217.173.147.84: /* Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie) */ Hinweis, wie man g in der ART bestimmt

2025-01-09T13:34:03Z

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie): Hinweis, wie man g in der ART bestimmt

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Der '''metrische [[Tensor]]''' (auch '''Metriktensor''' oder '''Maßtensor''') dient dazu, mathematische [[Raum (Mathematik)|Räume]], insbesondere differenzierbare [[Mannigfaltigkeit]]en, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines [[metrischer Raum|metrischen Raums]] an eine ''Metrik'' gestellt werden: im [[Minkowski-Raum]] der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich [[raumartig]] oder einheitlich [[zeitartig]] sind.

Für die [[Differentialgeometrie]] und die [[Allgemeine Relativitätstheorie]] bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über [[Innenproduktraum|inneres Produkt]] und [[Norm (Mathematik)|Norm]] definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

== Definition und Bedeutung ==
Der metrische Tensor <math>g</math> über einem [[affiner Raum|affinen Punktraum]] <math>A</math> mit reellem [[Vektorraum|Verschiebungsvektorraum]] <math>V</math> ist eine Abbildung von <math>A</math> in den Raum der Skalarprodukte auf <math>V</math>. Das heißt, für jeden Punkt <math>P\in A</math> ist

:<math>g(P)\colon V \times V \to \mathbb{R}</math>

eine [[positiv definit]]e, [[symmetrische Bilinearform|symmetrische]] [[Bilinearform]].

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen [[Metrischer Raum|Metrik und Pseudometrik]] wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass <math>g (P)</math> für einige oder alle Punkte <math>P</math> nur positiv semidefinit ist, d. h. die Forderung der Definitheit

:<math>g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) > 0</math> für alle <math>0 \ne \vec{x} \in V</math>

wird abgeschwächt zu

:<math>g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) \ge 0</math> für alle <math>\vec{x} \in V</math>.

Ein solcher Tensor <math>g</math> heißt dann '''pseudometrischer Tensor'''.

Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt <math>P</math> abhängige) Länge ([[Norm (Mathematik)|Norm]]) <math>\|\vec x\|_P</math> auf dem Vektorraum <math>V</math>:

:<math>\|\vec x\|_P=\sqrt{g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right)}</math>

Analog zum [[Standardskalarprodukt]] ist der Winkel <math>\theta\in[0,\pi]</math> im Punkt <math>P</math> zwischen zwei Vektoren <math>\vec x,\vec y\in V</math> definiert durch:

:<math>
\cos \theta =
\frac{g(P)(\vec x,\vec y)}{
\sqrt{g(P)(\vec x,\vec x)}\,\sqrt{g(P)(\vec y,\vec y)}
}
</math>

== Koordinatendarstellung ==

Wenn ein lokales Koordinatensystem <math>(x^i)</math> auf <math>V</math> mit Basis <math>(e_i)</math> aus <math>V</math> gewählt wird, schreibt man die Komponenten von <math>g</math> als <math>g_{ij}(P)=g(P)(e_i,e_j)</math>. Unter Verwendung der [[Einsteinsche Summenkonvention|einsteinschen Summenkonvention]] ist dann für die Vektoren <math>\vec x=x^i\vec e_i</math> und <math>\vec y=y^i\vec e_i</math>
:<math>g(P)\left( \vec{x},\,\vec{y}\right) = g_{ij}(P)\,x^i\,y^j</math>.

Im Sinne der [[Kategorientheorie]] ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen <math>\varphi \colon (A,V)\to (B,W)</math> natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf <math>(B,W)</math> ein metrischer Tensor auf <math>(A,V)</math> [[Rücktransport|konstruiert]] werden kann,
:<math>(\varphi^*g)(P)(\vec x,\vec y)
=g\bigl(\varphi(P)\bigr)\Bigl(\varphi_*(\vec x),\varphi_*(\vec y)\Bigr)
</math>.

In der [[Indexnotation von Tensoren|Physik]] wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung <math>g_{ij}</math> als [[Kovarianz (Physik)|kovariant]] bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als
:<math>x^k=A^k{}_i\;\tilde x^i</math> bzw. <math>\tilde x^i=(A^{-1})^i{}_k\; x^k</math>
gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als
:<math>\tilde e_i=A^k{}_i\;e_k=(A^T)_i{}^k\;e_k</math>
und es gilt für den metrischen Tensor
:<math>
\tilde g_{ij}
=g(P)(\tilde e_i,\, \tilde e_j)
= (A^T)_i{}^k\,(A^T)_j{}^l\;g_{kl}.
</math>

== Länge von Kurven ==

Ist eine differenzierbare Kurve <math>\gamma\colon [a,b]\to A</math> im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt <math>t</math> einen Tangentialvektor
:<math>\vec x(t)=\dot\gamma(t)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\gamma(t)</math>.
Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge
:<math>
L_{[a,b]}(\gamma)
= \int_a^b \sqrt{ g\bigl(\gamma(t)\bigr) \Bigl(\,\vec x(t),\,\vec x(t)\, \Bigr)}\,\mathrm{d}t
= \int_a^b \|\dot\gamma(t)\|_{\gamma(t)}\,\mathrm{d}t
</math>
zuordnen.

=== Linienelement ===

Der Ausdruck
: <math>\mathrm ds^2 = g_{ij} \mathrm dx^i \mathrm dx^j</math>,
wieder unter der Verwendung der Summenkonvention, heißt '''Linienelement'''. Substituiert man gemäß der Kettenregel
: <math>\mathrm dx^i = \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \mathrm dt</math> und <math>\mathrm dx^j = \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt} \mathrm dt</math>,
so ergibt sich
:<math>\mathrm ds^2 = g_{ij} \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt} \mathrm dt^2</math>.
<math>\mathrm ds</math> ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einer [[Länge (Mathematik)#Längen von Kurven|Kurvenlänge]].

== Induzierter Metriktensor ==
Hat man eine <math>p</math>-dimensionale [[Untermannigfaltigkeit]] eines [[Riemannscher Raum|riemannschen Raumes]] mit der Metrik <math>(g_{ij})</math>, die mittels der Parameterdarstellung
:<math>q^i = q^i (t^1, t^2, \dots, t^p),\qquad i=1,\dots,n</math>
gegeben ist, wird eine Metrik <math>(a_{\alpha\beta})</math> induziert. Die <math>t^\alpha</math> nennt man ''induzierte Koordinaten''. Betrachtet man eine Kurve
: <math>t^\alpha=t^\alpha(t),\qquad a\leq t\leq b,\qquad \alpha=1,\dots,p</math>
auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß der [[Kettenregel]]
: <math>s=\int_a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}q^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t</math>.
Die Größe
: <math>a_{\alpha\beta}:=g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}</math>
ist der ''induzierte Metriktensor''. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als
: <math>s=\int_a^b \sqrt{a_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t</math>.

== Beispiele ==

=== Euklidischer Raum ===

In einem [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] mit [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] ist der metrische Tensor durch die [[Einheitsmatrix]]
:<math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>
gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n x^i y^i</math> gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen.
Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten
<math>g_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij},</math>
wobei <math>e_1, \dots, e_n</math> die Vektoren der [[Standardbasis]] sind.
Für beliebige Vektoren <math>x = x^i e_i</math> und <math>y = y^j e_j</math> des euklidischen Raums gilt
:<math>g_{ij} \, x^i y^j = \delta_{ij} x^i y^j = \sum_{i = 1}^n x^i y^i.</math>
Hier wird die [[einsteinsche Summenkonvention]] verwendet.

Für die Kurvenlänge
:<math> L = \int_a^b \sqrt{ \left( \mathrm{d} x \right)^2} </math>
und den Winkel
:<math> \cos \theta = \frac{\mathbf{u}\,\mathbf{v}} {|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|} </math>
erhält man die üblichen Formeln der [[Vektoranalysis]].

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der [[Jacobi-Matrix]] <math>J</math> der Einbettung als
:<math>g = J^T J.</math>

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt:

* In [[Polarkoordinaten]] <math>(x^1, x^2)=(r, \theta)</math>:
::<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}</math>, bzw.
::<math>\mathrm ds^2 =\mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2</math>
* In [[Zylinderkoordinaten]] <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \varphi, z)</math>:
::<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>, bzw.
::<math>\mathrm ds^2 =\mathrm dr^2 +r^2\mathrm d\varphi^2 +\mathrm dz^2 </math>
* In [[Kugelkoordinaten]] <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \varphi)</math>:
::<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & (r\sin \theta)^2\end{bmatrix}</math>, bzw.
::<math>\mathrm ds^2 =\mathrm dr^2 +r^2\,\mathrm d\theta^2 +r^2\sin^2\theta \;\mathrm d\varphi^2</math>

{{Klappbox|hintergrundfarbe=hintergrundfarbe5|1=Herleitung für Kugelkoordinaten <math>\quad \longrightarrow</math>|2=
Die [[Koordinatentransformation]] für die Kugelkoordinaten lautet als Vektorgleichung:
:<math>\vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \sin \theta \cos \varphi \\ r \sin \theta \sin \varphi \\ r \cos \theta \end{pmatrix}</math>.
Die lokalen [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]] <math>\vec b_1, \vec b_2</math> und <math>\vec b_3</math> verlaufen tangential zu den [[Koordinatenlinie|Koordinatenlinien]] und ergeben sich somit aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den Koordinaten <math>r, \theta</math> und <math>\varphi</math>. Also gilt:
:<math>\vec b_1 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} = \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{pmatrix}, \quad \vec b_2 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} = \begin{pmatrix} r \cos \theta \cos \varphi \\ r \cos \theta \sin \varphi \\ - r \sin \theta \end{pmatrix}, \quad \vec b_3 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial \varphi} = \begin{pmatrix} - r \sin \theta \sin \varphi \\ r \sin \theta \cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

Die Komponenten des metrischen Tensors <math>g = (g_{ij})</math> sind die Skalarprodukte dieser Basisvektoren:
:<math>g_{ij} = \vec b_i \vec b_j \quad (i,j \in \{ 1 , 2 , 3 \}</math>.
Die Rechnung ergibt:
:<math>g_{11} = 1 , \quad g_{22} = r^2 , \quad und \quad g_{33} = r^2\sin^2\theta</math>.
Die übrigen Skalarprodukte sind null. Dies bedeutet, dass die Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen: die Kugelkoordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem.

Für das Linienelement ergibt sich somit
:<math>\mathrm ds^2 =\mathrm dr^2 +r^2\,\mathrm d\theta^2 +r^2\sin^2\theta \;\mathrm d\varphi^2</math>.

Die Herleitungen für die anderen Koordinatensysteme verlaufen entsprechend.
}}

=== Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie) ===
{{Hauptartikel|Minkowski-Raum}}

Der flache ''Minkowski-Raum'' der [[spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] beschreibt eine vierdimensionale [[Raumzeit|Raum-Zeit]] ohne [[Gravitation]]. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines [[Inertialsystem]]s ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unter [[Lorentztransformation]]en ist hingegen der sogenannte '''Viererabstand''', der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der [[Lichtgeschwindigkeit]] ''c'' berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand <math>\mathrm d \mathbf r</math> und Zeitspanne <math>\,\mathrm d t</math> als

:<math>\mathrm d s^2 = c^2 \, \left( \mathrm d t \right)^2 \, - \left(\mathrm d \mathbf r \right)^2</math>

Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch <math>\, x^\mu=(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct,x,y,z)</math>.

Der metrische Tensor lautet in einer Konvention, die vor allem in der [[Quantenfeldtheorie]] verwendet wird ([[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] −2, also +,−,−,−)

:<math>\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)</math>.

In einer Konvention, die hauptsächlich in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] benutzt wird (Signatur +2, also −,+,+,+), schreibt man

:<math>\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(-1,1,1,1)</math>.

Dabei ist allerdings zu beachten, dass es sich hierbei trotz der allgemein verwendeten Bezeichnung weder um einen metrischen noch um einen pseudometrischen Tensor handelt, weil er '''nicht positiv (semi-) definit''' ist, was sofort aus der Signatur hervorgeht. Das heißt, <math>\eta_{\nu \mu}</math> stellt lediglich eine symmetrische Bilinearform bezüglich einer bestimmten Basis dar, keine positiv (semi-)definite symmetrische Bilinearform.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird der metrische Tensor durch Lösen der [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einsteinschen Feldgleichungen]] gefunden. Er ist ortsabhängig und bildet daher ein [[Tensorfeld]], da die Krümmung der [[Raumzeit]] an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Rainer Oloff|Titel=Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie|Verlag=Springer-Verlag|Jahr=2013|ISBN=3322942600}}
* {{Literatur|Autor=Chris Isham|Titel=Modern Differential Geometry for Physicists|Verlag=Allied Publishers|Jahr=2002|ISBN=8177643169}}
* {{Literatur|Autor=W. Werner|Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik|Band=1|Verlag=Springer Vieweg|ISBN=978-3-658-25271-7}}

[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]

Metrischer Tensor - Versionsgeschichte

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