imported>AktiverKorrektor: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0 */

2025-04-22T09:11:59Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0

Neue Seite

Unter der '''Mellin-Transformation''' versteht man eine mit der [[Fourier-Transformation]] verwandte [[Integraltransformation]]. Sie ist benannt nach dem [[Finnland|finnischen]] Mathematiker [[Hjalmar Mellin]].

== Geschichte ==

Im Gegensatz zur [[Fourier-Transformation|Fourier-]] und zur [[Laplace-Transformation]], die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser [[Integraltransformation]] findet sich in einer Veröffentlichung von [[Bernhard Riemann]], der sie zur Untersuchung seiner [[Riemannsche Zeta-Funktion|Zeta-Funktion]] einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der [[Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] entwickelte er Methoden, um [[Hypergeometrische Differentialgleichung|hypergeometrische Differentialgleichungen]] zu lösen und [[Asymptotische Entwicklung|asymptotische Entwicklungen]] herzuleiten.<ref name="poularikas9.4">{{Literatur |Autor=Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez |Hrsg=Alexander D. Poularikas |Titel=The Transforms and Applications Handbook |Auflage=2. |Verlag=CRC Press |Datum=2000 |ISBN=978-0-8493-8595-7 |Kapitel=Kapitel 11.1}}</ref>

== Definition ==
Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon \R_+ \to \R</math> ist definiert als die Funktion

:<math>M_f(s) := \int \limits_{0}^\infty f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t</math>

für komplexe Zahlen <math>s</math>, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor <math>\tfrac{1}{\Gamma(s)}</math>, also

:<math> \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t. </math>

Dabei ist <math>\Gamma</math> die [[Gamma-Funktion]].

== Rücktransformation ==

Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation
:<math> f(x) = \frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \int \limits_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty} M_f(s)x^{-s} \mathrm{d}s </math>
von <math> M_f(s) </math> zu <math> f(x) </math> für jedes reelle <math> c </math> mit <math> b > c > a > 0 </math> möglich. Hierbei seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei positive [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]].
* das Integral <math> M_f(s) = \int_0^\infty f(x)x^{s-1} \mathrm{d}x </math> ist in dem Streifen <math> S = \{ s \in \mathbb{C} \ | \ a < \Re(s) < b\} </math> absolut konvergent
* <math>M_f(s)</math> ist in dem Streifen <math> S = \{ s \in \mathbb{C} \ | \ a < \Re(s) < b\} </math> [[Analytische Funktion|analytisch]]
* der Ausdruck <math> M_f(c \pm \mathrm{i}t) </math> strebt für <math> t \to \infty </math> und jedem beliebigen Wert <math> c </math> zwischen <math> a </math> und <math>b </math> gleichmäßig gegen 0
* die Funktion <math> f(x) </math> ist auf der positiven reellen Achse stückweise [[Stetige Funktion|stetig]], wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll ([[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]])

== Beziehung zur Fourier-Transformation ==
Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der [[Fourier-Transformation]]. Substituiert man nämlich im obigen Integral <math>t = e^x</math>, setzt man <math>F(x) = f(e^x)</math> und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion <math>F</math> mit <math>\widehat F</math>, so ist für reelle <math>s</math>

:<math>M_f(\mathrm{i}s) = \sqrt{2\pi}\widehat F(s)</math>.

== Beispiel zur Dirichletreihe ==
Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine [[Dirichletreihe]] <math>f</math> und eine [[Potenzreihe]] <math>F</math> zueinander in Beziehung setzen. Es seien

:<math>f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}</math> und <math>F(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n </math>

mit den gleichen <math>a_n</math>. Dann gilt

:<math>f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm{d}t</math>.

Setzt man hierin zum Beispiel alle <math>a_n=1</math>, so ist <math>f</math> die [[Riemannsche Zetafunktion]], und man erhält

:<math>\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1}\mathrm{d}t</math>
für <math>\operatorname{Re}(s)>1</math>.

== Literatur ==

* M. Koecher, A. Krieg, ''Elliptische Funktionen und Modulformen'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
* E. C. Titchmarsh, ''Introduction to the Theory of Fourier Integrals'', Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
* D. Zagier, ''Zetafunktionen und quadratische Körper'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

== Weblinks ==
*{{MathWorld|MellinTransform|Mellin Transform}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]
[[Kategorie:Harmonische Analyse]]

Mellin-Transformation - Versionsgeschichte

imported>AktiverKorrektor: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0 */