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2018-09-01T09:17:57Z

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[[Datei:Millertheorem.svg|miniatur|right|Zweipol-Schaltbild]]
Das '''Millertheorem''', benannt nach [[John Milton Miller]], behandelt die Zerlegung von [[Impedanz]]en in elektrischen [[Netzwerk (Elektrotechnik)|Netzen]]. Gibt es zwei Netze ([[Zweipol]]e) die über eine reale Impedanz ''Z'' verbunden sind, so kann diese Impedanz virtuell so zerlegt werden, dass beide Netze getrennt betrachtet werden können. Das Millertheorem ist die Verallgemeinerung des [[Millereffekt]]s.

Die Zerlegung in ''Z''1 und ''Z''2 ist dann korrekt, wenn beide Netze nach der Zerlegung die gleichen Impedanzen sehen wie vorher.

Die beiden Spannungen sind über die Verstärkung

:<math>M = \frac{U_2}{U_1}</math>

verknüpft, womit sich dann für die zerlegten Impedanzen ''Z''1 und ''Z''2:

:<math>Z_1 = Z \frac {1} {1-M}</math>

:<math>Z_2 = Z \frac{M}{M-1}</math>

ergibt.

Zu beachten ist, dass bei einer Verstärkung ''M'' größer eins die Impedanz ''Z''1 negativ ist, wenn ''Z'' positiv ist. Bei einem invertierenden Verstärker ''M'' kleiner minus −1 verringert sich die Impedanz ''Z''1 im Vergleich zu ''Z'' deutlich.

== Herleitung ==
Die Spannung ''U''Z über die Impedanz ''Z'' ergibt sich aus der Differenz der Klemmenspannungen, wobei die Substitution durch ''M'' die aufgeführte Umwandlung ergibt.

:<math>I = \frac{U_Z}{Z} = \frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_1}{Z}\left(1 - \frac{U_2}{U_1} \right) = \frac{U_1}{Z}(1 - M)</math>

Gleichzeitig gilt für die „gesehene“ Impedanz ''Z''1:
:<math>I = I_1 = \frac{U_1}{Z_1}</math>

Durch Gleichsetzen folgt:
:<math>\frac{U_1}{Z_1} = \frac{U_1}{Z}(1 - M)</math>

und durch Äquivalenzumformung ergibt sich schließlich:

:<math>Z_1 = \frac{Z}{1-M}</math>.

Analog gilt für die „gesehene“ Impedanz Z2:
:<math>I = \frac{U_Z}{Z} = \frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_2}{Z}\left( \frac {U_1}{U_2} - 1 \right)=
\frac{U_2}{Z}\left( \frac {1}{M} - 1 \right) = \frac{U_2}{Z}\frac{1}{M} \left( 1-M \right)</math>

:<math>I = -1\cdot I_2 = -1 \cdot \frac{U_2}{Z_2}</math>

:<math>-1 \cdot \frac{U_2}{Z_2}=\frac{U_2}{Z}\frac{\left( 1-M \right)}{M}</math>

:<math>Z_2 = Z \frac{M}{M-1}</math>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Richard C. Li
|Titel = RF Circuit Design
|Verlag = Wiley | Auflage = 2. | Jahr = 2012 | ISBN = 978-1-11812849-7 | Sammelwerk = Information and Communication Technology }}

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Millertheorem - Versionsgeschichte

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