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2022-09-20T08:25:06Z

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'''Maximales Ideal''' ist ein Begriff aus der [[Algebra]].

== Definition ==

Es sei <math>R</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]]. Dann heißt ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] <math>\mathfrak{m} \subsetneq R</math> '''maximal''', wenn <math>\mathfrak{m}</math> ''ein [[maximales Element]]'' ist in der durch die [[Teilmenge#Inklusion als Ordnungsrelation|(mengentheoretische) Inklusion]] <math>\subseteq</math> [[Ordnungsrelation#Halbordnung|halbgeordneten]] Menge ''aller [[Ideal (Ringtheorie)#Besondere Ideale|echten Ideale]]''. D. h., für jedes echte Ideal <math>\mathfrak{a} \subsetneq R</math> gilt:
:Aus <math>\mathfrak{a} \supseteq \mathfrak{m}</math> folgt <math>\mathfrak{a} = \mathfrak{m}.</math>

Mit anderen Worten:

Ein echtes Ideal <math>\mathfrak{m} \subsetneq R</math> wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von <math>R</math> gibt, das <math>\mathfrak{m}</math> ganz enthält.<ref>Siegfried Bosch: ''Algebra.'' 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 40.</ref>

== Bemerkungen ==

* Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
* Mit Hilfe des [[Lemma von Zorn|Zornschen Lemmas]] kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
* Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1, das keine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. In nichtkommutativen Ringen ist das i. A. falsch, wie das Beispiel der [[Matrizenring]]e über (Schief)Körpern zeigt.
* Sei <math>\mathfrak{m}</math> ein Ideal des kommutativen Ringes <math>R</math> mit 1. Der [[Faktorring]] <math>R/\mathfrak{m}</math> ist genau dann ein [[Körper (Algebra)|Körper]], wenn <math>\mathfrak{m}</math> maximal ist.<ref>Siegfried Bosch: ''Algebra.'' 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 41.</ref> Insbesondere heißt dies: Das [[Bild (Mathematik)|Bild]] eines [[Ringhomomorphismus]] ist genau dann ein Körper, wenn dessen [[Kern (Algebra)|Kern]] maximal ist.
* Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als [[lokaler Ring]] bezeichnet. Dies ist dann ein [[Lokaler Ring#Eigenschaften|zweiseitiges Ideal]], und der Faktorring <math>R/\mathfrak{m}</math> wird als '''der''' [[Restklassenkörper]] des Rings <math>R \, </math> bezeichnet.
* Ein maximales (zweiseitiges) Ideal <math>\mathfrak{m}\subseteq R</math> eines Ringes <math>R</math> ist genau dann [[Primideal|prim]], wenn <math>RR \nsubseteq \mathfrak{m}</math>. Insbesondere ist <math>\mathfrak{m}</math> prim, falls <math>R</math> ein Einselement enthält.

== Beispiele ==

* Im Ring <math>\mathbb{Z}</math> der [[ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] ist jedes [[Primideal]] außer dem [[Nullideal]] maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; [[Integritätsring]]e mit dieser Eigenschaft heißen (falls sie keine Körper sind) [[Dimension (kommutative Algebra)|eindimensional]]. Alle [[Hauptidealring]]e haben diese Eigenschaft.
* Sei <math>C(\mathbb R)</math> der Ring der [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktionen auf den [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den [[Ringhomomorphismus]]
::<math>\mathrm{ev}_0\colon C(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R},\quad f \mapsto f(0).</math>
:Mit anderen Worten: diejenige Abbildung, die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von <math>\mathrm{ev}_0</math> ist <math>\mathbb{R}</math>, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit <math>f(0) = 0</math>, ein maximales Ideal.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]

Maximales Ideal - Versionsgeschichte

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