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2026-03-08T12:52:28Z

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Ein '''Mikrozustand''' ist in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] die vollständige [[Mikroskopisch und makroskopisch|mikroskopische]] Beschreibung eines [[Thermodynamisches System|thermodynamischen Systems]]. Ein Mikrozustand entspricht damit einem Punkt im [[Phasenraum]] des ganzen Systems (nicht dem eines Teilchens). Für ein [[Klassische Physik|klassisches]] [[ideales Gas]] sind damit die Orte und die [[Impuls (Physik)|Impulse]] aller Teilchen festgelegt.

Im Gegensatz zum Mikrozustand beschreibt der [[Makrozustand]] das System durch seine [[gemittelt]]en Parameter, wie etwa [[Temperatur]], [[Druck (Physik)|Druck]] oder [[Magnetisierung]]. Ein thermodynamisches System mit gegebenem Makrozustand besetzt nun verschiedene Mikrozustände der [[Energie]] <math>E_i</math> mit einer gewissen [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p_i</math>. Aus diesen Mikrozuständen zusammen mit ihren Wahrscheinlichkeiten lassen sich viele Parameter des Systems berechnen.

Oft sind einige Mikrozustände eines [[Abgeschlossenes System (Thermodynamik)|abgeschlossenen Systems]] nach außen hin nicht unterscheidbar (z. B. weil sie die gleiche Gesamtenergie und den gleichen Gesamt[[impuls]] oder die gleiche Gesamt[[magnetisierung]] haben). Gemäß dem '''Postulat der gleichen a-priori-Wahrscheinlichkeiten''' tritt im [[Thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]] jeder dieser Mikrozustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Es kann nicht belegt werden, ist aber die einzig plausible Annahme, da jede Auszeichnung eines dieser Zustände durch eine veränderte Wahrscheinlichkeit eine gewisse Willkür bedeuten würde.<ref name="Nolting2007">{{cite book|author=Wolfgang Nolting|title=Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik|url=https://books.google.de/books?id=W2ZiWP5V9QsC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA5|accessdate=2013-01-06|date=2007-10-01|publisher=Springer DE|isbn=978-3-540-68870-9|pages=4–5}}</ref>

== Mikroskopische Definition thermodynamischer Größen ==
Die statistische Physik definiert die thermodynamischen Eigenschaften eines Systems über ein [[Ensemble (Physik)|Ensemble]] von <math>N</math> Mikrozuständen. Jedem Mikrozustand <math>i</math> kann eine Energie <math>E_i</math> und eine Besetzungswahrscheinlichkeit <math>p_i</math> zugeordnet werden, die sich aus den Eigenschaften des Mikrozustandes ergeben. Mit diesen Definitionen können dann [[Kennzahl]]en des Systems als [[Mittelwert]] der Mikrozustände ([[Ensemblemittelwert]]) berechnet werden (siehe auch [[Ergodenhypothese]]). Beispiele:
* Die [[innere Energie]] <math>U</math> ist die Energie des zugehörigen Makrozustandes als [[Erwartungswert]] über die Energien der Mikrozustände:
::<math>U \,:=\, \langle E\rangle \,=\, \sum\limits_{i=1}^Np_i \, E_i</math>
* Die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math> des Gesamtsystems hängt nur von den Wahrscheinlichkeiten der Mikrozustände ab und ist definiert als der Erwartungswert der Entropien der Mikrozustände <math>S_i = -k_\mathrm{B} \ln(p_i)</math>:
::<math>S \,:=\sum_i p_i S_i:=\, -k_\mathrm{B} \cdot \sum\limits_{i=1}^Np_i \, \ln(p_i) = \, -k_\mathrm{B} \cdot \langle \ln(p_i)\rangle</math>
:Dabei ist <math>k_\mathrm{B}</math> die [[Boltzmann-Konstante]]. Diese Definition entspricht (ohne <math>k_\mathrm{B}</math>) der [[Entropie (Informationstheorie)|Shannon’schen Informationsentropie]]

Weitere thermodynamische Größen können über den Formalismus der [[Zustandssumme]]n berechnet werden. Dabei wird die Anzahl der Mikrozustände für gewisse [[Randbedingung]]en gezählt. Die Verteilung der Mikrozustände im Phasenraum wird von der [[Zustandsdichte]] angegeben.

== Beispiele ==
=== Klassisches Gas ===
[[Datei:Translational motion.gif|gerahmt|Simulation eines idealen Gases in zwei Dimensionen. Einige Moleküle sind rot gezeichnet, damit sich ihre Bewegung leichter verfolgen lässt]]
In der klassischen Physik wird ein Gas als Menge von <math>N</math> [[Punktteilchen|punktförmigen Teilchen]] der Masse <math>m</math> angenommen. Die Teilchen haben die Positionen <math>\vec{x}_{i,j}</math> und die Geschwindigkeiten <math>\vec{v}_{i,j}</math>. Der Index <math>j</math> nummeriert die Teilchen durch, der Index <math>i</math> ist die Nummer eines möglichen Mikrozustands; ein Mikrozustand ist dabei die Angabe der Positionen und momentanen Geschwindigkeiten aller Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Die mittlere Energie des Mikrozustands lässt sich dann aus den [[Kinetische Energie|kinetischen Energien]] der Gasteilchen berechnen:

:<math>E_i \,=\, \frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N\frac{1}{2} \, m \, \vec{v}_{i,j}^2</math>

Es gibt viele Zustände mit der Energie <math>E_i</math>, da nur die Geschwindigkeiten, nicht aber die Positionen der Teilchen zu dieser Größe beitragen. Gemäß dem Postulat der gleichen A-priori-Wahrscheinlichkeiten hat jeder dieser Zustände die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Die Teilchen [[Elastischer Stoß|stoßen elastisch]] aneinander und an die Wände des Gefäßes. Dadurch stellt sich nach einiger Zeit ein thermisches Gleichgewicht ein, in dem die Verteilung der Geschwindigkeiten der Einzelteilchen der [[Maxwell-Boltzmann-Verteilung]] folgt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand mit der Energie <math>E_i</math> ist:

:<math>p_i \,\propto \, \exp\left( -\frac{E_i}{k_\mathrm{B} \, T}\right) </math>

Dabei ist
* <math>\textstyle T</math> die Temperatur des Gases
* <math>\textstyle k_\mathrm{B} \, T</math> die [[thermische Energie]] des Gases und
* <math>\textstyle \exp\left( -\frac{E_i}{k_\mathrm{B} \, T}\right) </math> der [[Boltzmann-Faktor]].

=== Ising-Modell ===
Ein weiteres Beispiel der statistischen Physik ist das [[Ising-Modell]]. Bei diesem eindimensionalen System von [[Spin]]s sind <math>N</math> Teilchen in einer Reihe angeordnet. Dabei zeigt der Spin jedes Teilchens entweder nach oben <math>s_\uparrow=+1</math> oder nach unten <math>s_\downarrow=-1</math>. Liegt zusätzlich ein externes [[Magnetfeld]] mit der [[Magnetische Feldstärke|Feldstärke]] <math>H</math> an, so lässt sich die Energie eines Mikrozustandes berechnen als:

:<math>E_i \,=\, \mu_\mathrm{B} \, H \, \sum\limits_{j=1}^N s_j</math>

Dabei ist <math>\mu_\mathrm{B}</math> das [[Bohrsches Magneton|Bohrsche Magneton]]. Für den Fall <math>N = 3</math> kann man die möglichen Mikrozustände und ihre Energie direkt aufschreiben:

{| class="wikitable"
| ''Mikrozustand'' || ↑↑↑ || ↑↑↓ || ↑↓↑ || ↓↑↑ || ↑↓↓ || ↓↑↓ || ↓↓↑ || ↓↓↓
|-
| ''Energie <math>E_i/(\mu_\mathrm{B} \, H)</math>'' || ''3'' || ''1'' || ''1'' || ''1'' || ''-1'' || ''-1'' || ''-1 '' || ''-3''
|}
Auch in diesem Beispiel kann ein Makrozustand gegebener Energie durch verschiedene Mikrozustände dargestellt werden.

== Literatur ==
Die meisten Lehrbücher der statistischen Physik, wie etwa:
* {{cite book | author = [[Wolfgang Nolting (Physiker)|Nolting]] | title = Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik | url=https://books.google.de/books?id=W2ZiWP5V9QsC&lpg=PP1&hl=de | accessdate = 2013-01-06 | date =2007-10-01 | publisher = Springer DE | isbn = 978-3-540-68870-9}}
* [[Franz Schwabl|Schwabl]]: ''Statistische Mechanik''. Springer-Verlag, Berlin, 3. Auflage 2006, ISBN 978-3-540-31095-2
* Wachter, Hoeber: ''Repetitorium Theoretische Physik''. Springer Verlag. ISBN 3-540-21457-7

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]

Mikrozustand - Versionsgeschichte

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