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2025-12-27T00:12:33Z

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In der [[Mathematik]] sind '''Mengenfunktionen''' [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die bestimmten Mengen (den Mengen eines ''[[Mengensystem]]s'') ''Werte'' zuordnen, in der Regel nicht-negative reelle Zahlen oder den Wert <math>\infty </math>. Funktionen, die als Werte Mengen annehmen, werden hingegen [[mengenwertige Funktion]]en genannt.

Mengenfunktionen bilden die Basis für die [[Maßtheorie]], wo unter anderem Mengenfunktionen, wie [[Maß (Mathematik)|Maße]] oder [[Inhalt (Maßtheorie)|Inhalte]], auf genauere Eigenschaften untersucht werden.

== Motivation ==

Mengenfunktionen sind besonders wichtig in der [[Maßtheorie]]. Idee der Maßtheorie ist es, [[Menge (Mathematik)|Mengen]] eine (reelle) Maßzahl zuordnen zu können. Ein einfaches Beispiel wäre etwa, die Elemente von einer endlichen Menge zu zählen: Die Menge <math>\{1, 3, 5, 27\} \subseteq \N</math> etwa erhält dann Maß 4.

Man möchte jedoch nicht nur einer Menge einen Wert zuordnen, sondern einem ganzen [[Mengensystem]], also einer Menge von Mengen. Betrachtet man beispielsweise das Mengensystem: <math>\mathcal{C}:=\{\{3\},\{5\},\{1,3,27\},\{1, 3, 5, 27\}\} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{N})</math>, und definiert eine Funktion <math>f\colon\mathcal{C}\to\mathbb{R}</math>, die die Anzahl der Elemente zählt, so erhält man eine Mengenfunktion. Für die Mengenfunktion <math>f</math> gilt dann <math>f(\{3\})=1</math>, <math>f(\{5\})=1</math>, <math>f(\{1,3,27\})=3</math>, <math>f(\{1,3,5,27\})=4</math>.

Nun kann man Mengenfunktionen auf ihre Eigenschaften untersuchen. In der Maßtheorie fordert man häufig bestimmte Stabilitätseigenschaften, wie beispielsweise die [[Additivität]], das heißt, dass wenn man eine Menge zerteilt, so müssen die zwei neuen Mengen zusammen den gleichen Wert annehmen, wie die Ausgangsmenge. Dies ist im obigen Beispiel beim Zählen erfüllt, so ist <math>f(\{5\})+f(\{1,3,27\})=1+3 = 4 = f(\{1,3,5,27\})</math>.

== Formale Definition ==
Sei <math>X</math> eine nichtleere [[Menge (Mathematik)|Menge]] und <math>\mathcal{C} \subseteq \mathcal P (X) </math> ein [[Mengensystem]] mit <math>\emptyset\in \mathcal{C}</math>. Weiter sei zunächst <math>W = \mathbb R^+ \cup \{\infty \} </math>, kurz <math>W = [0,\infty] </math>. <br />Dann nennt man jede Abbildung <math>f\colon\, \mathcal{C}\to W</math> mit <math>f(\emptyset )=0</math> eine ''Mengenfunktion''.

Von einer Mengenfunktion spricht man zumeist auch, wenn <math>W = \mathbb R \cup \{-\infty\}</math> oder <math>W = \mathbb R \cup \{\infty\}</math> ist ([[signiertes Maß]]) oder <math>W = \mathbb{C}</math> ([[komplexes Maß]]).

== Beispiele ==
* Bestimmten Punktmengen der Ebene (den [[Fläche (Mathematik)|Flächen]]) kann man als Maßzahl einen [[Flächeninhalt]] zuordnen. Diese Zuordnung ist (wie auch die vorherige) stets größer oder gleich 0 und σ-additiv; so eine Mengenfunktion nennt man ein [[Maßtheorie|Maß]].
* In der Analysis wird die Fläche zwischen der x-Achse und einem Funktionsgraphen mit Hilfe des Integrals bestimmt. Dabei erhalten Flächen unterhalb der x-Achse ein negatives [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Auch diese Zuordnung ist σ-additiv; so eine Mengenfunktion heißt ein [[signiertes Maß]].
* [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e sind σ-additive Mengenfunktionen, die Werte zwischen 0 und 1 annehmen und der gesamten Grundmenge Maß 1 zuordnen („sicheres Ereignis“).
* Ein [[äußeres Maß]] ist eine σ-subadditive Mengenfunktion, die stets größer oder gleich 0 ist. Das erreicht man beispielsweise indem man jeder Teilmenge der Ebene das [[Infimum]] der Flächeninhalte aller als Flächen messbaren Obermengen zuordnet. Meist geht man aber andersherum vor und konstruiert ein äußeres Maß, um durch geeignete Einschränkung der messbaren Mengen ein Maß zu erhalten (z. B. Konstruktion des [[Lebesgue-Maß]]es).

== Besondere Eigenschaften von Mengenfunktionen ==
Die ''Mengenfunktion'' <math>f</math> heißt:

=== Allgemeine Eigenschaften ===
: '''monoton''', falls <math>A \subseteq B \Rightarrow f(A) \leq f(B)</math> für <math>A,B\in \mathcal{C}</math>

: '''endlich''', falls für alle <math>A \in\mathcal{C} \Rightarrow f(A)<\infty </math>

: '''[[σ-Endlichkeit|σ-endlich]]''', falls es eine Folge <math>(A_j)_{j\in\mathbb{N}}</math> mit <math>\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j = \Omega</math> und <math> f(A_j)<\infty</math> für alle <math>j\in\mathbb{N}</math> gibt.

: '''beschränkt''', falls <math>\sup_{A\in \mathcal{C}} |f(A)|<\infty</math>

: '''vollständig''', falls für alle <math>A\in\mathcal{C}</math> mit <math>f(A)=0</math> und <math>B\subseteq A</math>: <math>B\in\mathcal{C}</math> gilt.

=== Verträglichkeit von Addition und Vereinigung ===
: '''additiv''', falls <math>f(A \cup B) = f(A)+f(B)</math> für [[disjunkt]]e Mengen <math>A, B</math> aus <math>\mathcal{C}</math> mit <math>A \cup B \in \mathcal{C}</math>

: '''endlich additiv''', falls <math>f(\bigcup_{j=1}^{m} A_j) = \sum_{j=1}^{m} f(A_j)</math> für beliebige, paarweise [[disjunkt]]e Mengen <math>A_1,...,A_m</math> aus <math>\mathcal{C}</math>

: '''[[σ-Additivität|σ-additiv]]''' (sigma-additiv), falls <math>f(\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j) = \sum_{j\in\mathbb{N}} f(A_j)</math> für jede [[Folge (Mathematik)|Folge]] [[disjunkt]]er Mengen <math>(A_j)_{j\in\mathbb{N}}</math> in <math>\mathcal{C}</math> mit <math>\bigcup_{\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{C}</math>

: '''subadditiv''', falls <math>f(A \cup B) \leq f(A)+f(B)</math> für <math>A,B</math> aus <math>\mathcal{C}</math> mit <math>A\cup B\in C</math>

: '''endlich subadditiv''', falls <math>f(\bigcup_{j=1}^{m} A_j) \leq \sum_{j=1}^{m} f(A_j)</math> für alle Mengen <math>A_1,...,A_m</math> aus <math>\mathcal{C}</math> mit <math>\bigcup_{j=1}^{m} A_j \in C</math>

: '''[[σ-Subadditivität|σ-subadditiv]]''' (sigma-subadditiv), falls <math>f(\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j ) \leq \sum_{j\in\mathbb{N}} f(A_j)</math> für jede [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Mengen <math>(A_j)_{j\in\mathbb{N}}</math> in <math>\mathcal{C}</math> mit <math>\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{C}</math>

: '''subtraktiv''', falls für alle <math>A,B \in\mathcal{C} </math> mit <math>B \subseteq A</math>, <math>f(B)<\infty</math> und <math>A \setminus B \in \mathcal{C}</math>: <math>f(A\setminus B) = f(A)-f(B)</math>. Dabei fordert man <math>f(B)<\infty</math>, um nicht-definierte Differenzen <math>\infty-\infty</math> zu vermeiden.

: '''modular''', falls für alle <math>A,B \in\mathcal{C} </math> und <math>A \cup B, A \cap B \in\mathcal{C} </math>: <math>f(A\cup B) +f(A\cap B) = f(A) + f(B)</math>

=== Stetigkeit ===
{{Hauptartikel|σ-Stetigkeit}}
: '''stetig von unten''', falls für jede monoton wachsende Folge <math>(A_j)_{j \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_j \in \mathcal{C}</math> und <math>\bigcup_{j \in \mathbb{N}}A_j \in \mathcal{C}</math>:
::<math>f\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right) = \sup_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)</math>
gilt.

: '''stetig von oben''', falls für jede monoton fallende Folge <math>(A_j)_{j \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_j \in \mathcal{C}</math>, <math>f(A_1)<\infty</math> und <math>\bigcap_{j \in \mathbb{N}}A_j \in \mathcal{C}</math>:
::<math>f\left(\bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i\right) = \inf_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)</math>
gilt.

: '''<math>\emptyset</math>-stetig von oben''', falls für jede monoton fallende Folge <math>(A_j)_{j \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_j \in \mathcal{C}</math>, <math>f(A_1)<\infty</math> und <math>\bigcap_{j \in \mathbb{N}}A_j =\emptyset</math>:
::<math> \inf_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)=0</math>
gilt.

== Beziehungen zwischen den Eigenschaften ==
* Jede σ-additive Mengenfunktion ist endlich additiv und jede endlich additive Mengenfunktion ist additiv.
* Jede endliche Mengenfunktion ist σ-endlich.
* Jede additive Mengenfunktion ist subtraktiv.
* Jede beschränkte Mengenfunktion ist endlich.
* Ist <math>\mathcal{C}</math> ein [[Ring (Mengensystem)|Ring]], so ist jede additive Mengenfunktion endlich additiv und jede subadditive Mengenfunktion ist endlich subadditiv.

== Literatur ==
* Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis.'' Band 3. 2. Auflage, Birkhäuser, Basel u. a. 2008, ISBN 978-3-7643-8884-3.
* Klaus D. Schmidt: ''Maß und Wahrscheinlichkeit.'' Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Mengenfunktion - Versionsgeschichte

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