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2020-07-24T17:11:41Z

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'''Mengen positiver Reichweite''' (''engl.'': sets with positive reach) sind in der [[Geometrie]] eine [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] von [[Teilmenge]]n [[Euklidischer Raum|Euklidischer Räume]] (oder allgemeiner [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannscher Mannigfaltigkeiten]]), die das Konzept [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] verallgemeinern. Sie wurden 1959 von dem [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] [[Mathematiker]] [[Herbert Federer]] eingeführt.<ref>Herbert Federer, ''Curvature measures'', Transactions of the American Mathematical Society 93, 418–491, 1959</ref> Mengen positiver Reichweite haben vor allem in der geometrischen [[Maßtheorie]] und der Krümmungstheorie Verbreitung gefunden. Sie sind fähig, reale Objekte flexibler zu modellieren als beispielsweise [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en und dennoch einfach genug, um [[Analysis|analytischen]] Methoden zugänglich zu sein.<ref>Christoph Thäle, ''Singuläre Krümmungstheorie'', Gastvortrag an der Universität Ulm, Gedächtnisprotokoll, 28. Mai 2008</ref>

== Definitionen ==

Sei <math>A \subseteq \R^n</math> eine Teilmenge eines Euklidischen Raumes.

'''Hinweis:''' Manche Autoren setzen hier eine nicht-leere Teilmenge einer glatten, [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] Riemannschen Mannigfaltigkeit voraus.<ref>Victor Bangert, ''Sets with positive reach''; in: Archiv der Mathematik 38/1, 54–57, 1982; zitiert nach: http://link.springer.com/10.1007%2FBF01304757?from=SL Aufgerufen am 25. Juni 2012</ref>

Weiter sei <math>d_A(x) := \inf_{a \in A} \| x-a\|_2 </math> die zugehörige [[Distanzfunktion]], wobei <math>\|.\|_2</math> die [[Euklidische Norm]] bezeichne.

Darauf aufbauend, lassen sich nun folgende Begriffe formulieren:

=== Eindeutig nächster Punkt ===
Mit
:<math>Unp(A) := \{x \in \R^n | \exists !\ a^* \in A : d_A(x) = \| x-a^* \|_2 \}</math>

wird die Menge aller ''eindeutig nächsten Punkte'' von <math>A</math> bezeichnet (von ''engl''.: '''un'''ique closest '''p'''oints). Der [[Quantor#Anzahlquantoren|Quantor]] <math>\exists !</math> meint dabei Existenz ''und'' Eindeutigkeit des nächsten Punktes in <math>A</math>.

Es ist leicht zu sehen, dass stets <math>A \subseteq Unp(A)</math> gelten muss.

Die kanonische [[Surjektion]] <math>\Pi_A \colon Unp(A) \to A\ ;\ x \mapsto a^*</math> wird die ''metrische Projektion'' auf <math>A</math> genannt. Eingeschränkt auf <math>A</math> ist sie die [[Identische Abbildung|Identität]].

=== Reichweite eines Punktes ===

Es sei für einen Punkt <math>x \in \R^n</math> und ein <math>\varepsilon >0</math> <math>B^\circ(x;\varepsilon) = \{ y \in \R^n | \|x- y \|_2 < \varepsilon \}</math> die [[offene Kugel]] um <math>x</math> mit [[Radius]] <math>\varepsilon</math>. Dann sei für einen Punkt <math>a \in A</math>

:<math>reach(A;a) := \sup \{r \ge 0 | B^\circ(a;r) \subseteq Unp(A) \}</math>

die ''Reichweite'' dieses Punktes.

=== Reichweite einer Menge ===

Obige Definition lässt sich in natürlicher Weise auf Mengen übertragen, so sei schließlich

:<math>reach\ A := \inf_{a \in A}\ reach(A;a)</math>

die ''Reichweite'' von <math>A</math>.

Es gibt eine anschauliche Erklärung dieses Begriffes: Hat eine Menge <math>A</math> positive Reichweite, dann ist ihr [[Rand (Topologie)|Rand]] <math>\partial A</math> glatt genug, um einen Ball mit Radius <math>reach\ A</math> an ihm entlang zu rollen.<ref>Christoph Thäle, ''50 Years sets of positive reach - A survey''; in: Surveys in Mathematics and its Applications Vol. 3, 123–165, 2008; zitiert nach: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/SMA/v03/v03.html Aufgerufen am 25. Juni 2012</ref>

== Eigenschaften ==

* Mengen mit positiver Reichweite sind notwendig [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], das heißt, der erwähnte Rand ist in der Menge enthalten.
* Eine Menge hat genau dann unendliche Reichweite, wenn sie abgeschlossen und konvex ist.
** Insbesondere hat also eine konvexe (abgeschlossene) Menge positive Reichweite.
* Eine [[Kompakter Raum|kompakte]] zusammenhängende [[Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums|<math>\mathcal C^2</math>-Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums]] hat positive Reichweite.
* Für beliebige Mengen <math>A</math> ist die Distanzfunktion <math>d_A</math> [[Lipschitz-stetig]] mit Konstante 1.
* Außerdem ist die Zuordnung <math>a \mapsto reach(A;a)</math> [[stetig]] auf <math>A</math>.
* Hat <math>A</math> zusätzlich positive Reichweite, so ist auch die metrische Projektion <math>\Pi_A</math> auf <math>A_r = \{ x \in \R^n | d_A(x) \le r \}</math> für jedes <math>0 \le r < reach\ A</math> Lipschitz-stetig.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Geometrie]]

Mengen positiver Reichweite - Versionsgeschichte

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