imported>Daniel5Ko: /* Beispiele */ ueberfluessig

2023-02-23T00:45:57Z

Beispiele: ueberfluessig

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Die Begriffe '''maximales Element''' und '''minimales Element''' werden in der [[Mengenlehre]], genauer in der [[Ordnungsrelation|Ordnungstheorie]] verwendet.

Ein Element einer geordneten Menge ist ''maximal'', wenn es kein größeres gibt. Es ist ''minimal'', wenn es kein kleineres gibt.

In einer [[Totalordnung|total geordneten]] Menge stimmen die Begriffe maximales Element und [[Größtes und kleinstes Element|größtes Element]] sowie minimales Element und ''kleinstes Element'' überein. Ein maximales bzw. minimales Element einer [[Halbordnung|partiell geordneten]] Menge ist jedoch nicht automatisch deren größtes bzw. kleinstes Element.

== Definitionen ==

<math>(X, \le)</math> sei eine [[Quasiordnung]], <math> M \subseteq X </math> eine [[Teilmenge]] der Grundmenge <math> X </math> und <math> x \in M </math>.
:<math> x\ </math> ist '''maximales Element''' von <math> M\ </math> <math>: \Longleftrightarrow \forall y \in M: (x \le y \Rightarrow y \le x) </math>
:<math> x\ </math> ist '''minimales Element''' von <math> M\ </math> <math>: \Longleftrightarrow \forall y \in M: (y \le x \Rightarrow x \le y) </math>

== Beispiele ==
* ''M'' := {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} ist die Menge der nichttrivialen natürlichen Teiler der Zahl 36. Diese Menge ist bezüglich der [[Teilbarkeit]] partiell geordnet. Minimale Elemente sind 2 und 3, maximal sind 12 und 18. Es gibt kein kleinstes und kein größtes Element. Unter den ganzzahligen nichttrivialen Teilern von 36 sind 2, 3, −2 und −3 minimal, während 12, 18, −12 und −18 maximal sind.
* Die nichtleeren [[Teilmenge]]n einer gegebenen Menge ''X'' sind durch [[Teilmenge|Inklusion]] partiell geordnet. Minimal in dieser Ordnung sind alle einelementigen Teilmengen {''x''}, maximales (und auch größtes) Element ist ''X'' selbst.
* In einem [[Vektorraum]] ist eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eine (bezüglich Inklusion) maximale linear unabhängige Teilmenge.
* In jedem Ring <math>(R,\mid)</math> ist die <math>0</math> wegen <math>\forall r \in R : r \cdot 0 = 0</math>, und somit {{nowrap|<math>\forall r \in R : r \mid 0</math>,}} ein [[Größtes und kleinstes Element|größtes Element]] hinsichtlich der [[Teilbarkeit]]srelation <math>\mid</math> und somit auch maximal. Alle [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] in <math>(R,\mid)</math> sind kleinste Elemente und somit auch minimal.

== Eigenschaften ==
* Jede endliche nichtleere geordnete Menge hat minimale und maximale Elemente, unendliche geordnete Mengen müssen keine maximalen und minimalen Elemente haben.
* Eine total geordnete Menge hat höchstens ein maximales und ein minimales Element, partiell geordnete Mengen können mehrere maximale und minimale Elemente haben.
* Ist ''x'' ein größtes Element von ''M'', dann ist ''x'' auch (bis auf [[Quasiordnung#Induzierte Äquivalenzrelation und Striktordnung|Isomorphie]]) das einzige maximale Element von ''M''. Ist ''M'' endlich, dann gilt auch die Umkehrung: Wenn ''M'' (bis auf Isomorphie) genau ein maximales Element hat, dann ist dieses auch ein größtes Element. Für unendliche Mengen gilt diese Aussage nicht.
* Ist ''x'' ein kleinstes Element von ''M'', dann ist ''x'' auch das (bis auf Isomorphie) einzige minimale Element von ''M''. Ist ''M'' endlich, dann gilt auch die Umkehrung: Wenn ''M'' (bis auf Isomorphie) genau ein minimales Element hat, dann ist dieses auch ein kleinstes Element. Für unendliche Mengen gilt diese Aussage nicht.
* Hat jede [[Kette (Mathematik)|Kette]] in einer nichtleeren [[Halbordnung|halbgeordneten]] Menge eine [[obere Schranke]], dann hat die Menge mindestens ein maximales Element. (Dies ist das [[Lemma von Zorn]].)
* Für zwei maximale oder zwei minimale Elemente <math>x</math> und <math>y</math> gilt <math>x \le y \Rightarrow y \le x</math>. Bei Halbordnungen bedeutet dies, dass verschiedene maximale bzw. minimale Elemente nicht vergleichbar sind. Dies lässt sich noch verallgemeinern: Die Menge aller maximalen Elemente ist eine [[Antikette]] in der Ordnung. Gleiches gilt für die Menge aller minimalen Elemente.

== Literatur ==
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre,'' 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6

[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

Maximales und minimales Element - Versionsgeschichte

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