgl. Eichtransformationen der betreffenden Gleichung führt.

== Dipolnäherung ==
Die Hamilton-Funktion für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld und einem Potential <math>V</math> ist durch
:<math>H=\frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}(\vec{x},t)\right)^2+q\phi(\vec{x},t)+V(\vec{x})</math>
gegeben. Diese Hamilton-Funktion beschreibt ein klassisches geladenes Teilchen in einem Potential. Die quantenmechanische Version (Übergang von der Hamilton-Funktion zum Hamiltonoperator) würde ein einzelnes Elektron gebunden an ein Atom (Wasserstoffatom) beschreiben. Der Einfachheit halber soll aber im folgenden Abschnitt die Dipolnäherung an der klassischen Hamilton-Funktion gezeigt werden.

Die Hamilton-Funktion kann in zwei Teile aufgeteilt werden. Ein Teil beschreibt das System (Elektron im Potential) selbst und der andere seine Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld.
:<math>H_0=\frac{\vec{p}^2}{2m}+V(\vec{x})</math>,
:<math>H_{WW}=-\frac{q}{2m}(\vec{p}\cdot\vec{A}(\vec{x},t)+\vec{A}(\vec{x},t)\cdot\vec{p})+\frac{q^2}{2m}\vec{A}^2(\vec{x},t)+q\phi(\vec{x},t)</math>.

Betrachtet man nun die Situation in einem elektromagnetischen Feld in der [[Strahlungseichung]] (<math>\phi=0</math>,<math>\nabla\vec{A}=0</math> und daher <math>[\vec{A},\hat{\vec{p}}]=0</math>)<ref group="Hertel" name="HertelHertel2008">S. 478–482.</ref> und berücksichtigt nur die Kopplung in [[Taylorentwicklung|linearer Ordnung]] mit <math>\vec{A}</math>, so erhält man
:<math>H_{WW}=-\frac{q}{m}\vec{p}\cdot\vec{A}(\vec{x},t)</math>.
Das Vektorpotential kann außerdem als <math>\vec{A}(\vec{x},t)\approx\vec{A}(t)</math> angenähert werden. Solange die charakteristische Wellenlänge <math>\lambda=2\pi k^{-1}</math> des elektromagnetischen Feldes sehr viel größer als die Ausdehnung des Atoms ist, kann das Vektorpotential als räumlich nahezu homogen über die Ausdehnung des Atoms angesehen werden. Schreibt man den kanonischen Impuls als kinetischen Impuls <math>\vec{p}=m\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t}</math>, so folgt<ref group="Ehlotzky" name="Ehlotzky2004">S. 306.</ref>
:<math>H_{WW}=-q\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{A}(t)=-q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\vec{x}\vec{A}(t)\right]+q\vec{x}\frac{\mathrm{d}\vec{A}(t)}{\mathrm{d}t}</math>.
In der [[Dipolnäherung]] ist das elektrische Feld <math>\vec{E}(t)</math> als <math>\vec{E}(t)=-\frac{\mathrm{d}\vec{A}(t)}{\mathrm{d}t}</math> gegeben. Dies führt auf
:<math>H_{WW}=-q\vec{x}\cdot\vec{E}(t)-q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\vec{x}\vec{A}(t)\right]</math>.
Der letzte Term kann weggelassen werden, da die Hamilton-Funktion nur bis auf die totale zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion bestimmt ist. Schließlich ergibt sich die Wechselwirkungs-Hamilton-Funktion für ein gebundenes geladenes Teilchen in der ''Dipolnäherung'' zu
:<math>H_{WW}=-q\vec{x}\cdot\vec{E}(t)</math>.
Dieses Ergebnis wurde aus dem ''Prinzip der minimalen Kopplung'' hergeleitet und wird auch in seiner quantenmechanischen Entsprechung (hier klassische Herleitung) der [[Quantenelektrodynamik]] verwendet. Ein häufig verwendeter Name für diese Wechselwirkung ist auch „<math>E\cdot r</math>-Hamiltonian“, sprich „E mal r Hamiltonian“, da für die Ortskoordinate <math>x</math> häufig <math>r</math> verwendet wird.<ref group="Schleich" name="Schleich2">S. 389.</ref> Man kann noch den [[Dipoloperator]]
:<math>\vec{d}=q\vec{x}</math>
definieren (in Analogie eines [[Elektrischer Dipol|elektrischen Dipols]]). Damit ist offensichtlich, dass das Feld in der Dipolnäherung nur an das [[Elektrisches Dipolmoment|Dipolmoment]] des Wasserstoffatoms ankoppelt. Allgemein kann obige Prozedur auch für Atome mit mehr als einem Elektron durchgeführt werden.

== Multipolare Kopplung und Power-Zienau-Woolley-Transformation ==
Allgemein lässt sich der Minimale-Kopplungs-Hamiltonoperator mit der [[Unitärer Operator|unitären]] [[Power-Zinau-Woolley-Transformation]] in die äquivalente Darstellung des ''Multipolare-Kopplungs-Hamiltonoperators'' bringen. Hier ist das elektromagnetische Feld über das Vektorpotential an die [[Polarisation]] und [[Magnetisierung]] angekoppelt. Durch diese Form des Wechselwirkungs-Hamiltonoperator können Licht-Materie-Wechselwirkungen von [[Dielektrikum|Dielektrika]] beschrieben werden.

== Allgemeine Relativitätstheorie ==
In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] bezeichnet der Terminus ''Prinzip der minimalen Kopplung'' ein leicht verändertes Prinzip. Die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einsteinschen Feldgleichungen]] im Vakuum können aus einer [[Lagrange-Dichte]] der Form
:<math>L_{Vac}=a\sqrt{g}R</math>
mit der [[Metrischer Tensor|Metrik]] <math>g</math>, dem [[Krümmungsskalar]] <math>R</math> und einer Konstanten <math>a</math> hergeleitet werden. Die Ankopplung an andere Felder (z. B. elektromagnetisches Feld) soll nun über die Addition einer passenden Wechselwirkungs-Lagrange-Dichte <math>L_{WW}</math> erreicht werden. Die Dekomposition der Lagrange-Dichte in <math>L_{total}=L_{Vac}+L_{WW}</math> wird ''Prinzip der minimalen gravitativen Kopplung'' genannt.<ref group="Anderson" name="Anderson">S. 1ff.</ref>

== Kovariante Ableitung ==
Ein Prinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie ist das [[Relativitätsprinzip#Allgemeines Relativitätsprinzip|Kovarianzprinzip]], welches besagt, dass Gleichungen, die in der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] gültig und daher [[Lorentzinvarianz|lorentzinvariant]] sind, durch Ersetzung der partiellen Ableitungen <math>\frac{\partial F^\alpha}{\partial x^\mu}</math> durch die [[kovariante Ableitung]] <math>D_{ART,\mu} F^\alpha=\frac{\partial F^\alpha}{\partial x^\mu}+\Gamma^\alpha_{\sigma\mu}F^\sigma</math> zu allgemein koordinatenunabhängigen Gleichungen (allgemein kovariant) werden. Mathematisch gesehen entspricht diese kovariante Ableitung dem [[Levi-Civita-Zusammenhang]]. Dies ist der [[Zusammenhang]] auf dem [[Tangentialbündel|Tangentialvektorbündel]] einer [[Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit|Semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit]]. Einerseits führt die kovariante Ableitung zu kovarianten (forminvariant unter Koordinatenwechsel) Gleichungen, andernfalls definiert die kovariante Ableitung den [[Paralleltransport]] von [[Tensor]]en in gekrümmten Räumen.

In der [[Eichfeldtheorie]] (z. B. alle Theorien bzgl. der fundamentalen Wechselwirkungen im [[Standardmodell]] der Teilchenphysik) unterliegen die Wellenfunktionen der Teilchen bestimmten Symmetrien. Diese Symmetrien manifestieren sich in der Invarianz der Lagrange-Dichte der Theorie auf die Wirkung einer Gruppe <math>G</math> (im Fall der Schrödingergleichung <math>U(1)</math>). Die Wellenfunktionen sind auf einer [[Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> definiert. Beide Strukturen <math>M</math> und <math>G</math> werden in der modernen [[Differentialgeometrie]] zu einer einheitlichen Struktur P(M,G), dem [[Hauptfaserbündel]] zusammengefasst. Ein Hauptfaserbündel ist eine Mannigfaltigkeit, an dem für jeden Punkt <math>x</math> von <math>M</math> eine Kopie der [[Strukturgruppe]] <math>G(x)</math> angeheftet ist. Diese Kopien werden [[Faser (Mathematik)|Fasern]] genannt, und die [[Darstellung (Mathematik)|Darstellung]] <math>\phi(x)</math> von Gruppenelementen aus verschiedenen Fasern sind in disjunkten Vektorräumen beheimatet. Da <math>\phi(x)</math> und <math>\phi(x+\mathrm{d}x)</math> in verschiedenen Räumen liegen, kann erst nach der Definition eines Zusammenhangs auf dem Hauptfaserbündel eine Ableitung gebildet werden. Die Ersetzung der partiellen Ableitung durch die minimale Kopplung ist gerade die kovariante Ableitung (Zusammenhang in Koordinaten) in diesem Fall. So wie im Fall der ART die Christoffelsymbole die Krümmung des Raumes bestimmen (und die Christoffelsymbole hängen von der Metrik ab), so bestimmt im Fall der Eichfeldtheorien das Viererpotential die Krümmung.
Der [[Krümmungstensor]] ergibt sich in beiden Fällen aus dem [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] der kovarianten Ableitung.

== Herkunft der Bezeichnung ==
Die [[Lagrange-Dichte]] des elektromagnetischen Feldes mit minimaler Kopplung lautet:
:<math>\mathcal{L}=\mathcal{L}_{rad}+\mathcal{L}_{WW}=-\frac{1}{16\pi}F^{\nu\mu}F_{\nu\mu}-\frac{1}{c}A_\mu j^\mu</math>.
Dabei ist der erste Teil der kinetische Term mit dem [[Feldstärketensor]] <math>F^{\mu\nu}</math> und der zweite Term die Ankopplung des Feldes an den „geladenen Strom“ – die geladene Materie, gemäß dem Prinzip der minimalen Kopplung. Der Zusammenhang mit der in der Einleitung beschriebenen Prozedur der minimalen Kopplung wird im folgenden erklärt.

Der Name ''minimale'' Kopplung rührt daher, da es die einfachste Verknüpfung von Ladungsstromdichte <math>j^\mu</math> und elektromagnetischem Feld <math>A^\mu</math> darstellt, die folgende Bedingungen erfüllt:<ref name="ReiherWolf2009" group="ReiherWolf">S. 95.</ref>
* Erhält [[Lorentzinvarianz]] der freien Gleichung
* [[Eichinvarianz]]
* Koppelt elektromagnetisches Feld <math>A^\mu</math> an geladene Materie <math>j^\mu</math>
Außerdem führt genau diese minimale Kopplungsprozedur auf eine eichinvariante [[Wirkung (Physik)|Wirkung]].

Die obige Darstellung der minimalen Kopplung in der Lagrange-Dichte entspricht genau der in der Einleitung geschilderten Prozedur für ein punktförmig geladenes Teilchen. Dazu betrachtet man die [[Viererstrom]]dichte eines punktförmigen Teilchens:
:<math>j=(j^\mu)=(c\rho,\vec{j})=q\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_1(t))(c,\vec{v})=qc\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_1(t))\gamma(c,\vec{v})\frac{1}{\gamma c}=qc\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_1(t)) u \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}x^0}</math>.
Dabei wurden die üblichen Symbole aus der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] verwendet: <math>\rho</math> ist die [[Ladungsdichte]], <math>\delta^{(3)}</math> die [[Dirac-Delta|Diracsche Deltafunktion]] in 3 Dimensionen, <math>v</math> die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens, <math>\gamma</math> der [[Lorentzfaktor]], <math>u</math> die [[Vierergeschwindigkeit]] und <math>\tau</math> die [[Eigenzeit]]. Daraus folgt:
<math>j=cq\int\mathrm{d}\tau\delta^{(4)}(x-x_1(\tau))u(\tau)</math>.
Setzt man das nun in die Wirkung <math>S_{WW}</math> der Wechselwirkungs-Lagrange-Dichte <math>\mathcal{L}_{WW}</math> ein, so ergibt sich:
:<math>S_{WW}=-\frac{1}{c^2}\int\mathrm{d}x^4 A_\mu(x) j^\mu(x)</math>
:<math>=-\frac{q}{c}\int\mathrm{d}x^4 A_\mu(x)\int\mathrm{d}\tau\delta^{(4)}(x-x_1(\tau))u^\mu(\tau)</math>
:<math>=-\frac{q}{c}\int\mathrm{d}\tau A_\mu(x_1(\tau))u^\mu(\tau)</math>
Schreibt man nun das Skalarprodukt der beiden Vierervektoren aus, so ergibt sich:
:<math>S_{WW}=\int\mathrm{d}t\left(-q\phi(\vec{x}_1,t)+q\vec{v}_1\cdot \vec{A}(\vec{x}_1,t)\right)=:\int\mathrm{d}t L_{WW}</math>.
Um die gesamte Lagrange-Dichte <math>L</math> zu erhalten, muss noch der kinetische Teil für ein Teilchen der Masse <math>m</math> hinzugefügt werden:
:<math>L=\frac{m}{2}\vec{v}_1^2-q\phi(\vec{x}_1,t)+q\vec{v}_1\cdot \vec{A}(\vec{x}_1,t)</math>.
Der [[Kanonischer Impuls|kanonische Impuls]] ergibt sich aus <math>\vec{p}=\nabla_{\vec{v}_1} L</math> zu
:<math>\vec{p}=m\vec{v}_1+q\vec{A}</math>.
Der kinetische Impuls ist demnach <math>\vec{\pi}=m\vec{v}_1=\vec{p}-q\vec{A}</math>. Dieses Ergebnis entspricht genau der Ersetzung die bei der Einführung der minimalen Kopplung in die Lagrange-Dichte bzw. Hamilton-Funktion eines freien Teilchens durchgeführt wird. Wie in der Einleitung beschrieben wird der kanonische Impuls <math>\vec{p}=\vec{\pi}_{frei}</math>, der dem kinetischen Impuls eines freien Teilchens entspricht, durch den kinetischen Impuls eines Teilchens im elektromagnetischen Feld ersetzt: <math>\vec{p}\rightarrow \vec{\pi}</math>.

Die Wechselwirkungs-Lagrange-Dichte <math>\mathcal{L}_{WW}=\frac{1}{c}A^\mu j_\mu</math> führt also genau auf das Ergebnis, das durch die in der Einleitung angegebene Prozedur vorausgesetzt wird, und erklärt die Bezeichnung der Kopplungsprozedur.

== Bemerkungen ==
<references group="Bemerkungen" />
== Einzelnachweise ==
* Greiner, ''Quantenmechanik Teil 1. Einführung'', Verlag Harri Deutsch (1989), ISBN 3-8171-1064-2
<references group="greiner" />
* Rollnik, ''Quantentheorie 2'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (2003), ISBN 3-540-43717-7
<references group="rollnik2" />
*{{cite book|author=[[Claude Amsler]]|title=Kern- und Teilchenphysik|url=http://books.google.com/books?id=eKGVz67GLp0C&pg=PP1|date=1. März 2007|publisher=vdf Hochschulverlag AG|isbn=978-3-8252-2885-9 |language=de}}
<references group="amsler" />
*{{cite book|author=Ingolf H. Hertel, Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz|title=Atome, Moleküle und optische Physik 1|url=http://books.google.com/books?id=QQgctjx_YWMC&pg=PA481|date=2008-03-05|publisher=Springer|isbn=978-3-540-30613-9}}
<references group="Hertel" />
* [http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/keller/qua2/qm2inh.ps Theoretische Physik II (Elektrodynamik), Skript von P. Blöchl]
<references group="Blöchl" />
*{{cite book|author=Fritz Ehlotzky|title=Quantenmechanik und ihre Anwendungen|url=http://books.google.com/books?id=gnfO3eqIXCoC&pg=PA306|date=15. September 2004|publisher=Springer|isbn=978-3-540-21450-2 |language=de}}
<references group="Ehlotzky" />
*{{cite book|author=Franz Schwabl|title=Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II)|url=http://books.google.com/books?id=8ecFrbdLm6cC&pg=PA130|date=16. September 2008|publisher=Springer|isbn=978-3-540-85075-5 |language=de}}
<references group="Schwabl" />
* I. Anderson, ''The principle of minimal gravitational coupling'', Archive for Rational Mechanics and Analysis, Volume 75, Issue 4, Springer (1981), {{DOI|10.1007/BF00256383}}
<references group="Anderson" />
*{{cite book|author=Wolfgang P. Schleich|title=Quantum Optics in Phase Space|url=http://books.google.com/books?id=2jUjQPW-WXAC&pg=PA383|date=16. Februar 2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-3-527-63500-9 |language=en}}
<references group="Schleich" />
*{{cite book|author=Markus Reiher, Alexander Wolf|title=Relativistic Quantum Chemistry: The Fundamental Theory of Molecular Science|url=http://books.google.com/books?id=YwSpxCfsNsEC&pg=PA95|date=2. Juni 2009|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-3-527-62749-3 |language=en}}
<references group="ReiherWolf" />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Minimale Kopplung - Versionsgeschichte

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