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2021-06-03T09:00:47Z

Globale Linearisierung in der Regelungstechnik: zus. Links

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Die Idee beim '''Regelungsentwurf durch globale Linearisierung''' besteht darin, eine geeignete [[Rückführung]] zu finden, die ein [[nichtlineares System]] [[Linearisierung|linearisiert]] und damit eine [[Regelung (Natur und Technik)|Regelung]] vereinfacht. Zumeist wird dazu der Ausgang zurückgeführt, weshalb die Methode auch als '''Linearisierung durch Ausgangsrückführung''' bekannt ist.

Die globale Linearisierung wird vor allem in der [[Regelungstechnik]] eingesetzt, weshalb wir nun ein solches Beispiel betrachten.

== Globale Linearisierung in der Regelungstechnik ==
Eine [[Regelstrecke]] ist in der Regeltechnik die zu regelnde physikalische Größe, z. B. die Temperatur.

Eine nichtlineare Regelstrecke lässt sich in der [[Zustandsraumdarstellung]] wie folgt ausdrücken:

<math display="block">\begin{align}
\dot x_1 = x_2 && \dot x_2 = x_3 && ...&&
\dot x_n = f(x_1, \cdots, x_n) + b(x_1, \cdots, x_n)u,
\end{align}</math>

was aus der allgemeinen Zustandsraumdarstellung für [[Eingrößensystem]]e folgt:

<math display="block">\begin{bmatrix}
\dot{x}_1(t)\\
\dot{x}_2(t)\\
\vdots\\
\dot{x}_n(t)\\
\end{bmatrix}

=\underbrace{\begin{bmatrix}
a_{11}& \dots & a_{1n}\\
a_{21}& \dots & a_{2n}\\
\vdots& \ddots &\vdots\\
a_{n1}& \dots & a_{nn}\\
\end{bmatrix}}_{\text{System-Matrix}}
\ \cdot
\underbrace{\begin{bmatrix}
x_1(t)\\
x_2(t)\\
\vdots\\
x_n(t)\\
\end{bmatrix}}_{\text{Zustd.-Vektor}}
+
\underbrace{\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n} \\
\end{bmatrix}}_{\text{Eingangs-Vektor}}
\cdot
\underbrace{\begin{bmatrix}
u(t)\\
\end{bmatrix}}_{\text{Eing.-Variable}}.</math>

Diese nichtlineare Regelungsstrecke lässt sich linearisieren durch die Rückführung

<math display="block">u = \frac{1}{b(x_1, \cdots, x_n)}(v-f(x_1, \cdots, x_n))</math>.

Wird die [[Zustandsrückführung]]<ref>Lutz, Wendt: ''Taschenbuch der Regelungstechnik'', Kapitel: ''Regelung durch Zustandsrückführung''.</ref>

<math display="block">v = -k_1 x_1 - k_2 x_2 - \cdots - k_n x_n</math>

als Regler gewählt, so lautet die linearisierte Regelstrecke:

<math display="block">\begin{align}
\dot x_1 = x_2 &&\dot x_2 = x_3 && ... && \dot x_n = -k_1 x_1 - k_2 x_2 - \cdots -k_n x_n.
\end{align}</math>

Die Regelstrecke ist [[asymptotisch stabil]], wenn alle [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] der [[Systemmatrix]] einen negativen [[Komplexe Zahl|Realteil]] haben.

== Beispiel: Van-der-Pol-System ==
Ein [[Van-der-Pol-System]] (benannt nach dem niederländischen Physiker [[Balthasar van der Pol]], der diese 1927 veröffentlichte<ref>Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, ''Nature'', '''120''', 363–364, (1927).</ref>) wird durch folgende [[Differentialgleichung]] beschrieben<ref>Kaplan, D. and Glass, L., ''Understanding Nonlinear Dynamics'', Springer, 240–244, (1995).</ref>:<math display="block">\ddot{x} + \epsilon (x^2-1)\dot{x} + x = u.</math>Nach Umschreiben in die kanonische [[Zustandsraumdarstellung|Steuerbarkeitsnormalform]] mit <math>x_1=x\;</math>, <math>\dot x_1 =\dot{x}=x_2</math> und <math>\dot x_2 =\ddot{x}</math> erhält man<math display="block">\begin{align}
\dot x_1 &=x_2\\
\dot x_2 &=\epsilon (1-x_1^2)x_2-x_1+u = f(x_1,x_2)+b(x_1,x_2) u.
\end{align}</math>Damit ist <math display="block">\begin{align}
f(x_1,x_2)&=\epsilon (1-x_1^2) x_2-x_1\\
b(x_1,x_2)&=1
\end{align}</math> und somit die Rückführung<math display="block">u = -\epsilon (1-x_1^2) x_2 +x_1+v.</math>Die linearisierte Zustandsraumdarstellung lautet somit<math display="block">\begin{align}
\dot x_1&=x_2\\
\dot x_2&=-k_1 x_1-k_2 x_2.
\end{align}</math>Die zugehörige homogene, lineare Differentialgleichung lautet:<math display="block">\ddot x+k_2\dot x+k_1 x=0.</math>

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Regelungstheorie]]

Methode der globalen Linearisierung - Versionsgeschichte

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