imported>Aka: /* Aporomorphie */ typografische Anführungszeichen korrigiert, typografische Anführungszeichen

2025-07-13T22:46:32Z

Aporomorphie: typografische Anführungszeichen korrigiert, typografische Anführungszeichen

Neue Seite

'''Meromorphie''' ist eine Eigenschaft von bestimmten [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Funktionentheorie]] (einem Teilgebiet der [[Mathematik]]) behandelt werden.

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] zu speziell. Dies liegt daran, dass der [[Kehrwert]] <math>\tfrac1f</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> an einer [[Nullstelle]] von <math>f</math> eine [[Definitionslücke]] hat und somit <math>\tfrac1f</math> dort auch nicht komplex differenzierbar ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der ''meromorphen Funktion'' ein, die auch [[isolierter Punkt|isolierte]] [[Polstelle]]n besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als [[Laurentreihe]]n mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist <math>U</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] von <math>\Complex</math>, so bildet die Menge der auf <math>U</math> meromorphen Funktionen einen [[Körper (Algebra)|Körper]].

== Definition ==
=== Auf den komplexen Zahlen ===
Es sei <math>D</math> eine nichtleere [[Offene Menge|offene]] [[Teilmenge]] der Menge <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] und <math>P_f</math> eine weitere Teilmenge von <math>\Complex</math>, die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion <math>f</math> heißt meromorph, wenn sie für Stellen aus <math>D \setminus P_f</math> definiert und holomorph ist und für Stellen aus <math>P_f</math> [[Polstelle|Pole]] hat. <math>P_f</math> wird als ''Polstellenmenge'' von <math>f</math> bezeichnet.

=== Auf einer riemannschen Fläche ===
Sei <math>X</math> eine [[riemannsche Fläche]] und <math>Y</math> eine offene Teilmenge von <math>X</math>. Unter einer meromorphen Funktion auf <math>Y</math> verstehen wir eine holomorphe Funktion <math>f \colon Y' \rightarrow \Complex</math>, wobei <math>Y' \subset Y</math> eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:
* Die Menge <math>P_f := Y\setminus Y'</math> hat nur isolierte Punkte.
* Für jeden Punkt <math>p \in Y\setminus Y'</math> gilt
:<math> \lim_{x \rightarrow p} |f(x)| = \infty</math>.
Die Punkte aus der Menge <math>Y\setminus Y'</math> werden Pole von <math>f</math> genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf <math>Y</math> wird mit <math>\mathcal{M}(Y,\Complex)</math> bezeichnet und bildet, falls <math>Y</math> zusammenhängend ist, einen [[Körper (Algebra)|Körper]].
Diese Definition ist natürlich äquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls <math>X</math> eine Teilmenge derer ist.

== Beispiele ==
* Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge leer ist.
* Die Kehrwertfunktion <math>z \mapsto \tfrac 1z</math> ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist <math>\{0\}</math>. Allgemeiner sind alle [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]]
*:<math>z \mapsto \frac{a_m z^m + \dotsb + a_0}{b_n z^n + \dotsb + b_0}</math>
:meromorph. Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der [[Nullstellenmenge]] des Nennerpolynoms.

* Für jede meromorphe Funktion <math>f \neq 0</math> ist ihr Kehrwert <math>\tfrac 1f</math> ebenfalls meromorph.

* Die [[Tangens]]- bzw. die [[Kotangens]]-Funktion ist meromorph.

* Die Funktion <math>z \mapsto e^{1/z}</math> ist nicht auf ganz <math>\Complex</math> (und auf keiner Umgebung von <math>0</math>) meromorph, da <math>0</math> keine Polstelle, sondern eine [[wesentliche Singularität]] dieser Funktion ist.

* Weitere Beispiele sind: [[Elliptische Funktion]]en, [[Gammafunktion]], [[Hurwitzsche Zeta-Funktion]], [[Modulform]]en, [[Riemannsche ζ-Funktion]], [[Spezielle Funktionen]].

Wichtige Sätze über meromorphe Funktionen sind: [[Satz von Mittag-Leffler]], [[Residuensatz]], [[Satz von Riemann-Roch]].

== Aporomorphie ==
Im Gegensatz zu meromorphen Funktionen, die nur isolierte Pole aufweisen, gibt es in der komplexen Analysis keinen einheitlich etablierten Begriff für Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Während meromorphe Funktionen durch ihre „gutartigen“ Singularitäten charakterisiert sind, bei denen die Funktion gegen unendlich divergiert, zeigen Funktionen mit [[Isolierte Singularität| wesentlichen Singularitäten]] ein weitaus komplexeres Verhalten.

Eine Funktion mit isolierten wesentlichen Singularitäten kann als aporomorph (von griechisch ἄπορος aporos „ausweglos, rätselhaft“) bezeichnet werden, wobei dieser Begriff jedoch nicht in der mathematischen Literatur etabliert ist. Diese Bezeichnung würde das unvorhersagbare und chaotische Verhalten solcher Funktionen in der Nähe ihrer Singularitäten reflektieren, wie es durch den Satz von Casorati-Weierstraß beschrieben wird.

== Literatur ==
* E. Freitag & R. Busam – ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4
* Otto Forster – ''Riemannsche Flächen'', Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-08034-1
* {{EoM
| Autor = E.M. Chirka
| Titel = Meromorphic function
| Url = http://eom.springer.de/M/m063460.htm
}}

[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Meromorphe Funktion - Versionsgeschichte

imported>Aka: /* Aporomorphie */ typografische Anführungszeichen korrigiert, typografische Anführungszeichen