2001:638:A07:132:FFFF:198B:47F7:546: /* Halbnormeigenschaft */

2024-03-06T14:37:52Z

Halbnormeigenschaft

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Das '''metrische Differential''' ist ein Ersatz für den [[Differential (Mathematik)|Ableitungsbegriff]] für [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] in [[Metrischer Raum|metrische Räume]]. Es wurde 1994 vom deutschen [[Mathematiker]] Bernd Kirchheim in einem Aufsatz über die Regularität von [[Hausdorff-Maß]]en eingeführt.<ref>Bernd Kirchheim: ''Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure''. Zitiert nach: [https://www.ams.org/journals/proc/1994-121-01/S0002-9939-1994-1189747-7/S0002-9939-1994-1189747-7.pdf Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994.] Abgerufen am 12. Juni 2012</ref>
Die Hauptanwendung des metrischen Differentials besteht in der Verallgemeinerung des [[Satz von Rademacher|Satzes von Rademacher]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]en zwischen [[Euklidischer Raum|euklidischen Räumen]] auf solche in allgemeine metrische Räume.

== Motivation ==

Euklidische Räume tragen neben ihrer metrischen Struktur zusätzlich eine [[Vektorraum|lineare]]. Deshalb ist es möglich, für eine Funktion zwischen euklidischen Räumen [[lokal (Topologie)|lokal]]e lineare Näherungen zu betrachten. Existiert für eine Stelle des [[Definitionsbereich]]es eine beste solche Näherung, so heißt die Funktion dort [[Totale Differenzierbarkeit#Definition|(total) differenzierbar]] und die entsprechende [[lineare Abbildung|lineare Funktion]] wird Ableitung oder ''[[Differential (Mathematik)|Differential]]'' an dieser Stelle genannt. Einschränkend lässt sich auch die [[Richtungsableitung|Ableitung in eine bestimmte Richtung]] betrachten. Für Abbildungen in allgemeine metrische Räume lassen sich solche Aussagen zunächst nicht treffen, da die besagte lineare Struktur fehlt.
Das ''metrische Differential'' dient nun dazu, diese Begriffe im Sinne einer besten [[Isometrie| isometrischen]] Näherung auf die letztgenannten Abbildungen zu übertragen.

== Definition ==

Sei im Weiteren <math>f\colon \R^n \to (X,d_X)</math> eine Funktion von einem euklidischen Raum in einen metrischen Raum <math>X</math> und <math>x \in \R^n</math> ein Punkt. Setze nun

:<math>MD(f,x)(u) := \lim_{r \to 0} \frac{d_X(f(x+ru), f(x))}{r}</math>

für einen Vektor <math>u \in \R^n</math>, falls dieser [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] existiert. In diesem Falle heiße <math>f</math> an der Stelle <math>x</math> ''in Richtung <math>u</math> metrisch differenzierbar'' und <math>MD(f,x)(u)</math> heiße das ''metrische Differential'' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math> in Richtung <math>u</math>.

Ist <math>MD(f,x)</math> sogar eine Funktion auf ganz <math>\R^n</math>, so heiße <math>f</math> in <math>x</math> überhaupt ''metrisch differenzierbar''.

== Eigenschaften ==

=== Bezug zur Stetigkeit ===

Wie man es bei einem [[Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeitsbegriff]] erwarten kann, gilt folgender Satz.

: Ist <math>f</math> an der Stelle <math>x \in \R^n</math> metrisch differenzierbar, so ist <math>f</math> dort auch [[Stetige Funktion#Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen|stetig]] als Abbildung zwischen metrischen Räumen.

=== Verallgemeinerung des Fréchet-Differentials ===

Fasst man den <math>\R^n</math> in natürlicher Weise (durch die [[euklidische Norm]]) als einen [[Normierter Raum|normierten Raum]] auf und ist auch die Metrik <math>d_X</math> durch eine Norm <math>\|{\cdot}\|_X</math> induziert, so wird <math>f\colon (\R^n,\|{\cdot}\|_2) \to (X,\|{\cdot}\|_X)</math> zu einer Funktion zwischen normierten Räumen und lässt sich so auf [[Fréchet-Differential|Fréchet-Differenzierbarkeit]] überprüfen. In diesem Fall gilt der Satz:

: Ist <math>f</math> an einer Stelle <math>x \in \R^n</math> Fréchet-differenzierbar mit dem Differential <math>Df(x)</math>, so ist <math>f</math> auch metrisch differenzierbar und es gilt weiter <math>MD(f,x)(u) = \|Df(x)(u)\|_X</math> für jedes <math>u \in \R^n</math>.

Zu beachten ist dabei, dass die Forderung an <math>d_X</math> keine echte Einschränkung ist, denn nach dem [[Satz von Kunugui]] lässt sich jeder metrische Raum isometrisch in einen [[Banachraum]] einbetten.

=== Verallgemeinerung des Satzes von Rademacher ===

:Falls <math>f</math> [[Lipschitz-stetig]] ist, so ist die Funktion auch [[fast überall]] metrisch differenzierbar.

Das heißt, die Punkte, in denen sie nicht differenzierbar ist, bilden eine [[Nullmenge]] (bezüglich des Hausdorff-Maßes).

=== Halbnormeigenschaft ===

:Sei <math>f</math> wieder Lipschitz-stetig, dann ist für fast jedes <math>x \in \R^n</math> die Abbildung <math>MD(f,x)</math> eine [[Halbnorm]] auf <math>\R^n</math>.

In diesem Fall lässt sich außerdem zeigen:

:Für beliebige <math>y, z \in \R^n</math> gilt <math>d_X(f(y),f(z))-MD(f,x)(y-z) \in o(d(y,x)+d(x,z))</math>.

Das heißt, in einer – gegebenenfalls sehr kleinen – [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>x \in \R^n</math> ist <math>MD(f,x)</math> die beste isometrische Näherung für <math>f</math>. Dabei bezeichne <math>d</math> die übliche [[euklidische Metrik]] auf <math>\R^n</math>; für die Verwendung der „Klein-o-Notation“ siehe auch [[Landau-Symbole]].

:Gibt es nun umgekehrt für eine – nun nicht notwendig Lipschitz-stetige – Funktion <math>f\colon \R^n \to (X,d_X)</math> und eine Stelle <math>x \in \R^n</math> eine Halbnorm <math>s</math> mit der Eigenschaft <math>d_X(f(y),f(z))-s(y-z) \in o(d(y,x)+d(x,z))</math> für alle <math>y, z \in \R^n</math>, so muss <math>s</math> mit <math>MD(f,x)</math> identisch sein und <math>f</math> ist an dieser Stelle metrisch differenzierbar.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Metrisches Differential - Versionsgeschichte

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