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2021-07-02T14:33:43Z

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Die '''Maurer-Cartan-Form''' ist eine in [[Differentialgeometrie]] und [[Mathematische Physik|Mathematischer Physik]] häufig verwendete [[Vektorwertige Differentialformen|Lie-Algebra-wertige Differentialform]] auf [[Lie-Gruppe]]n. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer [[Ludwig Maurer (Mathematiker)|Ludwig Maurer]] und dem französischen Mathematiker [[Élie Cartan]].

== Definition ==

Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe, <math>\mathfrak g=T_eG</math> ihre [[Lie-Gruppe#Lie-Algebra_der_Lie-Gruppe|Lie-Algebra]]. Für <math>g\in G</math> induziert die Links-Multiplikation
:<math>L_{g^{-1}}:G\rightarrow G</math>
:<math>L_{g^{-1}}(h):= g^{-1}h</math>
das Differential
:<math>(DL_{g^{-1}})_g:T_gG\rightarrow T_eG=\mathfrak g</math>.
Die Maurer-Cartan-Form <math>\omega\in\Omega^1(G,\mathfrak g)</math> ist definiert durch
:<math>\omega(v):=(DL_{g^{-1}})_g(v)</math>
für <math>v\in T_gG,g\in G</math>.<ref>{{Literatur | Autor = Jeffrey M. Lee | Titel = Manifolds and differential geometry | Jahr = 2009 | Verlag = American Mathematical Society | Ort = Providence, R.I. | ISBN = 0-8218-4815-1 | Seiten = | Kapitel=Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form }}</ref>

== Maurer-Cartan-Gleichung ==

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung
:<math>d\omega+\frac{1}{2}\left[\omega,\omega\right]=0</math>.
Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch
:<math>[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1),\eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)]</math>
und die [[äußere Ableitung]] <math>d\omega</math> durch
:<math>d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])</math>
definiert.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Maurer-Cartan-Form - Versionsgeschichte

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