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2025-09-03T17:13:11Z

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Das '''Milstein-Verfahren''' der [[Stochastische Analysis|stochastischen Analysis]] bezeichnet eine Methode für die [[Numerische Mathematik|numerische Lösung]] von [[Stochastische Differentialgleichung|stochastischen Differentialgleichungen]] (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker [[Grigori Noichowitsch Milstein]] ([[Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets]]).

==Algorithmus==

Betrachte die [[Itō Kiyoshi|Itō]]-SDGL

:<math>\mathrm{d} X_{t} = a(X_{t}) \, \mathrm{d} t + b(X_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},</math>

mit Anfangsbedingung <math>X_{0} = x_{0}</math>, wobei <math>W_{t}</math> den [[Wiener-Prozess]] bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall <math>[0, T]</math> gefunden werden, so erhält man durch das '''Milstein-Verfahren''' eine Approximation <math>Y</math> für die wahre Lösung <math>X</math> auf einem äquidistanten Gitter:

* Zerlege das Intervall <math>[0, T]</math> in <math>N</math> gleich lange Teilintervalle der Länge <math>\delta > 0</math>:

:<math>0 = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_{N} = T</math> und <math>\delta = \tfrac{T}{N}</math>.

* Setze <math>Y_0 := x_{0}</math>.

* Definiere <math>Y_{n+1}</math> für <math>0 \leq n < N</math> durch

:<math>Y_{n + 1} := Y_{n} + a(Y_{n}) \delta + b(Y_{n}) \Delta W_{n} + \frac{1}{2} b(Y_{n}) b'(Y_{n}) \left( (\Delta W_{n})^{2} - \delta \right),</math>

wobei

:<math>\Delta W_{n} = W_{\tau_{n + 1}} - W_{\tau_{n}}</math>

und <math>b'</math> die [[Differentialrechnung#Definition|Ableitung]] von <math>b(x)</math> bezüglich <math>x</math> ist. Beachte, dass die [[Zufallsvariable]]n <math>\Delta W_{n}</math> [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängig]] [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind mit [[Erwartungswert]] 0 und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\delta</math>.

==Konvergenz==
Mit den obigen Bezeichnungen gilt <math>E[|Y_n-X(\tau_n)|] = \hbox{o}(\delta)\;</math> für <math>\delta \to 0</math> und alle <math>n = 0, ..., N</math>, weshalb man von ''Konvergenz erster [[Konvergenzordnung|Ordnung]]'' spricht. <math>\hbox{o}</math> ist dabei ein [[Landau-Symbol]].

==Siehe auch==
* [[Euler-Maruyama-Verfahren]]

== Literatur ==

* {{cite book | author=Peter E. Kloeden, [[Eckhard Platen]] | title=Numerical Solution of Stochastic Differential Equations | publisher=Springer, Berlin | year=1999 | isbn=3-540-54062-8 |language=en }}

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]

Milstein-Verfahren - Versionsgeschichte

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