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2025-06-10T06:00:32Z

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Als '''Meridianbogen''' wird eine nord-südlich verlaufende [[Messprofil|Messstrecke]] auf der [[Erdoberfläche]] oder ihr mathematisches Äquivalent auf dem [[Erdellipsoid]] bezeichnet (vgl. [[Meridian (Geographie)|Meridian]]).

Erstgenannte Messstrecke kann bei der „Methode der [[Gradmessung]]“ zur Bestimmung der mittleren [[Erdkrümmung]] und damit des [[Erdradius]] dienen. Dazu müssen auch die [[Geografische Breite|geografischen Breiten]] der beiden Streckenendpunkte (φ1, φ2) gemessen werden. Diese [[Breitenbestimmung]]en erfolgen [[Astrogeodäsie|astronomisch]], indem die [[Höhenwinkel]] von Sternen beobachtet werden.

Die Strecke wird nun auf [[Meeresniveau]] reduziert und ihre Länge mit dem Unterschied der geografischen Breiten verglichen. Hat der Meridianbogen die [[Geografische Länge|Länge]] ''B'' und die Breitendifferenz den Betrag β = |φ1-φ2|, so ergibt sich der lokale [[Krümmungsradius]] mit R = B/β. Zusammen mit einem zweiten Meridianbogen kann daraus die Form des Erdellipsoids abgeleitet werden – wie z. B. 1735–1740 bei den berühmten Expeditionen der [[Pariser Akademie]] nach [[Lappland]] und [[Peru]].

Seit ca. 1900 werden in der [[Geodäsie]] jedoch statt der Meridianmethode ausgedehnte [[Netz (Geodäsie)|Vermessungsnetze]] verwendet.

== Bedeutende Meridianbögen bis 1900 ==
Die ersten Meridianbögen der Wissenschaftsgeschichte dienten dem Nachweis der kugelförmigen [[Erdfigur]] und ihrer Größe. Nach der ''Erdmessung des [[Eratosthenes]]'' ist hier die Gradmessung des Kalifen [[Al-Ma'mun]] zu erwähnen, ein 2° langer Bogen bei [[Bagdad]], der für den Meridiangrad 122 km ergab (heutiger Wert je nach [[Geografische Breite|Breitengrad]] 111–112 km). Überliefert ist auch die Messung von [[Fernel]] 1525 nördlich von Paris mittels [[Sonnenbeobachtung]]en und Wagenrad-Umdrehungszählungen. Um 1615 vermaß [[Willebrord van Roijen Snell]] einen Meridianbogen zwischen [[Alkmaar]] und [[Bergen-op-Zoom]] erstmals mit der [[Triangulation (Geodäsie)|Triangulation]] großer Dreiecke. [[Jean Picard]] bestimmte 1670 als Erster die Länge des Meridianbogens durch Triangulation mit [[Quadrant (Astronomie)|Quadranten]], die [[Messfernrohr]]e mit [[Fadenkreuzokular]]en zum Anvisieren des Gestirns hatten. Damit wurde eine bis dahin nicht mögliche Präzision erreicht.

Als eine merkliche Abweichung von der Kugelform – also die [[Erdellipsoid|ellipsoidische]] Erdfigur – zu vermuten war, folgten im 18. und 19. Jahrhundert mehrere bedeutende [[Gradmessung]]en, vor allem
* die französische [[Erdmessung]] in Lappland und Peru
* der [[Meridianbogen Kremsmünster]] in Oberösterreich
* weitere Gradbögen in Deutschland, Italien und Österreich-Ungarn, v. a. Rom – Rimini ([[Roger Boscovich]] 1751) und Brünn – Varasdin (Wiener Meridian) von [[Joseph Liesganig]] 1761
* der [[Jean-Baptiste Joseph Delambre|Delambre]]-[[Méchain]]-Bogen von [[Dünkirchen]] nach Barcelona (erstmals über 1000 km), 1792–1798
* der [[Gauß]]sche Bogen Göttingen – Altona (1821–1823), erstmals mittels streng mathematischer [[Ausgleichsrechnung]]
* der 2500 km lange ''Great Arc'' in Indien (1802–1841 für die [[Große Trigonometrische Vermessung]])
* der 3000 km lange [[Struve-Bogen]] in Osteuropa (1816–1852) und
* seine Einbindung in weitere Bögen für das europäische [[Bessel-Ellipsoid]]
* der [[Meridianbogen Großenhain-Kremsmünster-Pola]] (~1880–1910) von Sachsen bis zur Adria
* und erste Gradmessungen in den [[USA]] für das [[Hayford-Ellipsoid]].

== Bedeutende Meridianbögen des 20. Jahrhunderts ==
Ab etwa 1900 wurden neben astronomischen [[Breitenbestimmung|Breitenmessungen]] bzw. meridional ausgerichteten Vermessungsnetzen auch [[Längenbestimmung]]en (also Ost-West-Profile) gemessen, die ab etwa 1910 allmählich ausgedehnten [[Flächenmethode|Flächennetzen]] wichen – siehe [[Astro-geodätische Netzausgleichung]].

Von den modernen Meridianbögen sind von besonderer Bedeutung:
* der Meridianbogen von Spitzbergen (gemessen von Russland & Schweden 1898–1902). Mit 4,2° Amplitude (Breitendifferenz) ist er zwar relativ kurz, aber der nördlichste für die Erdmessung nutzbare Bogen
* der [[südamerika]]nische Meridianbogen von Kolumbien durch ganz [[Ecuador]] bis zum Norden Perus, die 1899–1906 erfolgte [[Nachmessung]] des berühmten französischen Bogens von 1735 bis 1740
* der westeuropäisch-afrikanische Bogen ([[Meridian von Paris]]) von den [[Shetland-Inseln]] bis [[Laghouat]] bei Algier. Er hat 27° Amplitude und 38 Stationen
* die [[nordamerika]]nische Breitengradmessung im 98°-Meridian von [[Mexiko]] bis zum [[Arktischer Ozean|Eismeer]] (1922)
* und weitere Meridionalketten der [[USA]] sowie der 23° lange, schiefe Bogen entlang der Ostküste
* die [[afrika]]nische Gradmessung im [[Geografische Länge|Längengrad]] 30° Ost, initiiert schon von Sir [[David Gill (Astronom)|David Gill]], aber erst 1953 vollendet. Verlauf von [[Kairo]] bis [[Kapstadt]], mit 65° Amplitude das längste Messprofil der klassischen Geodäsie.

== Mathematische Beschreibung ==
Ein Meridianbogen auf einem [[Rotationsellipsoid]] hat die genaue Form einer [[Ellipse]]. Daher lässt sich seine Länge – gezählt vom [[Äquator]] – als [[elliptisches Integral]] berechnen und in Form einer [[Potenzreihe|Reihe]] nach Funktionen der geografischen Breite φ darstellen:

:<math>B = C\varphi + D\sin 2\varphi + E\sin 4\varphi + F\sin 6\varphi + \cdots</math> usw.

Der erste [[Koeffizient]] ''C'' hängt mit dem mittleren Erdradius zusammen und beträgt für das [[Bessel-Ellipsoid]] 111,120 km/Grad. Der zweite Koeffizient ''D'' hängt mit der [[Erdabplattung]] zusammen und beträgt 15,988 km. Die Werte für andere Ellipsoide unterscheiden sich ab der vierten Stelle.

Die Entwicklung mittels [[Exzentrizität (Mathematik)|Exzentrizität]] ''e''2 gibt bereits [[Jean-Baptiste Joseph Delambre]] 1799:
:<math>\begin{align}B\approx
&\;a(1-e^2)\left\{\left(1+\frac{3}{4}e^2+\frac{45}{64}e^4+\frac{175}{256}e^6+\frac{11025}{16384}e^8\right)\varphi\right. \\
&\ -\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}e^2+\frac{15}{16}e^4+\frac{525}{512}e^6+\frac{2205}{2048}e^8\right)\sin 2\varphi \\
&\ +\frac{1}{4}\left(\frac{15}{64}e^4+\frac{105}{256}e^6+\frac{2205}{4096}e^8\right)\sin 4\varphi \\
&\ -\frac{1}{6}\left(\frac{35}{512}e^6+\frac{315}{2048}e^8\right)\sin 6\varphi \\
&\ +\frac{1}{8}\left.\left(\frac{315}{16384}e^8\right)\sin 8\varphi\right\}\\
\end{align}</math>

[[Friedrich Robert Helmert]] benutzte <math>n=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}\simeq\frac{e^2}{4}</math> 1880:

:<math>\begin{align}B\approx
&\;\frac{a}{1+n}\left\{\left(1+\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{64}\right)\varphi-\frac{3}{2}\left(n-\frac{n^3}{8}\right)\sin 2\varphi\right. \\
&\ \left.+\frac{15}{16}\left(n^2-\frac{n^4}{4}\right)\sin 4\varphi-\frac{35}{48}n^3\sin 6\varphi+\frac{315}{512}n^4\sin 8\varphi\right\}\\
\end{align}</math>

Allgemeine Formeln gab Kazushige Kawase 2009:

:<math>B=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\varepsilon_k\right)^2\left\{\varphi+\sum_{l=1}^{2j}\left(\frac{1}{l}-4l\right)\sin 2l\varphi\prod_{m=1}^l\varepsilon_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right\}</math>

wobei <math>\varepsilon_i=3n/2i-n</math>.

== Siehe auch ==
* [[Erdquadrant]]
* [[Erdmessung]]
* [[Referenzellipsoid]]
* [[Struve-Bogen]]

== Literatur ==
* [[Jean-Baptiste Joseph Delambre|J. B. J. Delambre]]: {{Webarchiv |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?pn=92&ws=1.5&ww=1&wh=1&mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/YTQVS0WC/pageimg |archive-is=20120711 | text=''Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien.'' précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre}} De L'Imprimerie de Crapelet, Paris 1799, S. 72–73.
* [[Friedrich Robert Helmert|F. R. Helmert]]: [http://archive.org/stream/diemathematisch01helmgoog#page/n67/mode/2up ''Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie.'' Einleitung und 1 Teil]. Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig 1880, S. 46–48.
* K. Kawase: [https://www.gsi.go.jp/common/000054736.pdf ''A General Formula for Meridional Distance from the Equator to Given Latitude.''] (PDF; 1,4 MB). In: ''Journal of the Geographical Survey Institute.'' 119, 2009, S. 45–55. ({{ISSN|0430-9081}}; Japanisch)

== Weblinks ==
* [http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=ellip/marc0 Online-Berechnung von Meridianbogenlängen auf verschiedenen geodätischen Referenzellipsoiden]

[[Kategorie:Mathematische Geographie]]
[[Kategorie:Astrometrie]]
[[Kategorie:Geodäsie]]

Meridianbogen - Versionsgeschichte

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