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2025-01-20T17:04:49Z

Exemplarische Herleitung: typo: Adjektive kleinschreiben

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit den Zusammenhängen zwischen Zustandsgrößen der Thermodynamik. Für die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik siehe [[Maxwell-Gleichungen]].}}
Die '''Maxwell-Beziehungen''' oder '''Maxwell-Relationen''' der [[Thermodynamik]] (nach dem Physiker [[James Clerk Maxwell]]) stellen wichtige Zusammenhänge zwischen verschiedenen [[Zustandsgröße]]n her.

== Aussage ==
Die maxwellschen Beziehungen erlauben es, Änderungen von Zustandsgrößen (z. B. [[Temperatur]] ''T'' oder [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] ''S'') als Änderungen anderer Zustandsgrößen (z. B. [[Druck (Physik)|Druck]] ''p'' oder [[Volumen]] ''V'') auszudrücken:

:<math>
\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S = -\left( \frac{\partial p}{\partial S} \right)_V;
\qquad
\left( \frac{\partial T}{\partial p} \right)_S = \left( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_p
</math>

:<math>
\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p = -\left( \frac{\partial S}{\partial p} \right)_T;
\qquad
\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V = \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T

</math>

=== Exemplarische Herleitung ===
Die Beziehungen können hergeleitet werden, indem man die [[Charakteristische Funktion (Physik)|charakteristischen Funktion]]en ([[totales Differential|totalen Differentiale]]) der Zustandsfunktionen [[Innere Energie]] ''U'', [[Enthalpie]] ''H'', [[Freie Energie]] ''F'' und [[Freie Enthalpie]] ''G'' betrachtet.

Beispielsweise ist das totale Differential der inneren Energie ''U'', abhängig von Entropie ''S'' und Volumen ''V'':

:<math>\begin{align}
\mathrm{d}U(S,V) & = T \mathrm{d}S - p \mathrm{d}V\\
& = \left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_V\mathrm{d}S + \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S \mathrm{d}V
\end{align}</math>

Setzt man eine hinreichend glatte Funktion für ''U'' voraus, so sagt der [[Satz von Schwarz]] aus, dass

:<math>\left( \frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = \left( \frac{\partial}{\partial V} \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V \right)_S = \left( \frac{\partial}{\partial S}\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S\right)_V = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V</math>.

Dies ist die erste Maxwell-Beziehung.

=== Guggenheim-Schema ===
[[File:Guggenheim square.svg|thumb|right|Guggenheim-Quadrat]]

Zum praktischen Arbeiten kann man das sogenannte [[Guggenheim-Quadrat]] benutzen. Hieraus erhält man alle oben genannten Maxwell-Relationen.

Man findet die Relation, indem man aus den Ecken einer (horizontalen oder vertikalen) Seite des Schemas zwei Variablen abliest, damit eine Seite der Maxwellgleichung formuliert und die andere Seite der Gleichung aus der gegenüberliegenden Seite in gleicher Weise entnimmt.

Zum Beispiel entnimmt man <math>S</math> und <math>p</math>, woraus der Ausdruck <math>\mathrm{d}S/\mathrm{d}p</math> folgt. Gegenüber liegen dann <math>V</math> und <math>T</math>, was zum Ausdruck <math>\mathrm{d}V/\mathrm{d}T</math> führt. Differentialquotienten, die sowohl <math>S</math> als auch <math>p</math> enthalten, erhalten ein negatives [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], da beide (!) Symbole an der Kante mit dem Minuszeichen liegen (in o. g. Beispiel <math>-(\mathrm{d}S/\mathrm{d}p) = (\mathrm{d}V/\mathrm{d}T)</math>). Die konstant gehaltene Variable einer Seite ist stets im Nenner der anderen Seite wiederzufinden.

[[Merkspruch|Merksprüche]] für das Quadrat finden sich unter: [[Guggenheim-Quadrat#Merksprüche|Guggenheim-Quadrat (Merksprüche)]]
<div style="clear:both;"></div>

== Allgemeine Maxwell-Relation ==
Ist eine Funktion ''z(x,y)'' nach dem [[Satz_von_der_impliziten_Funktion|Satz über die implizite Funktion]] an einer Stelle eindeutig sowohl nach ''x'' als auch nach ''y'' auflösbar, so lässt sich unter anderem zeigen, dass

:<math>\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = -1</math>.

Um dies zu zeigen, setzt man mit den totalen Differentialen der Funktionen ''z'' und ''x'' an.

:<math>\mathrm{d}z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y\mathrm{d}x + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x\mathrm{d}y</math>

:<math>\mathrm{d}x = \left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)_y\mathrm{d}z + \left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\mathrm{d}y</math>

Einsetzen ergibt

:<math>\mathrm{d}z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y\left(\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)_y\mathrm{d}z + \left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\mathrm{d}y\right) + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x\mathrm{d}y</math>

Die partiellen Differentiale können ''gekürzt'' werden, falls die festgehaltenen Variablen dieselben sind.

:<math>\mathrm{d}z = \mathrm{d}z + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\mathrm{d}y + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x\mathrm{d}y</math>

:<math>-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z</math>

:<math>-1=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y</math>

[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:James Clerk Maxwell]]

Maxwell-Beziehung - Versionsgeschichte

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