imported>Rigormath: Den Begriff Mengensystem gibt es auch ohne Angabe einer Grundmenge (wie etwa im Abschnitt Axiomatische Mengenlehre).

2024-10-18T14:37:40Z

Den Begriff Mengensystem gibt es auch ohne Angabe einer Grundmenge (wie etwa im Abschnitt Axiomatische Mengenlehre).

Neue Seite

{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit Mengen von Mengen. Zu Mengen, die mit einer beliebigen Indexmenge indiziert sind, siehe [[Mengenfamilie]].}}

Ein '''Mengensystem''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]], deren Elemente selbst Mengen sind.

Im Kontext der [[Graphentheorie]] wird ein Mengensystem als [[Hypergraph]] bezeichnet.

== Formale Definition ==
Eine Menge <math>\mathcal{S}</math> heißt ''Mengensystem'', wenn jedes Element von <math>\mathcal{S}</math> eine Menge ist.

Ist eine [[Grundmenge]] <math>X</math> gegeben, so heißt jede [[Teilmenge]] <math>\mathcal{S}</math> der [[Potenzmenge]] <math>\mathcal{P}(X) = \{A \mid A \subseteq X\}</math> ein ''Mengensystem über'' <math>X</math>. Anders ausgedrückt: <math>\mathcal{S}</math> ist eine Menge von Mengen (also ein Mengensystem), und jedes Element von <math>\mathcal{S}</math> ist eine Teilmenge von <math>X</math>.

Umgekehrt ist jedes Mengensystem <math>\mathcal{S}</math> auch ein Mengensystem über seiner [[Vereinigungsmenge]] <math display="inline">\bigcup\mathcal{S}</math>.

== Stabilität ==
Ein Mengensystem <math>S</math> heißt ''[[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]]'' oder ''stabil'' bezüglich einer Mengenoperation ([[Schnittmenge|Durchschnitt]], [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]], [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] etc.), wenn die Anwendung der Operation auf Elemente von <math>\mathcal{S}</math> wieder ein Element von <math>\mathcal{S}</math> liefert. Mengensysteme werden oftmals bezüglich der stabilen Operationen benannt. So heißt ein Mengensystem zum Beispiel
* <math>\cap</math>-stabil (durchschnittsstabil) oder auch ein [[π-System]], wenn <math>A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{S}</math> gilt;
* <math>\cup</math>-stabil (vereinigungsstabil), wenn <math>A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{S}</math> gilt;
* σ-<math>\cap</math>-stabil oder auch ein [[Δ-System (Maßtheorie)|δ-System]], wenn für abzählbar unendlich viele Mengen <math>A_i \in \mathcal{S},\; i \in \mathbb{N},</math> auch deren Schnittmenge <math display="inline">\bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i</math> wieder in <math>\mathcal{S}</math> ist;
* σ-<math>\cup</math>-stabil oder auch kurz ein σ-System, wenn für abzählbar unendlich viele Mengen <math>A_i \in \mathcal{S},\; i \in \mathbb{N},</math> auch deren Vereinigungsmenge <math display="inline">\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i</math> wieder in <math>\mathcal{S}</math> ist;
* <math>\setminus</math>-stabil (differenzstabil), wenn <math>A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal{S}</math> gilt;
* komplementstabil, wenn <math>A \in \mathcal{S} \Rightarrow A^c \in \mathcal{S}</math> gilt.

== Beispiele ==
Die folgenden mathematischen Objekte sind Mengensysteme mit zusätzlichen Eigenschaften. Bei der Formulierung dieser Eigenschaften spielt oft die Stabilität bezüglich bestimmter Mengenoperationen eine Rolle.
{|
|
* [[δ-Ring (Mengensystem)|δ-Ring]]
* [[Dynkin-System]]
* [[Fréchet-Filter]]
* [[Hüllensystem]]
* [[Kernsystem]]
* [[Matroid]]
* [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebra]]
* [[Filter (Mathematik)|Mengenfilter]]
* [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]]
* [[Ring (Mengensystem)|Mengenring]]
|         
|
* [[Mengenverband]]
* [[Monotone Klasse]]
* [[Partition (Mengenlehre)|Partition]]
* [[Potenzmenge]]
* [[σ-Algebra]]
* [[σ-Ring]]
* Topologie (System der offenen Mengen eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]])
* [[Ungerichteter Graph]]
* [[Zermelosystem]]
:  
|}

[[Datei:Hypergraph.gif|rechts|gerahmt|Ein Hypergraph mit 7 Knoten und 4 Hyperkanten]]
[[Datei:6n-graf.svg|mini|Ein ungerichteter Graph mit 6 Knoten und 7 Kanten]]

== Hypergraphen ==
Im Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem auch als Hypergraph bezeichnet. Die Elemente der Grundmenge heißen dann [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] und die Elemente des Mengensystems heißen [[Hyperkante]]n. Man kann sich eine Hyperkante als Verallgemeinerung einer [[Kante (Graphentheorie)|Kante]] in einem gewöhnlichen [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] vorstellen, die eben nicht zwei, sondern mehrere Knoten gleichzeitig miteinander „verbindet“. Im nebenstehenden Beispiel gilt:

: Menge der Knoten <math> =\{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7\}</math>.
: Menge der Hyperkanten <math> =\{e_1, e_2, e_3, e_4\}</math>, wobei
:: Hyperkante <math>e_1 = \{v_1, v_2, v_3\}</math>,
:: Hyperkante <math>e_2 = \{v_2, v_3\}</math>,
:: Hyperkante <math>e_3 = \{v_3, v_5, v_6\}</math>,
:: Hyperkante <math>e_4 = \{v_4\}</math>.

In vielen Anwendungsfällen von Hypergraphen wird die Knotenmenge als endlich festgelegt und die leere Hyperkante ausgeschlossen.

Verbindet jede Hyperkante genau 2 Knoten, liegt ein [[ungerichteter Graph]] vor (genauer: ein ''ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Schleifen''). Das Mengensystem besteht dann also nur aus 2-elementigen Teilmengen der Grundmenge. Im nebenstehenden Beispiel gilt:
: Grundmenge = <math>\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>,
: Mengensystem = <math>\{\{1, 2\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{4, 5\}, \{4, 6\}\}</math>.

== Axiomatische Mengenlehre ==
In der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] gibt es nur einen Typ von Objekten, nämlich Mengen. Damit sind alle Elemente einer Menge selbst wieder Mengen, und die Begriffe ''Menge'' und ''Mengensystem'' stimmen überein.

Beispiel: Jede [[natürliche Zahl]] wird in diesem Zusammenhang mit der Menge ihrer Vorgänger identifiziert. Dies ergibt den folgenden Aufbau:

: <math>0 = \emptyset</math> (die [[leere Menge]]),
: <math>1 = \{0\} = \{\emptyset\}</math>,
: <math>2 = \{0, 1\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}</math>,
: <math>3 = \{0, 1, 2\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}</math>,
: <math>4 = \{0, 1, 2, 3\} = \dotsc</math>,
:     <math>\vdots</math>

== Literatur ==
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre''. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5

[[Kategorie:Mengensystem| ]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Mengensystem - Versionsgeschichte

imported>Rigormath: Den Begriff Mengensystem gibt es auch ohne Angabe einer Grundmenge (wie etwa im Abschnitt Axiomatische Mengenlehre).