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2026-03-01T20:21:44Z

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Ein '''metrischer Zusammenhang''' beziehungsweise ein '''mit der Metrik kompatibler Zusammenhang''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Differentialgeometrie]]. Es handelt sich um einen Spezialfall eines [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhangs]].

== Definition ==
Sei <math>(M,\tilde{g})</math> eine [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] und sei <math>(E \to M,g)</math> ein [[Vektorbündel]] mit (induzierter) Metrik <math>g</math>. Ein Zusammenhang <math>\nabla</math> auf <math>E</math> heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] <math>X, Y, Z \in \Gamma(E)</math>
:<math>(\nabla_X g)(Y,Z) = 0</math>
gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle <math>X, Y, Z \in \Gamma(E)</math>
:<math>X(g(Y,Z)) =g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z).</math>

== Beispiele ==
Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der [[Levi-Civita-Zusammenhang]]. In diesem Fall ist das Vektorbündel das [[Tangentialbündel]] <math>TM</math> an <math>M</math> mit der riemannschen Metrik von <math>M</math>. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

== Affiner Raum ==
Sei <math>(E \to M,g)</math> ein Vektorbündel mit Metrik <math>g,</math> dann ist die Menge <math>X</math> der metrischen Zusammenhänge auf <math>E</math> ein [[Nichtleere Menge|nichtleerer]] [[affiner Raum]] modelliert mit den (vektorwertigen) [[Differentialform|1-Formen]] aus <math>\mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)),</math> d. h., es gibt eine Abbildung
:<math>l : \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) \times X \to X,</math>
so dass mit der Notation <math>\omega+\nabla:=l(\omega,\nabla)</math>
# für jedes <math>\nabla \in X</math> die Gleichung <math>0 + \nabla = \nabla</math> gilt,
# für jedes <math>\omega, \nu \in \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E))</math> und für alle <math>\nabla \in E</math> das Assoziativgesetz <math>(\omega + \nu) + \nabla = \omega + (\nu + \nabla)</math> gilt und
# für alle <math>\nabla \in X</math> die Abbildung <math>\omega \mapsto \omega + \nabla</math> [[bijektive Abbildung|bijektiv]] ist.

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian Geometry.'' Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
* Nicole Berlin, [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat Kernels and Dirac Operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
* {{EoM
| Autor = Ü. Lumiste
| Titel = Metric connection
| Url = http://eom.springer.de/M/m063630.htm
}}

[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]

Metrischer Zusammenhang - Versionsgeschichte

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