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2025-11-27T13:30:00Z

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Der '''Maxwellsche Spannungstensor''' <math>T</math> (benannt nach [[James Clerk Maxwell]]) ist ein symmetrischer [[Tensor]] zweiter Stufe, der in der klassischen [[Elektrodynamik]] verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen [[Elektromagnetische Wechselwirkung|elektromagnetischen Kräften]] und mechanischem [[Impuls]] darzustellen.

In einfachen Situationen, beispielsweise eine elektrische [[Punktladung]], die sich in einem [[Homogenität|homogenen]] [[Magnetismus|Magnetfeld]] frei bewegt, lassen sich die Kräfte auf die Ladung durch die [[Lorentzkraft]] berechnen. Für komplexere Probleme wird das Verfahren über die Lorentzkraft sehr lang. Es ist daher zweckmäßig, verschiedene Größen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln.

In der [[relativistisch]]en Formulierung des [[Elektromagnetismus]] erscheint der Maxwell-Tensor als Teil des elektromagnetischen [[Energie-Impuls-Tensor]]s.

== Definition ==
Im [[Vakuum]] ist der Maxwellsche Spannungstensor in [[SI-Einheit]]en definiert durch

:<math>T_{ij} = \varepsilon_0 E_iE_j + \frac{B_iB_j}{\mu_0} - \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right)\delta_{ij}</math>,

wobei
* <math>E_i</math> die Komponenten der [[elektrische Feldstärke|elektrischen Feldstärke]] bezeichnen
* <math>B_i</math> die Komponenten der [[magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]]
* <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]]
* <math>\mu_0</math> die [[magnetische Feldkonstante]]
* <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]].

In [[Gaußsches Einheitensystem|gaußschen cgs-Einheiten]] ergibt sich der Tensor zu

:<math>T_{ij} = \frac{1}{4\pi}\left(E_i E_j + H_i H_j - \frac{1}{2}\left(E^2 + H^2\right)\delta_{ij}\right)</math>

mit den Komponenten <math>H_i</math> der [[magnetische Feldstärke|magnetischen Feldstärke]].

Für [[elektromagnetische Welle]]n in einem linearen Medium lässt sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als:<ref name=jackson>{{Literatur|Titel=Klassische Elektrodynamik|Originaltitel=Classical Electrodynamics|Originalsprache=en|Autor=John David Jackson|Übersetzer=Kurt Müller|Verlag=Walter de Gruyter|Jahr=2020|ISBN=3112322010|Seiten=280}}</ref>

:<math>T_{ij} = \frac{1}{4\pi}\left(E_i D_j + H_i B_j - \frac{1}{2}\left(\vec E \cdot \vec D + \vec H \cdot \vec B \right)\delta_{ij}\right)</math>

Diese Definition ist für [[anisotrop]]e Medien jedoch nicht mehr symmetrisch.<ref name=jackson />

Die Kraft pro Volumen <math>\vec{f} = \vec{F}/V</math> kann aus der Divergenz des Spannungstensors und dem [[Poynting-Vektor]] <math>\vec S</math> bestimmt werden.

:<math>(\vec \nabla \cdot \mathbf T)_k = \sum^3_{i=1} \frac{\partial T_{ik}}{\partial_{x_i}} = f_k + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial S_k}{\partial t}</math>

== Magnetostatik ==
Für rein magnetische Felder (z. B. näherungsweise in [[Elektromotor|Motor]]en) fallen einige Terme weg, wodurch sich der Maxwell-Tensor vereinfacht zu:

:<math>T_{ij} = \frac{1}{\mu_0} B_i B_j - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{ij}</math>

Für zylinderförmige Objekte – z. B. die [[Rotor]]en eines Motors – ergibt sich

:<math>T_{rt} = \frac{1}{\mu_0} B_r B_t - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{rt}</math>

Dabei ist
* <math>r</math> die [[Scherung]] in radialer Richtung (vom Zylinder nach außen)
* <math>t</math> die Scherung in tangentialer Richtung (um den Zylinder herum). Der Motor wird hierbei durch die [[Tangentialkraft]] angetrieben.
* <math>B_r</math> die Flussdichte in radialer Richtung
* <math>B_t</math> die Flussdichte in tangentialer Richtung.

== Elektrostatik ==
In der [[Elektrostatik]], für die das Magnetfeld verschwindet (<math>\vec{B}=\vec{0}</math>), ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor. In [[Vektor #Komponentenschreibweise|Komponentenschreibweise]] ergibt sich dieser durch:

:<math>T_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j - \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\delta_{ij}</math>

und in symbolischer Schreibweise durch

:<math>\boldsymbol{T} = \varepsilon_0\vec{E} \otimes \vec{E} - \frac{1}{2}\varepsilon_0(\vec{E} \cdot \vec{E})\mathbf{I}</math>

wobei <math>\mathbf{I}</math> der [[Einheitstensor|Identitätstensor]] sei.

== Literatur ==
* [[David J. Griffiths]]: ''Introduction to Electrodynamics.'' Benjamin Cummings Inc., 2008, S. 351–352
* [[John David Jackson (Physiker)|John David Jackson]]: ''[[Classical Electrodynamics]].'' 3. Auflage, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
* Richard Becker: ''Electromagnetic Fields and Interactions.'' Dover Publications Inc., 1964.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4467942-7}}

[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Maxwellscher Spannungstensor - Versionsgeschichte

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