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Als '''Millennium-Probleme''' werden die im Jahr 2000 vom [[Clay Mathematics Institute]] (CMI) in [[Cambridge (Massachusetts)|Cambridge]] ([[Massachusetts]]) in einer Liste aufgezählten [[Ungelöste Probleme der Mathematik|ungelösten Probleme der Mathematik]] bezeichnet. Das Institut hat für die Lösung eines der sieben Probleme ein Preisgeld von jeweils einer Million [[US-Dollar]] ausgelobt.

== Geschichte ==
Die Millennium-Liste kann gesehen werden als Fortsetzung der 100 Jahre zuvor am 8. August 1900 vom deutschen Mathematiker [[David Hilbert]] auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|Internationalen Mathematiker-Kongress]] in Paris aufgestellten [[Hilbertsche Probleme|Liste von 23 bis dahin ungelösten Problemen der Mathematik]], die die Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert wesentlich befruchtet und vorangebracht hat. Die [[Riemannsche Vermutung]] ist als einziges Problem auf beiden Listen zu finden.

== Liste der Probleme ==
Die Liste enthält die folgenden sieben Probleme:

# der [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] der [[Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer]] aus der [[Zahlentheorie]],
# der Beweis der [[Vermutung von Hodge]] aus der algebraischen [[Geometrie]],
# Analyse von Existenz und Regularität von Lösungen des Anfangswertproblems der dreidimensionalen inkompressiblen [[Navier-Stokes-Gleichungen]].
# die Lösung des [[P-NP-Problem]]s der [[Informatik]],
# <s>der Beweis der [[Poincaré-Vermutung]] in der Topologie</s> (2002 gelöst von [[Grigori Jakowlewitsch Perelman]], die Vermutung trifft zu),
# der Beweis der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]] der Zahlentheorie,
# die Lösung des [[Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem|Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblems]]

== Hinweise ==

=== Zu Problem 3 (Navier-Stokes) ===
Bei den [[Navier-Stokes-Gleichungen]] werden mehrere Varianten formuliert, unter anderem die Frage nach der Existenz von glatten (<math> C^{\infty}</math>) Lösungen <math> u (x,t) </math> (Geschwindigkeit), <math> p (x,t)</math> (Druck) der inkompressiblen kräftefreien Navier-Stokes-Gleichung in drei Dimensionen für alle positiven Zeiten, wobei die Energie beschränkt bleibt <math>\textstyle \left(\int u^2 \text{d}V <C\right)</math>. Der Anfangswert <math>u_0= u (x, 0)</math> wird als glatt vorausgesetzt (<math> C^{\infty}</math>), mit einer Wachstumsbeschränkung an die räumlichen Ableitungen. In einer anderen Variante werden periodische Randbedingungen vorgegeben (Lösungen auf dem dreidimensionalen Torus <math>\mathbb R^3 / \mathbb Z^3</math> statt in <math>\mathbb R^3</math>). Es wird auch danach gefragt, ob es glatte Kraftfelder <math>f</math> (mit Beschränkungen des Wachstums der Ableitungen von <math>f</math> und <math>u_0</math>) und Anfangsbedingungen gibt, für die keine solchen für alle positiven Zeiten glatten Lösungen für Druck <math>p</math> und Geschwindigkeit <math>u</math> existieren (wie oben mit endlicher Energie).

=== Zu Problem 7 (Yang-Mills) ===
{{Hauptartikel|Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem}}In Bezug auf die [[Yang-Mills-Theorie|Yang-Mills-Gleichungen]] wird nach einer strengen Begründung (im Sinn der [[Axiomatische Quantenfeldtheorie|Axiomatischen Quantenfeldtheorie]]) der quantisierten Yang-Mills-Theorie für beliebige kompakte einfache Eichgruppen <math>G</math> in vier Dimensionen (euklidische [[Raumzeit|Raum-Zeit]]) gefragt und der Existenz einer Massenlücke (das heißt, die vorhergesagten energetisch niedrigsten Anregungen haben endliche positive Masse). Das entspricht der Erwartung im Fall der [[Quantenchromodynamik]] (QCD), wo [[Glueball]]s endliche nichtverschwindende Masse haben, auch wenn die Eichbosonen ([[Gluon]]en) masselos sind. Das Problem wurde auch als Annäherung an das wichtigste ungelöste Problem von Yang-Mills-Theorien wie der QCD gewählt, das [[Confinement]]-Problem.

== Lösungen ==
=== Poincaré-Vermutung ===

Die [[Poincaré-Vermutung]] wurde 2002 von [[Grigori Jakowlewitsch Perelman]] bewiesen. Für seine bahnbrechenden Arbeiten wurde ihm 2006 die [[Fields-Medaille]] verliehen, die er jedoch (als erster Mathematiker der Geschichte) ablehnte. Das Clay-Institut erkannte ihm 2010 das Preisgeld von einer Million Dollar zu, dies lehnte er jedoch ebenfalls ab.<ref>{{Internetquelle|werk=Focus Online|url=https://web.archive.org/web/20120810164408/https://www.focus.de/wissen/mensch/naturwissenschaften/mathematik-raetsel-genie-lehnt-preisgeld-ab_aid_526085.html|titel=Genie lehnt Preisgeld ab|datum=2. Juli 2010|zugriff=27. Dezember 2013}}</ref>

== Literatur ==
* [[Pierre Basieux]]: ''Die Top Seven der mathematischen Vermutungen.'' rororo, Reinbek bei Hamburg 2004. ISBN 3-499-61932-6.
* James A. Carlson: ''The millennium prize problems.'' American Math. Soc., Providence 2006, ISBN 0-8218-3679-X.
* Keith J. Devlin: ''The millennium problems - the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time.'' Basic Books, New York 2002, ISBN 0-465-01729-0.

== Weblinks ==
* [http://www.claymath.org/millennium-problems CMI-Seite zu den Millennium-Problemen]
* [http://shell.cas.usf.edu/~wclark/baez2000problems.html John Baez zu den Millennium Problemen, englisch]
* [http://www.claymath.org/publications/video-catalogue Millennium Meeting] claymath.org

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Vermutung (Mathematik)]]

Millennium-Probleme - Versionsgeschichte

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