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2019-03-25T18:06:21Z

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Im [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] ist das '''maximale Tensorprodukt''' von [[C*-Algebra|C*-Algebren]] eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren <math>A</math> und <math>B</math> eine neue mit <math>A\otimes_{\mathrm{max}} B</math> bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die [[vollständiger Raum|Vervollständigung]] des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen [[Tensorprodukt]]es aus <math>A</math> und <math>B</math>. Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf [[Alain Guichardet|A. Guichardet]] zurück.<ref>A. Guichardet: ''Tensor products of C*-algebras'', Aarhus University Lecture Notes, Band 12 (1969)</ref>

== Konstruktion ==
Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt <math>A\odot B</math> ist eine [[Halbnorm]] <math>\alpha</math>, so dass
* <math>\alpha(st)\le \alpha(s)\alpha(t)</math> für alle <math>s,t\in A\odot B</math>
* <math>\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2</math> für alle <math>s\in A\odot B</math>

Man kann zeigen, dass <math>\alpha(a\otimes b) \le \|a\|\|b\|</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math>. Für ein Element <math>s= \sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i \in A\odot B</math> folgt daher <math>\alpha(s) \le \sum_{i=1}^n\|a_i\|\|b_i\|</math> für jede C*-Halbnorm.
Deshalb ist <math>\mu(s):= \sup_\alpha \alpha(s)</math>, wobei <math>\alpha</math> alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass <math>\mu</math> eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf <math>A\odot B</math>. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die [[Räumliches Tensorprodukt|räumliche C*-Norm]].

Die Vervollständigung von <math>A\odot B</math> bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das ''maximale Tensorprodukt'' aus <math>A</math> und <math>B</math> und wird mit <math>A\otimes_\mu B</math> bezeichnet<ref>[[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3</ref>,
andere Autoren schreiben dafür <math>A\otimes_{\mathrm{max}} B</math> <ref>Gerald. J. Murphy: ''C*-Algebras and Operator Theory'', Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Kapitel 6</ref>.

== Eigenschaften ==
Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft<ref>Gerald. J. Murphy: ''C*-Algebras and Operator Theory'', Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.3.7</ref>:

Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> C*-Algebren und <math>\varphi:A\rightarrow C</math> sowie <math>\psi:B\rightarrow C</math> zwei *-[[Homomorphismus|Homomorphismen]] mit vertauschenden Bildern, das heißt <math>\varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a)</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math>. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus <math>\pi: A\otimes_{\mathrm{max}} B \rightarrow C</math> mit <math>\pi(a\otimes b) = \varphi(a)\psi(b)</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math>.

Sind <math>A</math> und <math>B</math> C*-Algebren, so heißt ein Paar <math>(\varphi,\psi)</math> ein vertauschendes Paar von Darstellungen von <math>(A,B)</math>, falls <math>\varphi:A\rightarrow L(H)</math> und <math>\psi:B\rightarrow L(H)</math> [[Hilbertraum-Darstellung]]en auf demselben [[Hilbertraum]] <math>H</math> sind und <math>\varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a)</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.4</ref>:

Für zwei C*-Algebren <math>A</math> und <math>B</math> und <math>s=\sum_{j=1}^na_j\otimes b_j</math> aus dem algebraischen Tensorprodukt <math>A\odot B</math> gilt

<math> \mu(s) = \sup\{\|\sum_{j=1}^n\varphi(a_j)\psi(b_j)\|;\, (\varphi,\psi) \mbox{ vertauschendes Paar von Darstellungen von } (A,B)\}.</math>

== Siehe auch ==
* [[Räumliches Tensorprodukt]]
* [[Nukleare C*-Algebra]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Gerald. J. Murphy: ''C*-Algebras and Operator Theory'', Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', 1983, ISBN 0-1239-3302-1

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Maximales Tensorprodukt - Versionsgeschichte

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