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2023-03-24T21:11:21Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Mengenverband''' ein Grundbegriff der [[Maßtheorie]] und der [[Verbandstheorie]]. Er bezeichnet ein nicht leeres [[Mengensystem]], das [[Mengenlehre#Vereinigungsmenge|vereinigungs-]] und [[Mengenlehre#Schnittmenge|durchschnitts]]stabil ist.

[[Felix Hausdorff]] nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ zur [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] eines Ringes in der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] einen Mengenverband „Ring“.<ref>{{Literatur |Autor=Felix Hausdorff |Titel=[[Grundzüge der Mengenlehre]] |Verlag=Veit & Comp. |Ort=Leipzig |Datum=1914 |Seiten=14}} Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.</ref> Unter einem [[Ring (Mengensystem)|Ring]] versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem [[Ring (Algebra)|Ring]] im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

== Definition ==

Sei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge. Ein [[Mengensystem|System]] <math>\mathcal V</math> von Teilmengen von <math>\Omega</math> heißt ein ''Mengenverband'' oder ''Verband über <math>\Omega</math>'', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
# <math>\mathcal V \neq \emptyset</math> (<math>\mathcal V</math> ist nicht leer).
# <math>A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cup B \in \mathcal V</math> (Stabilität/[[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]] bezüglich [[Mengenlehre#Vereinigungsmenge|Vereinigung]]).
# <math>A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cap B \in \mathcal V</math> ([[π-System|Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt]]).

== Beispiele ==

* Über jeder beliebigen Menge <math>\Omega</math> ist mit <math>\{A\}, A \subseteq \Omega,</math> ein kleinster und mit der [[Potenzmenge]] <math>\mathcal P(\Omega)</math> der größte mögliche Mengenverband gegeben.
* Jede [[σ-Algebra]] ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

== Eigenschaften ==

* Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils [[Vollständige Induktion|induktiv]], dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes <math>\mathcal V</math> in ihm enthalten ist, d. h. für alle <math>n \in \mathbb N</math> gilt:
: <math>A_1, \dots, A_n \in \mathcal V \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal V</math> und <math>A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal V.</math>

== Äquivalente Definitionen ==

Wenn <math>\mathcal V</math> ein System von Teilmengen von <math>\Omega</math> ist, dann sind folgende Aussagen [[Logische Äquivalenz|äquivalent]]:
* <math>\mathcal V</math> ist ein Mengenverband.
* <math>(\mathcal V,\cup)</math> und <math>(\mathcal V,\cap)</math> sind [[Verband (Mathematik)|Halbverbände im Sinne der Algebra]].
* <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein [[Verband (Mathematik)|Verband im Sinne der Algebra]].
* <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein [[Verband (Mathematik)#Spezielle Verbände|distributiver Verband im Sinne der Algebra]].
* <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein [[idempotent]]er [[Halbring (Algebraische Struktur)|kommutativer Halbring im Sinne der Algebra]].<ref>Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines [[Halbring (Mengensystem)|(Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie]], also eines speziellen Mengensystems, ''beide stehen nicht im Zusammenhang!''</ref>
* <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

== Verwandte Strukturen ==
* Ein [[Ring (Mengensystem)|Mengenring]] ist ein Mengenverband, der zusätzlich [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|differenz]]stabil ist.
* Eine [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebra]] ist ein Mengenverband, der sogar [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|komplement]]stabil ist. Mengenalgebren sind spezielle Mengenringe.

== Siehe auch ==
* [[Mengenlehre]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Marcel Erné |Titel=Einführung in die Ordnungstheorie |Verlag=[[Bibliographisches Institut]] |Ort=Mannheim |Datum=1982 |ISBN=3-411-01638-8}}
* {{Literatur |Autor=U. Hebisch, H. J. Weinert |Titel=Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik |Verlag=[[B. G. Teubner Verlag|Teubner]] |Ort=Stuttgart |Datum=1993 |ISBN=3-519-02091-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Ernst Henze (Mathematiker)|Ernst Henze]] |Titel=Einführung in die Maßtheorie |Auflage=2. überarb. |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim/Zürich |Datum=1985 |ISBN=3-411-03102-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Hermes]] |Titel=Einführung in die Verbandstheorie |Auflage=2. erw. |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1967}}

== Anmerkungen und Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengensystem]]

Mengenverband - Versionsgeschichte

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