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2026-01-30T13:38:14Z

Regulärer Fall: Hinweis auf numerische Verteilungsfunktion gelöscht.

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[[Datei:Multivariate normal density.png|mini|300px|Dichte einer zweidimensionalen (bivariaten) Normalverteilung im dreidimensionalen Raum]]
Die '''mehrdimensionale''' oder '''multivariate Normalverteilung''' ist eine [[multivariate Verteilung]] in der [[Multivariate Statistik|multivariaten Statistik]]. Sie stellt eine Verallgemeinerung der (eindimensionalen) [[Normalverteilung]] auf mehrere [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] dar.<ref>''Mehrdimensionale'' und ''multivariate'' Normalverteilung werden in diesem Artikel synonym verwendet. Bei Hartung/Elpelt: ''Multivariate Statistik'' haben sie aber (in Kapitel 1, Abschnitt 5) unterschiedliche Bedeutungen: hier ist die multivariate Normalverteilung eine Matrix-Verteilung.</ref> Eine '''zweidimensionale Normalverteilung''' wird auch '''bivariate Normalverteilung''' genannt.

Bestimmt wird eine mehrdimensionale Normalverteilung durch zwei Verteilungsparameter – den [[Erwartungswertvektor]] <math>\boldsymbol{\mu}</math> und durch die [[Kovarianzmatrix]] <math>\mathbf{\Sigma}</math>, welche den Parametern <math>\mu</math> ([[Erwartungswert]]) und <math>\sigma^2</math> ([[Varianz (Stochastik)|Varianz]]) der eindimensionalen Normalverteilungen entsprechen.

Mehrdimensional normalverteilte Zufallsvariablen treten als Grenzwerte bestimmter Summen unabhängiger mehrdimensionaler Zufallsvariablen auf.
Dies ist die Verallgemeinerung des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]] zum [[Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz|mehrdimensionalen zentralen Grenzwertsatz]].

Weil sie entsprechend dort auftreten, wo mehrdimensionale zufällige Größen als Überlagerung vieler voneinander unabhängiger Einzeleffekte angesehen werden können, haben sie für die Praxis eine große Bedeutung.

Aufgrund der sogenannten [[Reproduktivitätseigenschaft]] der mehrdimensionalen Normalverteilung lässt sich die Verteilung von Summen (und [[Linearkombination]]en) mehrdimensional normalverteilter Zufallsvariablen konkret angeben.

== Die mehrdimensionale Normalverteilung ==

Die mehrdimensionale Normalverteilung kann auf verschiedene Arten definiert werden. Zu unterscheiden sind die Fälle, wenn es sich bei der Kovarianz-Matrix um eine reguläre oder singuläre Matrix handelt.

=== Allgemeiner Fall ===

Ein <math>p</math>-dimensionaler reeller Zufallsvektor <math>\mathbf{X}</math> folgt einer mehrdimensionalen Normalverteilung, geschrieben <math>
\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol\Sigma) </math>, wenn ein <math>d</math>-dimensionaler standardnormalverteilter Zufallsvektor <math>\mathbf{Z}</math>, ein <math>p</math>-dimensionaler Vektor <math>\boldsymbol{\mu}</math> sowie eine <math>p \times d</math>-Matrix <math>\boldsymbol{A}</math> existiert, so dass
:<math>\mathbf{X}\;\stackrel{(d)}{=}\; \boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{A} \mathbf{Z}</math>.
Dabei bezeichnet das Symbol <math>\stackrel{(d)}{=}</math> die [[verteilungsgleich|Gleichheit in Verteilung]], d. h., dass die Zufallsvektoren auf der rechten und linken Seite des Symbols dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen. Es gilt dann
<math>\boldsymbol\Sigma =\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathsf{T}</math>, wobei Index <math>^\mathsf{T}</math> die [[Transponierte Matrix|Transponierung]] bezeichnet.

Oder in Formeln:

:<math>
\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\mathbf{\mu}, \boldsymbol\Sigma) \iff \exist \boldsymbol{\mu}\in\mathbb{R}^p,\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{p\times d} \colon \;\mathbf{X}\stackrel{(d)}{=}\;\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{A} \mathbf{Z} \text{ und } \forall n=1,\ldots,p : Z_n \sim\ \mathcal{N}(0, 1), \text{i.i.d.}
</math>

=== Regulärer Fall ===
[[Datei:Csv-bivariate-normal-distribution.svg|mini|200px|10000 Stichproben einer zweidimensionalen Normalverteilung mit <math>\sigma_1=1</math>, <math>\sigma_2=2</math> und ρ = 0.7]]

Eine <math>p</math>-dimensionale reelle Zufallsvariable <math>\mathbf{X}</math> ist mehrdimensional normalverteilt mit [[Erwartungswertvektor]] <math>\boldsymbol{\mu}</math> und [[symmetrische Matrix|symmetrischer]], [[positiv definite Matrix|positiv definiter]] (also ''regulärer'') Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma}</math>, wenn sie eine [[Dichtefunktion]] der Form<ref>Alvin C. Rencher, G. Bruce Schaalje: ''Linear models in statistics.'' John Wiley & Sons, 2008, S. 89. [https://www.utstat.toronto.edu/~brunner/books/LinearModelsInStatistics.pdf (utstat.toronto.edu)]</ref>
:<math>f_X(\mathbf{x})= \frac{1}{ \sqrt{(2\pi)^p \det(\mathbf{\Sigma})} } \exp \left(-\frac{1}{2}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathsf{T}{\mathbf{\Sigma}}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu}) \right)</math>
besitzt. Dabei bezeichnen <math>\det(\mathbf{\Sigma})</math> die [[Determinante]] der Matrix <math>\mathbf{\Sigma}</math>, der Index <math>^\mathsf{T}</math> die [[Transponierte Matrix|Transponierung]] und <math>\mathbf{\Sigma}^{-1}</math> die [[Inverse Matrix|Inverse]] der Matrix <math>\mathbf{\Sigma}</math>.

Man schreibt
:<math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}_{p}(\boldsymbol\mu,\mathbf{\Sigma})</math>.
Das [[Subskript]] <math>p</math> ist die Dimension der <math>p</math>-dimensionalen Normalverteilung und zeigt die Anzahl der Variablen an, d. h., <math>\mathbf{X}</math> ist <math>p\times 1</math>, <math>\boldsymbol{\mu}</math> ist <math>p\times 1</math> und <math>\mathbf{\Sigma}</math> ist <math>p\times p</math>.<ref>Alvin C. Rencher, G. Bruce Schaalje: ''Linear models in statistics.'' John Wiley & Sons, 2008, S. 90. [https://www.utstat.toronto.edu/~brunner/books/LinearModelsInStatistics.pdf (utstat.toronto.edu)]</ref>.

Der Wert im Exponentialteil der Dichtefunktion <math>({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathsf{T}{\mathbf{\Sigma}}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})</math> entspricht dem [[Mahalanobis-Abstand]], welcher den Abstand vom Testpunkt <math>{\mathbf x}</math> zum Mittelwert <math>{\boldsymbol\mu}</math> darstellt. Im Vergleich mit der Dichtefunktion der eindimensionalen Normalverteilung spielt bei der mehrdimensionalen Normalverteilung die Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma}</math> die Rolle der [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Varianz <math>\sigma^2</math>.

=== Singulärer Fall ===
Wenn die Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma}</math> singulär ist, kann man <math>\mathbf{\Sigma}</math> nicht invertieren, dann gibt es keine Dichte in der oben angegebenen Form. Gleichwohl kann man auch dann die mehrdimensionale Normalverteilung definieren, jetzt allerdings über die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]].

Eine <math>p</math>-dimensionale reelle Zufallsvariable <math>\mathbf{X}</math> heißt normalverteilt mit Erwartungswertvektor <math>\boldsymbol{\mu}</math> und symmetrischer, positiv semidefiniter (also nicht notwendig regulärer) Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma}</math>, wenn sie eine charakteristische Funktion der folgenden Form hat:
:<math>\phi(\mathbf t)=\exp \left(i\mathbf{t}^\mathsf{T} \boldsymbol{\mu}- \frac{1}{2}\mathbf{t}^\mathsf{T}\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}\right),\quad \mathbf{t}\in\R^p</math>.
Wenn <math>\mathbf{\Sigma}</math> regulär ist, existiert eine Wahrscheinlichkeitsdichte in obiger Form, wenn <math>\mathbf{\Sigma}</math> singulär ist, dann existiert im <math>p</math>-dimensionalen Raum <math>\R^p</math> keine Dichte bzgl. des [[Lebesgue-Maß]]es. Sei <math>\operatorname{Rang}\mathbf{\Sigma}=q<p</math>, dann gibt es allerdings eine <math>q</math>-dimensionale Linearform <math>\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X}</math>, wobei <math>\mathbf{A}</math> eine <math>(q \times p)</math>-Matrix ist, die einer <math>q</math>-dimensionalen Normalverteilung mit existierender Dichte im <math>\R^q</math> genügt.

== Eigenschaften ==
Die mehrdimensionale Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:

* Sind die Komponenten von <math>\mathbf{X}</math> paarweise unkorreliert, so sind sie auch [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängig]].

* Die [[affine Transformation]] <math>\mathbf{Y} = \mathbf{a} + \mathbf{B} \, \mathbf{X}</math> mit einer Matrix <math>\mathbf{B} \in \R^{q\times p}</math> und einem konstanten Vektor <math>\mathbf{a}\in\R^q</math> ist <math>q</math>-dimensional normalverteilt: <math>\mathbf{Y} \sim \mathcal{N}_{q}(\mathbf{a} + \mathbf{B} \boldsymbol{\mu}, \mathbf{B}\mathbf{\Sigma} \mathbf{B}^\mathsf{T})</math>. Für die Definition des regulären Falles muss aber zusätzlich <math>q \le p</math> und <math>\mathbf{B}\mathbf{\Sigma} \mathbf{B}^\mathsf{T}\,</math> nichtsingulär sein.

* Die affine Transformation
::<math>\mathbf{Y} = \mathbf{\Sigma}^{-\frac 1 2}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})</math>
: [[Standardisierung (Statistik)|standardisiert]] den [[Zufallsvektor]] <math>\mathbf{X}\,</math>: es ist <math>\mathbf{Y} \sim \mathcal{N}_p(\boldsymbol{0},\mathbf{I})\,</math> (mit [[Einheitsmatrix]] <math>\mathbf{I}</math>).

* [[Bedingter Erwartungswert|Bedingte Verteilung]] bei partieller Kenntnis des Zufallsvektors: Bedingt man einen mehrdimensional normalverteilten Zufallsvektor auf einen Teilvektor, so ist das Ergebnis selbst wieder mehrdimensional normalverteilt, für
::<math>\mathbf{X} = \binom{\mathbf{X}_1}{\mathbf{X}_2} \sim \mathcal{N}\left(\binom{\boldsymbol{\mu}_1}{\boldsymbol{\mu}_2}, \begin{pmatrix}{\mathbf{\Sigma}}_{11} & {\mathbf{\Sigma}}_{12} \\ {\mathbf{\Sigma}}_{21} & {\mathbf{\Sigma}}_{22}\end{pmatrix}\right)</math>
: gilt
::<math>\mathbf{X}_1 \mid \mathbf{X}_2 \sim \mathcal{N}\left(\boldsymbol{\mu}_1 + \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1} (\mathbf{X}_2 - \boldsymbol{\mu}_2), \mathbf{\Sigma}_{11} - \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21}\right) </math>.
: Insbesondere hängt der bedingte Erwartungswert linear vom Wert <math>\mathbf{x}_2</math> des Zufallsvektors <math>\mathbf{X}_2</math> ab, denn es gilt
:: <math> \mathbb{E}[\mathbf{X}_1 \mid \mathbf{X}_2 = \mathbf{x}_2] = \boldsymbol{\mu}_1 + \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1} (\mathbf{x}_2 - \boldsymbol{\mu}_2) </math>.
: und die bedingte Kovarianzmatrix ist unabhängig vom Wert von <math>\mathbf{X}_2</math>, denn es gilt
:: <math> \mathbb{V}[\mathbf{X}_1 \mid \mathbf{X}_2 = \mathbf{x}_2] = \mathbf{\Sigma}_{11} - \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21}</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] von <math>X\sim \mathcal{N}_p(\boldsymbol{\mu},\mathbf{\Sigma})</math> ist gegeben durch
:<math>\phi_X(\mathbf t)=\exp \left(i\mathbf{t}^\mathsf{T} \boldsymbol{\mu}- \frac{1}{2}\mathbf{t}^\mathsf{T}\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}\right)</math>
für <math>\mathbf{t}=(t_1,\dots,t_p)^\mathsf{T}\in\R^p</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] von <math>X\sim \mathcal{N}_p(\boldsymbol{\mu},\mathbf{\Sigma})</math> ist gegeben durch
:<math>M_X(\mathbf t)=\exp \left(\mathbf{t}^\mathsf{T} \boldsymbol{\mu}+ \frac{1}{2}\mathbf{t}^\mathsf{T}\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}\right)</math>
für <math>\mathbf{t}=(t_1,\dots,t_p)^\mathsf{T}\in\R^p</math>.

== Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung ==
[[Datei:Multivariate normal sample.svg|mini|Bivariate Normalverteilung mit Randverteilungen]]
Sei <math>\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_p (\boldsymbol \mu,\mathbf{\Sigma})</math> mehrdimensional normalverteilt. Für eine beliebige [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] <math>\mathbf{X} =: (\mathbf{X}_1 , \mathbf{X}_2)</math> mit <math>\mathbf{X}_1 \in \mathbb{R}^k</math> und <math>\mathbf{X}_2 \in \mathbb{R}^{p-k}</math>, <math>k < p</math>, gilt, dass die [[Randverteilung]]en <math>\mathrm{P}_{\mathbf{X}_1}</math> und <math>\mathrm{P}_{\mathbf{X}_2}</math> (mehrdimensionale) Normalverteilungen sind.

Die Umkehrung gilt allerdings nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei <math>\mathbf{X}_1 \sim \mathcal{N}_k (\mathbf{0}, \mathbf{I}_k)</math> und sei <math>\mathbf{X}_2</math> definiert durch
:<math>\mathbf{X}_2 := \left\{ \begin{array}{rl}
\mathbf{X}_{1} & \text{ mit Wahrscheinlichkeit }p_{1}\\
-\mathbf{X}_{1} & \text{ mit Wahrscheinlichkeit }p_{2},
\end{array}\right.</math>

wobei <math>p_1 + p_2 = 1</math>. Dann ist ebenso <math>\mathbf{X}_2 \sim \mathcal{N}_k(\mathbf{0},\mathbf{I}_k)</math> und
:<math>\operatorname{Cov}\left(\mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2}\right) = \left(\begin{array}{cc}
\mathbf{I}_{k} & \left(p_{1}-p_{2}\right)\mathbf{I}_{k}\\
\left(p_{1}-p_{2}\right)\mathbf{I}_{k} & \mathbf{I}_{k}
\end{array}\right)</math>.

Demnach ist die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] (und damit der [[Korrelationskoeffizient]]) von <math>\mathbf{X}_1</math> und <math>\mathbf{X}_2</math> gleich null genau dann, wenn <math>p_1 = p_2 = \tfrac{1}{2}</math>. Aus der Unkorreliertheit zweier Zufallsvariablen <math>\mathbf{X}_1</math> und <math>\mathbf{X}_2</math> würde im mehrdimensional normalverteilten Fall sofort die Unabhängigkeit folgen (Besonderheit der mehrdimensionalen Normalverteilung), da aber <math>\mathbf{X}_1</math> und <math>\mathbf{X}_2</math> nach Definition nicht unabhängig sind (<math>\mathbf{X}_2</math> immer gleich <math>\pm \mathbf{X}_1</math>), kann insbesondere <math>\mathbf{X} := (\mathbf{X}_1 , \mathbf{X}_2)</math> nicht mehrdimensional normalverteilt sein.

== Die ''p''-dimensionale Standardnormalverteilung ==
Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>\R^p</math>, das durch die Dichtefunktion
:<math>f_X: \R^p \to \R,\,(x_1,\ldots,x_p) \mapsto \frac 1{\sqrt{(2\pi)^p}} \exp\left( -\frac 12 \sum_{i=1}^p x_i^2 \right)</math>
definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension <math>p</math>. Die <math>p</math>-dimensionale Standardnormalverteilung ist abgesehen von Translationen (d. h. Erwartungswert <math>\mu\ne0</math>) und uniformer Skalierung (d. h. Kovarianzmatrix <math>\Sigma = \sigma^2 E</math>) die einzige mehrdimensionale Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind und deren Dichte zugleich
[[Rotationssymmetrie|rotationssymmetrisch]] ist.

== Momente und Kumulanten ==
Wie im eindimensionalen Fall, sind alle [[Moment (Stochastik)|Momente]] der mehrdimensionalen Normalverteilung durch die ersten beiden Momente definiert. Alle [[Kumulante]]n außer den ersten beiden sind null. Die ersten beiden Kumulanten sind dabei der Erwartungswertvektor <math>\boldsymbol{\mu}</math> und die Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma}</math>. In Bezug auf das mehrdimensionale [[Moment (Integration)#Momentenproblem|Momentenproblem]] hat die Normalverteilung die Eigenschaft, dass sie durch ihre Momente eindeutig definiert ist. Das heißt, wenn alle Momente einer mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung existieren und den Momenten einer mehrdimensionalen Normalverteilung entsprechen, ist die Verteilung die eindeutige mehrdimensionale Normalverteilung mit diesen Momenten.<ref>Christian Kleiber, Jordan Stoyanov: ''Multivariate distributions and the moment problem.'' In: ''Journal of Multivariate Analysis.'' Vol. 113, Januar 2013, S. 7–18, [[doi:10.1016/j.jmva.2011.06.001]].</ref>

== Verallgemeinerungen ==
Es gibt unterschiedliche Wege die mehrdimensionale Normalverteilung zu verallgemeinern.
* Eine [[Zufallsmatrix]], deren Einträge der Normalverteilung folgen, folgt der [[matrixwertige Normalverteilung|matrixwertigen Normalverteilung]]. Dies lässt sich wie folgt definieren:<ref>{{literatur|Titel=Matrix Variate Distributions|Autor=A. K. Gupta und D. K. Nagar|Hrsg=Chapman and Hall/CRC|Datum=2000|DOI=10.1201/9780203749289}}</ref>
:: Eine <math>p\times n</math>-Zufallsmatrix <math>X</math> folgt der matrixwertigen Normalverteilung mit Erwartungswertmatrix <math>M</math> und Kovarianzstruktur <math>\Sigma \otimes \Phi</math>, wenn <math>\operatorname{vec}(X')\sim \mathcal{N}_{pn}(\operatorname{vec}(M'),\Sigma \otimes \Phi)</math>, wobei hier <math>\operatorname{vec}(\cdot)</math> die [[Vektorisierung (Mathematik)|Vektorisierung]] und <math>\mathcal{N}_{pn}</math> die <math>pn</math>-dimensionale Normalverteilung bezeichnet, <math>\Sigma</math> ist <math>p\times p</math> und <math>\Phi</math> ist <math>n\times n</math>.
* Es existiert eine [[komplexe mehrdimensionale Normalverteilung]].
* Es existiert eine mehrdimensionale Verteilung der [[verallgemeinerte Normalverteilung|verallgemeinerten Normalverteilung]].
* Die multivariate Normalverteilung gehört zu den [[elliptische Verteilung|elliptischen Verteilung]], welche eine Dichte der Form
::<math>f_X(\mathbf{x})=ch((\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^\mathsf{T}\boldsymbol{\Sigma^{-1}}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}))</math>
: besitzen.

== Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung ==
Die Dichtefunktion der zweidimensionalen oder bivariaten Normalverteilung mit Mittelwerten <math>\mu_1 = \mu_2 = 0</math> und <math>\sigma_1^2=\sigma_2^2=1</math> und [[Korrelationskoeffizient]] <math>\varrho</math> ist

:<math>f_X(x_1,x_2) = \frac 1{2\pi\sqrt{1-\varrho^2}}
\exp\left(
-\frac 1{2(1-\varrho^2)}
(x_1^2 - 2\varrho\,x_1 x_2 + x_2^2)
\right).</math>

[[Datei:BivariateNormalSamples.png|mini|zentriert|570px|Jeweils 10.000 Stichproben zweidimensionaler Normalverteilungen mit ρ = −0.8, 0, 0.8 (alle Varianzen sind 1).]]

Im zweidimensionalen Fall mit Mittelwerten <math>\mu_1 = \mu_2 = 0</math> und beliebigen Varianzen ist die Dichtefunktion

:<math>f_X(x_1,x_2)
=
\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\varrho^2}} \,
\exp
\left(
-\frac{1}{2 (1-\varrho^2)}
\left[
\frac{x_1^2}{\sigma_1^2} +
\frac{x_2^2}{\sigma_2^2} -
\frac{2 \varrho x_1 x_2}{\sigma_1 \sigma_2}
\right]
\right).
</math>

Den allgemeinen Fall mit beliebigen Mittelwerten und Varianzen bekommt man durch Translation (ersetze <math>x_1</math> durch <math>x_1-\mu_1</math> und <math>x_2</math> durch <math>x_2-\mu_2</math>)

:<math>f_X(x_1,x_2)
=
\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\varrho^2}} \,
\exp
\left(
-\frac{1}{2 (1-\varrho^2)}
\left[
\frac{\left(x_1-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2} +
\frac{\left(x_2-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2} -
\frac{2 \varrho \left(x_1-\mu_1\right) \left(x_2-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}
\right]
\right).
</math>

== Beispiel für eine mehrdimensionale Normalverteilung ==

Betrachtet wird eine Apfelbaumplantage mit sehr vielen gleich alten, also vergleichbaren Apfelbäumen. Man interessiert sich für die [[Statistische Variable|Merkmale]] Größe der Apfelbäume, die Zahl der Blätter und die Erträge. Es werden also die Zufallsvariablen definiert:

:<math>X_1</math>: Höhe eines Baumes [m]; <math>X_2</math>: Ertrag [100 kg]; <math>X_3</math>: Zahl der Blätter [1000 Stück].

Die Variablen sind jeweils normalverteilt wie
:<math>X_1 \sim \mathcal{N}(4;1); \quad X_2 \sim \mathcal{N}(20;100); \quad X_3 \sim \mathcal{N}(20;225)</math>.

Die meisten Bäume sind also um <math>4 \pm 1\, \operatorname{m}</math> groß, sehr kleine oder sehr große Bäume sind eher selten. Bei einem großen Baum ist der Ertrag tendenziell größer als bei einem kleinen Baum, aber es gibt natürlich hin und wieder einen großen Baum mit wenig Ertrag. Ertrag und Größe sind korreliert, die Kovarianz beträgt <math>\operatorname{Cov}(X_1, X_2) = 9</math> und der Korrelationskoeffizient <math>\varrho_{12} = 0{,}9</math>.

Ebenso ist <math>\operatorname{Cov}(X_1, X_3)=12{,}75</math> mit dem Korrelationskoeffizienten <math>\varrho_{13} = 0{,}85</math>, und <math>\operatorname{Cov}(X_2,X_3)=120</math> mit dem Korrelationskoeffizienten <math>\varrho_{23} = 0{,}8</math>.

Fasst man die drei Zufallsvariablen im Zufallsvektor <math>\mathbf{X} := (X_1, X_2, X_3)</math> zusammen, ist <math>\mathbf{X}</math> mehrdimensional normalverteilt. Dies gilt allerdings nicht im Allgemeinen (vgl. [[#Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung|Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung]]). Im vorliegenden Fall gilt dann für die [[Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|gemeinsame Verteilung]] von <math>\mathbf{X}</math>

:<math>\boldsymbol \mu =
\begin{pmatrix}
4\\
20\\
20
\end{pmatrix}
</math>

und

:<math>\mathbf{\Sigma}=
\begin{pmatrix}
1 & 9 & 12{,}75\\
9 & 100 & 120\\
12{,}75 & 120 & 225
\end{pmatrix}.
</math>

Die entsprechende [[Stichproben-Korrelationsmatrix]] lautet

:<math>\mathbf{R}=
\begin{pmatrix}
1 & 0{,}9 & 0{,}85\\
0{,}9 & 1 & 0{,}8\\
0{,}85 & 0{,}8 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

== Schätzung der Parameter der mehrdimensionalen Normalverteilung ==
Bei Anwendungen in der Statistik sind in der Regel die Verteilungsparameter einer <math>p</math>-dimensionalen Normalverteilung nicht bekannt. Diese Parameter müssen also [[Schätzfunktion|geschätzt]] werden.

Man zieht eine Stichprobe vom Umfang <math>T</math>. Jede [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] <math>t\in\{1,\ldots,T\}</math> des Zufallsvektors <math>\mathbf{x}</math> könnte man als Punkt in einem <math>K</math>-dimensionalen Hyperraum auffassen. Man erhält so die <math>\mathbf X</math> eine <math>T \times p</math>-Matrix (Versuchsplan- oder [[Datenmatrix]]):

:<math>\mathbf X= \begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} & \cdots & x_{1p}\\
x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} & \cdots & x_{2p}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{t1} & x_{t2} & \cdots & x_{tk} & \cdots & x_{tp}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{T1} & x_{T2} & \cdots & x_{Tk} & \cdots & x_{Tp}
\end{pmatrix}_{(T \times p)}
= \begin{pmatrix}
\ \mathbf x_1^\mathsf{T} \\
\ \mathbf x_2^\mathsf{T} \\
\vdots\\
\ \mathbf x_t^\mathsf{T}\\
\vdots\\
\\ \mathbf x_T^\mathsf{T}
\end{pmatrix}_{(T \times p)} = \begin{pmatrix} \mathbf x_{(1)} \mathbf x_{(2)} & \cdots & \mathbf x_{(k)} & \cdots & \mathbf x_{(K)} \end{pmatrix}_{(T \times p)}
\quad </math>, wobei <math>\quad \mathbf x_{(1)}\equiv 1\!\!1_T
= \begin{pmatrix}
1\\
1 \\
\vdots\\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}_{(T \times 1)}
</math>

die in jeder Zeile die Koordinaten eines Punktes enthält (siehe [[Multiple lineare Regression#Das klassische Modell der linearen Mehrfachregression|multiplen linearen Modell in Matrixschreibweise]]).

Der Erwartungswertvektor wird geschätzt durch den Mittelwertvektor der <math>K</math> [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittelwerte]] der Spalten von <math>\mathbf{X}</math>

:<math>\widehat{\operatorname{E}(\mathbf{x})} = \overline \mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
\overline x_1\\
\overline x_2\\
\vdots\\
\overline x_k\\
\vdots\\
\overline x_p
\end{pmatrix}
</math>

mit den Komponenten

:<math>\overline x_k = \frac 1T\sum_{t=1}^T x_{tk}</math>.
Dieser Schätzer ist bzgl. der [[Mittlere quadratische Abweichung|mittleren quadratischen Abweichung]] der [[Bester erwartungstreuer Schätzer|beste erwartungstreue Schätzer]] für den Erwartungswertvektor. Allerdings ist er für <math>K>2</math> nicht [[Zulässige Entscheidungsfunktion|zulässig]] im Sinne der [[Entscheidungstheorie]]. Es gibt dann bessere Schätzer, z. B. den [[James-Stein-Schätzer]].

Für die Schätzung der Kovarianzmatrix erweist sich die bezüglich der arithmetischen Mittelwerte [[Zentrierung (Statistik)|zentrierte]] Datenmatrix <math>\mathbf{X}^*</math> als nützlich. Sie berechnet sich als

:<math>\mathbf{X}^* = \mathbf{X} - \mathbf{X}_{(1)}=1\!\!1_T\cdot \overline \mathbf{x}^\mathsf{T}</math>,

mit den Elementen <math>x^*_{tk}</math>, wobei <math>\mathbf{x}_{(1)}=1\!\!1_T</math> den [[Einsvektor]], einen Spaltenvektor der Länge <math>T</math> mit lauter Einsen, darstellt. Es wird also bei allen Einträgen das arithmetische Mittel der zugehörigen Spalte subtrahiert.

Die geschätzte <math>(p\times p)</math>-Kovarianzmatrix
ergibt sich als
:<math>\hat\mathbf{\Sigma} =\mathbf{S} = \frac 1{T-1}\mathbf{X}^{*\mathsf{T}}\mathbf{X}^{*}</math>
mit den Komponenten
:<math>s_{jk} = \frac 1{T-1}\sum_{t=1}^\mathsf{T} x^*_{tj}x^*_{tk}\quad\text{für}j,k =1,\ldots,p</math>.

Die [[Korrelationsmatrix]] in der Grundgesamtheit <math>\mathbf{P}</math> wird geschätzt durch die paarweisen Korrelationskoeffizienten

:<math>r_{jk} = \frac{\sum\limits_{t=1}^\mathsf{T} x^*_{tj}x^*_{tk}} {\sqrt{\sum\limits_{t=1}^\mathsf{T} {x^*_{tj}}^2}\sqrt{\sum\limits_{t=1}^\mathsf{T} {x^*_{tk}}^2}}</math>,

auf ihrer [[Hauptdiagonale]]n stehen Einsen.

== Beispiel zu Stichproben ==
Es wurden 10 Apfelbäume zufällig ausgewählt und jeweils 3 Eigenschaften gemessen: <math>X_1</math>: Höhe eines Baumes [m]; <math>X_2</math>: Ertrag [100 kg]; <math>X_3</math>: Zahl der Blätter [1000 Stück].
Diese <math>10</math> Beobachtungen werden in der Datenmatrix <math>\mathbf{X}</math> zusammengefasst:

:<math>\mathbf{X} =
\begin{pmatrix}
3{,}3&24& 27 \\
4{,}9& 41&55\\
5{,}9& 46&52 \\
5{,}2& 49&54\\
3{,}6& 29 &34 \\
4{,}2&33& 51 \\
5{,}0&42& 43\\
5{,}1&35& 54 \\
6{,}8&60& 70 \\
5{,}0&41&50
\end{pmatrix}
</math>.

Die Mittelwerte berechnen sich, wie beispielhaft an <math>\overline x_1</math> gezeigt, als

:<math>\overline x_1=\frac{1}{10}(3{,}3+4{,}9+\ldots+5{,}0)=4{,}9</math>.

Sie ergeben den Mittelwertvektor

:<math>\overline{\mathbf{x}}=
\begin{pmatrix}
4{,}9\\
40\\
49
\end{pmatrix}
</math>.

Für die zentrierte Datenmatrix <math>\mathbf{X}^{*}</math> erhält man die zentrierten Beobachtungen, indem von den Spalten der entsprechende Mittelwert abzogen wird:

:<math>
\begin{array}{lll}
3{,}3 - 4{,}9 = -1{,}6 & 24 - 40 = -16 & 27 - 49 = -22\\
4{,}9 - 4{,}9 = 0 & 41 - 40 = 1 & 55 - 49 = 6\\
\vdots
\end{array}
</math>,

also

:<math>\mathbf{X}^{*} =
\begin{pmatrix}
-1{,}6&-16& -22 \\
0{,}0& 1&6\\
1{,}0& 6&3 \\
0{,}3& 9&5\\
-1{,}3& -11 &-15 \\
-0{,}7&-7& 2 \\
0{,}1&2& -6\\
0{,}2&-5& 5 \\
1{,}9&20& 21 \\
0{,}1&1&1
\end{pmatrix}
</math>.

Man berechnet für die [[Stichprobenkovarianz]]matrix die Kovarianzen, wie im Beispiel,

:<math>s_{12} = \widehat{\operatorname{Cov}}(X_1,X_2)=\frac 19(-1{,}6 \cdot (-16)+0\cdot 1+\ldots+0{,}1\cdot 1) = \frac{90{,}80}{9}\approx 10{,}09</math>

und entsprechend die Varianzen

:<math>s_{22} = \widehat{\operatorname{Var}}(X_2)=\frac{1}{9}((-16)^2 +1^2+\ldots+1^2) = \frac{974}{9}\approx 108{,}22</math>,

so dass sich die [[Stichproben-Kovarianzmatrix]]

:<math>\mathbf{S} =
\begin{pmatrix}
1{,}06&10{,}09&10{,}91 \\
10{,}09& 108{,}22&106{,}22\\
10{,}91& 106{,}22&142{,}89
\end{pmatrix}
</math>

ergibt.

Entsprechend erhält man für die [[Stichproben-Korrelationsmatrix]] zum Beispiel

:<math> r_{12}=\frac{10{,}09}{\sqrt{1{,}06\cdot 108{,}22 }} \approx 0{,}9439</math>

bzw. insgesamt

:<math>\mathbf{R} =
\begin{pmatrix}
1&0{,}9439&0{,}8884 \\
0{,}9439& 1&0{,}8542\\
0{,}8884& 0{,}8542&1
\end{pmatrix}
</math>.

== Erzeugung mehrdimensionaler, normalverteilter Zufallszahlen ==
Eine oft verwendete Methode zur Erzeugung eines Zufallsvektors <math>\mathbf{X}</math> einer <math>p</math>-dimensionalen Normalverteilung mit gegebenem Erwartungswertvektor <math>\boldsymbol{\mu} \in \R^p</math> und gegebener ([[Symmetrische Matrix|symmetrischer]] und [[positiv definit]]er) Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma} \in \R^{p \times p}</math> kann wie folgt angegeben werden:

# Bestimme eine Matrix <math>\mathbf{A}</math>, so dass <math>\mathbf{A}\mathbf{A}^\mathsf{T} = \mathbf{\Sigma}</math>. Dazu kann die [[Cholesky-Zerlegung]] von <math>\mathbf{\Sigma}</math> oder die [[Quadratwurzel einer Matrix|Quadratwurzel]] von <math>\mathbf{\Sigma}</math> verwendet werden.
# Sei <math>\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_p)^\mathsf{T}</math> ein Vektor, dessen <math>p</math> Komponenten stochastisch unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind. Standardnormalverteilte Zufallszahlen können beispielsweise mit Hilfe der [[Box-Muller-Methode]] generiert werden.
# Mit der [[Affine Abbildung|affinen Transformation]] <math>\mathbf{X} = \boldsymbol{\mu} + \mathbf{A}\mathbf{Z}</math> ergibt sich die gewünschte <math>p</math>-dimensionale Normalverteilung.

== Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung ==
{{Siehe auch|Streukreisradius}}
Für eindimensionale normalverteilte Zufallsvariablen liegen ungefähr 68,27 % der Realisierungen im Intervall <math>\mu \pm \sigma</math>, für mehrdimensionale normalverteilte Zufallsvariablen sind die Regionen konstanter Wahrscheinlichkeit durch [[Ellipse]]n (die Standardabweichungsellipsen) gegeben, welche um den Mittelwert zentriert sind. Die Hauptachsen der Ellipse sind durch die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix <math>\Sigma</math> gegeben, die Länge der Halbachsen ist die Quadratwurzel des zur jeweiligen Hauptachse gehörenden Eigenwertes <math>\sigma_i</math>.
Eine Realisierung der Zufallsvariablen in der Region anzutreffen, welche durch die (mehrdimensionale) Standardabweichungsellipse begrenzt wird, ist für eine mehrdimensional normalverteilte [[Zufallsvariable]] weniger wahrscheinlich.<ref>{{Literatur |Autor=Bin Wang, Wenzhong Shi, Zelang Miao |Titel=Confidence Analysis of Standard Deviational Ellipse and Its Extension into Higher Dimensional Euclidean Space |Sammelwerk=PLOS ONE |Band=10 |Nummer=3 |Datum=2015-03-13 |ISSN=1932-6203 |Seiten=11 |DOI=10.1371/journal.pone.0118537}}</ref>
[[Datei:Multivariate normal sample.svg|mini|Darstellung der Standardabweichungsellipse einer zweidimensionalen Normalverteilung, sowie der beiden [[Marginalverteilung]]en.]]

Nach einer [[Hauptachsentransformation]] können die Achsen mit ihren jeweiligen <math>\sigma_i</math> normiert werden. Dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit der ein Messwert innerhalb eines Radius <math>r</math> liegt berechnen.
Mit
:<math>r'^2=\sum_{i=1}^p (x_i-\mu_i)^2/\sigma_i^2</math>
ist der Anteil
:<math>\pi(r)=\frac{\int_0^r f_X(r')r'^{p-1}dr'}{\int_0^\infty f_X(r')r'^{p-1}dr'} = P\left(\frac p2,\frac {r^2}2\right)</math>
der Messwerte höchstens im Abstand <math>r</math> vom Mittelwert einer p-dimensionalen Normalverteilung. Dabei ist <math>P</math> die regularisierte [[unvollständige Gammafunktion]] der oberen Grenze.

{| class="wikitable"
! <math>\pi</math> in %
! <math>r=\sigma</math><ref>In der beschriebenen Normierung wäre <math>\sigma=1</math>.</ref>
! <math>r=2\sigma</math>
! <math>r=3\sigma</math>
|-
! <math>p=1</math>
| 68,27
| 95,45
| 99,73
|-
! <math>p=2</math>
| 39,35
| 86,47
| 98,89
|-
! <math>p=3</math>
| 19,87
| 73,85
| 97,07
|-
|}

Entsprechend kann mit der [[Umkehrfunktion]] der Streuradius r angegeben werden, in der ein vorgegebener Anteil an Messwerten liegt:
:<math>r=\sqrt{2 P^{-1}\left(\frac p2,\pi\right)}</math>
{| class="wikitable"
! <math>r</math> in <math>\sigma</math>
! <math>\pi=50\%</math>
! <math>\pi=90\%</math>
! <math>\pi=99\%</math>
|-
! <math>p=1</math>
| 0,675
| 1,645
| 2,576
|-
! <math>p=2</math>
| 1,177
| 2,146
| 3,035
|-
! <math>p=3</math>
| 1,538
| 2,500
| 3,368
|-
|}

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby |Titel=Multivariate Analysis |Verlag=Academic Press |Ort=Amsterdam |Datum=1989 |Sprache=en |Reihe=Probability and Mathematical Statistics |ISBN=978-0-12-471252-2 |Kommentar=Siehe auch die 2. Auflage |Online=https://archive.org/details/multivariateanal0000mard/page/n3/mode/2up}}
*{{Literatur |Autor=Bernard Flury |Titel=A First Course in Multivariate Statistics |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=1997 |Sprache=en |Reihe=Springer Texts in Statistics |ISBN=978-1-4419-3113-9 |DOI=10.1007/978-1-4757-2765-4}}
*{{Literatur |Titel=Multivariate statistische Verfahren |Hrsg=Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle, Gerhard Tutz |Verlag=De Gruyter |Datum=1996 |ISBN=978-3-11-013806-1 |DOI=10.1515/9783110816020}}
*{{Literatur |Autor=Joachim Hartung, Bärbel Elpelt |Titel=Multivariate Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik |Auflage=7. |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Datum=2007 |ISBN=978-3-486-58234-5 |DOI=10.1524/9783486710793}}
*{{Literatur |Autor=Kantilal V. Mardia, John T. Kent, Charles Taylor |Titel=Multivariate Analysis |Auflage=2nd |Verlag=John Wiley & Sons |Ort=Hoboken, NJ |Datum=2024 |Sprache=en |Reihe=[[Wiley Series in Probability and Statistics]] |ISBN=978-1-118-73802-3}}

== Anmerkungen ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Mehrdimensionale Normalverteilung - Versionsgeschichte

imported>M.J.: /* Regulärer Fall */ Hinweis auf numerische Verteilungsfunktion gelöscht.