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2018-12-25T16:34:41Z

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Die '''Michael-Gerade''' oder '''Michael-Line''', benannt nach [[Ernest Michael]], ist ein spezieller, im mathematischen Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] betrachteter [[topologischer Raum]]. Historisch war er das erste Beispiel eines [[Normaler Raum|normalen Raums]], dessen [[Produkttopologie|Produkt]] mit einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] nicht wieder normal ist.<ref>[[Ernest Michael]]: ''The product of a normal space and a metric space need not be normal.'' In: ''Bulletin of the American Mathematical Society.'' Bd. 69, Nr. 3, 1963, S. 375–376, {{doi|10.1090/S0002-9904-1963-10931-3}}.</ref>

== Definition ==
Die Michael-Gerade <math>M</math> ist die Menge <math>\R</math>, woher die Bezeichnung Gerade rührt, zusammen mit der wie folgt definierten Topologie <math>\tau_M</math>: [[Offene Menge]]n sind die Vereinigungen <math>U\cup I</math>, wobei
* <math>U</math> eine in der [[Euklidische Topologie|euklidischen Topologie]] offene Menge, das heißt eine Vereinigung von Intervallen <math>(a,b)</math> mit <math>a,b \in \R</math>
* <math>I</math> eine beliebige Teilmenge der [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]
ist. Man zeigt, dass dadurch ein topologischer Raum <math>M=(\R, \tau_M)</math> definiert ist.<ref>[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung'' (= ''BI-Hochschultaschenbücher.'' 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, Aufgabe 38.</ref><ref>[[Jun-iti Nagata]]: ''Modern General Topology'' (= ''North Holland Mathematical Library.'' Bd. 33). 2., revised edition. North Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, S. 197.</ref>

== Eigenschaften ==
* Die Michael-Gerade <math>M=(\R, \tau_M)</math> ist ein normaler Raum, sogar ein [[parakompakter Raum]].<ref>Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: ''Topologie. Eine Grundvorlesung'' (= ''BI-Hochschultaschenbücher.'' 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 136.</ref>
* Ist <math>X</math> der Raum der irrationalen Zahlen mit der [[Relativtopologie|relativen]] euklidischen Topologie, so ist das Produkt <math>M\times X</math> nicht normal. Das hat E. Michael in seiner unten zitierten Originalarbeit gezeigt.
* Die Michael-Gerade ist nicht metrisierbar, denn obiges Produkt wäre sonst ebenfalls metrisierbar und damit normal.
* Die Michael-Gerade ist kein [[Lindelöf-Raum]]. Ist <math>(r_n)_n</math> eine Abzählung der rationalen Zahlen, so bilden die Mengen <math>(r_n-2^{-n}, r_n+2^{-n})</math> und die einpunktigen Mengen <math>\{x\}</math> aus allen irrationalen Punkten eine offene Überdeckung, die keine abzählbare Teilüberdeckung besitzt, denn die Vereinigung einer abzählbaren Teilmenge der Überdeckungsmengen hat höchstens das [[Lebesgue-Maß]] 4. Die Frage, ob es auch Lindelöf-Räume gibt, deren Produkt mit dem Raum der irrationalen Zahlen nicht normal ist, berührt die [[axiomatische Mengenlehre|Axiomatik der Mengenlehre]]. Lindelöf-Räume mit dieser Eigenschaft nennt man ''Michael-Räume''<ref>L. Brian Lawrence: ''The influence of a small cardinal on the product of a Lindelöf space and the irrationals.'' In: ''Proceedings of the American Mathematical Society.'' Bd. 110, Nr. 2, 1990, S. 535–542, {{doi|10.2307/2048101}}.</ref>, die Michael-Gerade ist wegen der fehlenden Lindelöf-Eigenschaft kein Michael-Raum.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Michael-Gerade - Versionsgeschichte

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