imported>Schojoha: /* Eigenschaften */

2025-07-20T16:10:25Z

Eigenschaften

Neue Seite

Eine '''Mengenfolge''' ist ein Begriff aus der [[Mengenlehre]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Sie ist eine Verallgemeinerung einer [[Folge (Mathematik)|Folge von Zahlen]] für Mengen und findet beispielsweise Anwendung in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und der [[Maßtheorie]].

== Definition ==
Formal definiert ist eine Mengenfolge auf der Grundmenge <math> \Omega </math> eine [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]
:<math>\begin{matrix}
A \colon &\N &\to &\mathcal P (\Omega ), \\
& i &\mapsto &A_i,
\end{matrix}</math>

die jedem Index <math>i</math> aus der [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] <math>\N</math> ein Folgenglied <math>A_i</math> aus der [[Potenzmenge]] <math>\mathcal P (\Omega)</math> zuordnet.

Mit anderen Worten, eine Mengenfolge ist eine nummerierte Abfolge von Teilmengen einer gemeinsamen [[Grundmenge]].

== Beispiel ==
Ein Beispiel für eine Mengenfolge mit Grundmenge der natürlichen Zahlen <math> \Omega = \N </math> ist:

<math>A_i := \{i,i+1,\dots,i^{2}-1,i^2\}, \, i \in \N \; \; \Longrightarrow \; \; A_1=\{1\},\ A_2=\{2,3,4\},\ A_3=\{3,4,5,6,7,8,9\},\ \dots</math>

== Abgrenzung ==
Im Unterschied zum [[Mengensystem]] ist bei einer Mengenfolge (wie bei jeder Folge) die Reihenfolge der Folgenglieder von Bedeutung. Außerdem darf das gleiche Folgenglied durchaus auch mehrfach auftreten, aber eben mit unterschiedlichem Index.

Eine Mengenfolge ist ein Spezialfall einer [[Mengenfamilie]], wenn man bei der Familie als Indexmenge die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] wählt. Der Unterschied von der Mengenfolge zur Mengenfamilie ist, dass bei einer Mengenfamilie nicht notwendigerweise eine [[Ordnungsrelation]] auf den Indizes gegeben ist. Es gibt also nicht einen kleineren oder einer größeren Index. Diese Ordnung tragen die Indizes einer Mengenfolge automatisch über die natürliche Ordnung der natürlichen Zahlen.

== Eigenschaften ==
* Eine Mengenfolge heißt eine [[monotone Mengenfolge]], wenn sie eine [[monoton wachsende Mengenfolge]] oder eine [[monoton fallende Mengenfolge]] ist.
* Wie auch bei Zahlenfolgen lässt sich der [[Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen]] definieren.
* Mithilfe des Limes inferior und des Limes superior lässt sich auch [[Konvergente Mengenfolge|Konvergenz für Mengenfolgen]] definieren. Eine Mengenfolge konvergiert genau dann, wenn der Limes superior und der Limes inferior übereinstimmen. Beispielsweise konvergiert jede monotone Mengenfolge.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Jürgen Elstrodt|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Mengenfolge - Versionsgeschichte

imported>Schojoha: /* Eigenschaften */