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[[Datei:Miller Indices Felix Kling.svg|mini|Auswahl millerscher Indizes in einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]]]
Die '''millerschen Indizes''' der [[Kristallographie]] (auch '''Miller’sche Indizes''' oder seltener '''Miller-Indizes''') wurden im Jahr 1839 von [[William Hallowes Miller]] (1801–1880) vorgeschlagen.<ref>{{Literatur |Autor=[[William Hallowes Miller]] |Titel=A treatise on crystallography |Verlag=Deighton |Ort=Cambridge |Jahr=1839 |Sprache=en |Online={{Google Buch|BuchID=MDcAAAAAQAAJ |Linktext=Volltext}} |OCLC=8547577 |LCCN=04-30688}}</ref>

In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen ein:
* (hkl) dient der eindeutigen Bezeichnung von [[Kristallfläche]]n bzw. [[Gitterebene|Ebenen]] im [[Kristallgitter]],
* {hkl} steht für [[Kristallform]]en, d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen,
* [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes),
* ⟨uvw⟩ für die Menge aller symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Die millerschen Indizes werden wie folgt gebildet: Man bestimmt die Schnittpunkte der Kristallebene mit den drei [[Koordinatenachse]]n, [[kürzen|kürzt]] gemeinsame Faktoren, bildet die [[Kehrwert]]e und multipliziert mit dem [[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinsten gemeinsamen Vielfachen]] der [[Nenner]], so dass sich drei [[Ganze Zahl|ganze]], [[teilerfremd]]e Zahlen ergeben.

== Anwendungen ==
In der [[Mineralogie]] werden die millerschen Indizes verwendet, um [[Kristallfläche]]n eindeutig zu beschreiben. Auch zur Angabe der [[Spaltbarkeit]] oder von [[Kristallzwilling|Verzwillingungen]] werden sie benötigt.

Bei [[Beugung (Physik)|Beugung]]s<nowiki></nowiki>methoden wie der [[Röntgenbeugung]] oder der [[Elektronenbeugung]] bezeichnen sie eine [[Gitterebene|Netzebenen]]-Schar.

Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden als [[Laue-Indizes]] oder ''Laue-Symbol'' bezeichnet und zur Unterscheidung von den – nach Definition teilerfremden – millerschen Indizes üblicherweise ''ohne'' Klammern geschrieben. Die Laue-Indizes sind die mit der Ordnung ''n'' der [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] (siehe [[Bragg-Gleichung]]) multiplizierten Miller-Indizes. So wird z. B. die [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] 2. Ordnung an der Gitterebene mit den Miller-Indizes (100) mit den Laue-Indizes 200 bezeichnet.<ref>Walter Borchardt-Ott: ''Kristallographie.'' Springer 2008, S. 285, Fußnote 3.</ref> Laue-Indizes werden z. B. bei der Angabe von [[Systematische Auslöschung|systematischen Auslöschungen]] verwendet und gehen in die Formel des [[Strukturfaktor]]s ein.

In der [[Materialwissenschaft]] werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um [[Gitterfehler]] wie [[Versetzung (Materialwissenschaft)|Versetzungen]] zu charakterisieren. Auch [[Gleitsystem]]e, [[Textur (Kristallographie)|Texturen]] oder die [[Kristallorientierung]] von [[Einkristall]]en können mit millerschen Indizes beschrieben werden.

== Notation ==
Abhängig von seinem [[Kristallsystem]] wird jedem [[Kristall]] ein [[Koordinatensystem]] zugeordnet. Die drei Vektoren <math>\vec{a_1}</math>, <math>\vec{a_2}</math> und <math>\vec{a_3}</math> mögen die [[Basisvektor|Basis]] dieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters).

Die Basis des zugehörigen [[Reziprokes Gitter|reziproken Gitters]] sei durch die Vektoren <math>\vec{g_1}</math>, <math>\vec{g_2}</math> und <math>\vec{g_3}</math> gegeben (sie werden über die Basisvektoren <math>\vec{a_i}</math> des Gitters definiert).

=== Gitterebene (millersche Indizes) ===
Es gibt zwei äquivalente Möglichkeiten, eine [[Gitterebene]] zu beschreiben:

==== Gitterebene im Ortsraum ====
Betrachtet man eine Gitterebene mit den [[Spurpunkt]]en <math>s_1 \vec{e_1}</math>, <math>s_2 \vec{e_2}</math> und <math>s_3 \vec{e_3}</math> (<math>\vec {e_i}</math> sind die [[Einheitsvektor]]en eines rechtwinkligen Koordinatensystems des Raums), so ist die [[Achsenabschnittsform]] gegeben durch:

:<math>\frac{1}{s_1}x_1 + \frac{1}{s_2}x_2 + \frac{1}{s_3}x_3 = 1</math>

und ein [[Normalenvektor]] der Gitterebene durch

:<math>\vec{n} = \begin{pmatrix} \frac{1}{s_1} \\ \frac{1}{s_2} \\ \frac{1}{s_3} \end{pmatrix}</math>

Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors, sodass alle Einträge dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind. Sei dies z. B. im Folgenden durch die ganze Zahl <math>j</math> gewährleistet (möglich, da die <math>s_i \in \Z</math>, da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen), dann gilt

:<math>\vec{n_2} =\begin{pmatrix} \frac{j}{s_1} \\ \frac{j}{s_2} \\ \frac{j}{s_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h \\ k \\ l \end{pmatrix}</math>

Die Komponenten des [[Tupel #Besondere Bezeichnungen für n-Tupel mit kleinem n|Tripletts]] <math>(hkl)</math> heißen die millerschen Indizes.<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Demtröder]] |Titel=Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper |Verlag=Springer |Jahr=2005 |ISBN=3-540-21473-9 |Seiten=386 |Online={{Google Buch|BuchID=UmrfixbVs_AC|Seite=386|Hervorhebung=Normalenvektor Indizes}} }}</ref> Jedes Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene. Negative Zahlen werden anstelle des Minuszeichens durch einen Strich über dem zugehörigen Index gekennzeichnet, also z. B. <math>(\bar 1 0 \bar 2)</math>. Ein Index von Null bezeichnet einen Schnittpunkt im Unendlichen (wie man aus der Achsenabschnittsform sieht), d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation <math>\{hkl\}</math> verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit <math>\{1 0 0\}</math> im [[Kubisches Kristallsystem|kubischen Kristallsystem]] die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen <math>(1 0 0)</math>, <math>(\bar 1 0 0)</math>, <math>(0 1 0)</math>, <math>(0 \bar 1 0)</math>, <math>(0 0 1)</math> und <math>(0 0 \bar 1)</math>, was den sechs Oberflächen eines [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] entspricht.

==== Gitterebene im reziproken Gitter ====
Jeder Netzebenen-Schar <math>(hkl)</math> im direkten Gitter entspricht im [[Reziprokes Gitter|reziproken Gitter]] des Kristalls ein Punkt bzw. Ortsvektor

:<math>h \vec{g_1} + k \vec{g_2} + l \vec{g_3}</math>.

Dieser hat im reziproken Raum die Koordinaten <math>h,k,l</math>; er steht senkrecht auf den gleichnamigen Netzebenen und hat als Länge den Kehrwert des [[Gitterebene #Gitterebenenabstand|Netzebenenabstandes]].

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen <math>h</math>, <math>k</math> und <math>l</math> verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

=== Gittervektoren (Richtungsindizes) ===
Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation <math>[u v w]</math> verwendet, um einen spezifischen Vektor im realen Gitter ([[Gittervektor]]) zu bezeichnen:

:<math>u \vec{a_1} + v \vec{a_2} + w \vec{a_3}.</math>

Dieser Vektor steht im Allgemeinen ''nicht'' senkrecht auf der Ebene <math>( u v w )</math>. Dies ist nur im [[Kubisches Kristallsystem|kubischen Gitter]] der Fall.

Die Notation <math>\langle u v w \rangle</math> bezeichnet alle zum Vektor <math>[u v w]</math> symmetrisch äquivalenten Richtungen.

''Beispiel:''<br>
Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist <math>\langle 1 0 0 \rangle</math> eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten, <math>\langle 1 1 0 \rangle</math> die Richtung einer der [[Diagonale (Geometrie)|Flächendiagonalen]] und <math>\langle 1 1 1 \rangle</math> die Richtung einer Raumdiagonalen.

== Vierer-Schreibweise ==
[[Datei:Miller-bravais.svg|mini|Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem]]

=== Gitterebenen ===
Im [[Trigonales Kristallsystem|trigonalen Kristallsystem]] und im [[Hexagonales Kristallsystem|hexagonalen Kristallsystem]] wird häufig die Schreibweise <math>(HKIL)</math> mit vier Indizes verwendet. Diese abgewandelten millerschen Indizes werden als ''bravaissche Indizes'' (auch ''Bravais-Miller-Indizes'' oder ''Miller-Bravais-Indizes'') bezeichnet. Die Indizes <math>H</math>, <math>K</math> und <math>L</math> stimmen mit den üblichen millerschen Indizes überein, der zusätzliche (und eigentlich [[Überbestimmung|redundant]]e) Index <math>I</math> ergibt sich immer als <math>-(H+K)</math>.

Ein Vorteil dieser Indizes im hexagonalen Kristallsystem ist, dass symmetrieäquivalente Flächen leicht zu identifizieren sind, da sie durch [[Permutation]] der ersten drei Indizes erhalten werden. So sind die Flächen <math>(1 0\bar 1 0)</math>, <math>(0 1\bar 1 0)</math> und <math>(1\bar 1 0 0)</math> beispielsweise Flächen des hexagonalen Prismas.

=== Richtungsindizes ===
==== Kristallographie und Mineralogie ====
In der [[Kristallographie]] und [[Mineralogie]] werden meist die normalen Richtungsindizes <math>[uv.w]</math> oder <math>[uv^{*}w]</math> verwendet, wobei durch einen Platzhalter . oder * für <math>t</math> angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist. <math>t</math> ist immer null.

Allerdings wird diese Schreibweise teilweise auch für die im Folgenden beschriebenen ''Weber-Indizes'' verwendet, weswegen es zu Verwechslungen kommen kann.

==== Werkstoffwissenschaft ====
In der [[Werkstoffwissenschaft]] wird eine die abweichende Schreibweise <math>[UVTW]</math> bevorzugt, die ''Weber-Indizes'' (engl. {{lang|en|''Weber symbols''}}).<ref>{{Literatur |Autor=[[Leonhard Weber (Kristallograph)|Leonhard Weber]] |Titel=Das viergliedrige Zonensymbol des hexagonalen Systems |Sammelwerk=[[Zeitschrift für Kristallographie|Z. Kristallogr.]] |Band=57 |Datum=1922 |Seiten=200–203}}</ref> Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise <math>[uvw]\!\,</math> ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:<ref>{{Literatur |Autor=Christopher Hammond |Titel=The Basics of Crystallography and Diffraction |Verlag=Oxford University Press |Datum=2001 |ISBN=978-0-19-850552-5 |Seiten=115 |Online={{Google Buch |BuchID=NaGLdNHGvPQC |Seite=115}}}}</ref>

:<math>U = (2u - v)/3</math>
:<math>V = (2v - u)/3</math>
:<math>T = -(u + v)/3</math>
:<math>W = w.</math>

Da die Umrechnung von Richtungen in die Vierer-Schreibweise verglichen mit Ebenen komplizierter ist, werden in der Literatur Richtungen mit Weber-Indizes häufig falsch angegeben.

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass die Richtung <math>[UVTW]</math>, ähnlich wie in [[kubisches Kristallsystem|kubischen Kristallsystemen]], senkrecht zur Ebene <math>(UVTW)</math> ist; in der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen ''nicht'' der Fall. Zudem können – wie bei den ''Miller-Bravais-Indizes'' – in kubischen Kristallsystemen aus Symmetriegründen äquivalente Richtungen durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden, und eine <math>0</math> bedeutet, dass die Richtung senkrecht zum entsprechenden [[Basisvektor]] ist.

===== Herleitung =====
Die Richtung <math>[u v w]</math> soll äquivalent zu <math>[U V T W]\!\,</math> sein, d. h. beide Indizes sollen in die gleiche Richtung zeigen. Also ist

:<math>u \cdot \vec a + v \cdot \vec b + w \cdot \vec c \propto U \cdot \vec a + V \cdot \vec b + T \cdot \vec d + W \cdot \vec c.</math>

Nun ist

:<math>\vec d = -(\vec a + \vec b) ,</math>

weshalb sich dies als

:<math>u \cdot \vec a + v \cdot \vec b + w \cdot \vec c \propto (U-T) \cdot \vec a + (V-T) \cdot \vec b + W \cdot \vec c </math>

schreiben lässt. Da

:<math>T = -(U+V)</math>

gilt, folgt

:<math>u \cdot \vec a + v \cdot \vec b + w \cdot \vec c \propto (2U+V) \cdot \vec a + (2V+U) \cdot \vec b + W \cdot \vec c </math>.

Daher ist die Umrechnung von Webersymbolen in Richtungsindizes der Dreier-Schreibweise
:<math>u = 2U+V</math>
:<math>v = U+2V</math>
:<math>w = W,</math>
wobei am Ende noch gekürzt werden muss. Aus letzteren Gleichungen lassen sich durch Auflösen nach <math>U</math>, <math>V</math> und <math>W</math> die Gleichungen zur Bestimmung der Weberindizes aus der Dreier-Schreibweise erhalten.

== Literatur ==
* [[Charles Kittel]]: ''Introduction to solid state physics.'' 7. Aufl. Wiley, New York 1996. ISBN 0-471-11181-3.
* Werner Schatt, H. Worch: ''Werkstoffwissenschaft.'' 8. Aufl. Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7.
* {{Literatur | Autor=[[Hans-Joachim Bautsch]], [[Will Kleber]], [[Joachim Bohm (Kristallograph)|Joachim Bohm]] | Titel=Einführung in die Kristallographie | Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag | Ort= | Jahr=1998|Online = {{Google Buch|BuchID=K7GKi1RA8FMC |Seite=}}}}
* {{Literatur | Autor=Christopher Hammond | Titel=The basics of crystallography and diffraction | Verlag=Oxford University Press | Ort=Oxford | Jahr=2001 | ISBN=978-0-19-850552-5|Online = {{Google Buch|BuchID=NaGLdNHGvPQC |Seite=}}}}

== Weblinks ==
{{Commons|Miller Index}}
* IUCr Online Dictionary of Crystallography: [http://reference.iucr.org/dictionary/Miller_indices Miller indices]
* IUCr Online Dictionary of Crystallography: [http://reference.iucr.org/dictionary/Bravais-Miller_indices Bravais-Miller indices]
* [http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_3/backbone/r3_2_1.html ''Richtungen und Ebenen im Gitter'' bei der Universität Kiel]
* [http://timms.uni-tuebingen.de/ttimms/Player/PlayClipWMT.aspx?mode=e&start=00%3a24%3a00&ref=mms%3a%2f%2fu-003-stimms03.uni-tuebingen.de%2fUT_2005%2f10%2f24%2fUT_20051024_001_exphys5_0001.wmv500.wmv&resourceid=UT_20051024_001_exphys5_0001 Videovorlesung der Universität Tübingen]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kristallographie]]

Millersche Indizes - Versionsgeschichte

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