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Die '''G-Funktion''' wurde von [[Cornelis Simon Meijer]] (1904–1974) 1936 eingeführt. Die meisten bekannten [[Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] sind Spezialfälle dieser [[Funktion (Mathematik)|Funktion]].

Es gab auch andere Ansätze, die speziellen Funktionen zu verallgemeinern: Die [[verallgemeinerte hypergeometrische Funktion]] und die [[MacRobertsche E-Funktion]] wurden zum gleichen Zweck vorgeschlagen. Die Meiersche G-Funktion umfasst diese beiden Funktionen als Spezialfall. In seiner ersten Definition verwendet Meijer eine Reihe. Die heute übliche, allgemeinere Definition erfolgt über ein [[Kurvenintegral|Wegintegral]] in der [[komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] (siehe untenstehende Definition), die von [[Arthur Erdélyi]] 1953 vorgeschlagen wurde. Mit Hilfe dieser Definition und der [[Gamma-Funktion]] können die meisten speziellen Funktionen geschlossen dargestellt werden.

Durch Hinzunahme weiterer Parameter kann die G-Funktion zur noch allgemeineren [[Foxsche H-Funktion|Foxschen H-Funktion]] verallgemeinert werden (eingeführt 1961 von [[Charles Fox (Mathematiker)|Charles Fox]]).

== Definition ==

:<math>
G_{p,q}^{\,m,n} \left( \left. \begin{matrix} a_1, \dots, a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix}\; \right| \; z \right) = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_\mathcal{L} \frac{\prod_{j=1}^m \Gamma(b_j - s) \prod_{j=1}^n \Gamma(1 - a_j +s)} {\prod_{j=m+1}^q \Gamma(1 - b_j + s) \prod_{j=n+1}^p \Gamma(a_j - s)} z^s \,\mathrm{d}s
</math>,
wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die [[Gamma-Funktion]] ist. Dieses Wegintegral, längs eines geeigneten<ref>[http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/MeijerG/ Definition der G-Funktion auf Wolfram Mathworld]</ref> Weges <math>\mathcal{L}</math> in der komplexen Zahlenebene kann als inverse [[Mellintransformation]] aufgefasst werden. Das Integral existiert unter folgenden Voraussetzungen:
* <math>0 \le m \le q</math> und <math>0\le n\le p</math>, wobei <math>m, n, p</math> und <math>q</math> [[ganze Zahl]]en sind,
* <math>a_k - b_j \ne 1, 2, 3, \ldots</math> (<math>k = 1, 2, \ldots , n</math> und <math>j = 1, 2, \ldots, m</math>). Das stellt sicher, dass kein Pol von <math>\Gamma(b_j -s)</math>, <math>j = 1, 2, \ldots , m</math> mit irgendeinem Pol von <math>\Gamma(1-a_k +s)</math>, <math>k = 1, 2, \ldots, n</math> zusammenfällt,
* <math>z\neq 0</math>.

== Literatur ==
* Larry C. Andrews: ''Special Functions of mathematics for Engineers'', New York, ISBN 0-8194-2616-4.
* Cornelis Simon Meijer: ''Über Whittakersche bezw. Besselsche Funktionen und deren Produkte'', Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (4), 1936.

== Weblinks ==
* [http://mathworld.wolfram.com/MeijerG-Function.html ''Meijersche G-Funktion''] auf Wolfram-Mathworld (mit grafischen Darstellungen)
* [http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/MeijerG/ ''Meijersche G-Funktion''] auf Wolfram-Mathworld (systematisch)
* Richard Beals, Jacek Szmigielski: [http://www.ams.org/notices/201307/index.html ''Meijer G-functions: a gentle introduction''], Notices AMS, August 2013.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Meijersche G-Funktion - Versionsgeschichte

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